大學物理一計算題111

1、兩段直線的電勢為24In 21、均勻帶電細線ABCD彎成如圖所示的形狀, 其線電荷密度為 入試求圓心0處的電勢。 解：3、一錐頂角為B的圓臺，上下底面半徑分別為 Ri和R2，在 它的側面上均勻帶電，電荷面密度為 $求頂點0的電勢。（以無窮遠處為電勢零點）解：以頂點O作坐標原點，圓錐軸線為X軸向下為正. 在任意位置x處取高度為d x的小圓環(huán)，其面積為dSdxcostanxdxcos半圓的電勢為 V20點電勢V廠（2In22、有一半徑為a的半圓環(huán)，左半截均勻帶有負電 荷，電荷線密度為-入右半截均勻帶有正電荷，電 線密度為入，如圖。試求：環(huán)心處 0點的電場強 度。解：如圖，在半圓周上取電荷元 dqd

2、q dl addE理由對稱性40 a2E ExdExdEcos12 2cos d0 2 o a2 oa其上電量為dq dS 2tgcosxdx它在0點產生的電勢為dUdq40 . r2 x2tanxdxcostan dx總電勢4tan2x2U dU 一tanx2dxX1(R2 R1)4、已知一帶電細桿，桿長為I ,其線電荷密度 為入=CX,其中c為常數(shù)。試求距桿右端距離 為a的P點電勢。解：考慮桿上坐標為x的一小塊dxc xdx40 I a xdx在P點產生的電勢為dU二 毗40 I a x求上式的積分，得P點上的電勢為I'xdx cI ao(I a)I n(01 a x 4 o5、有

3、一半徑為a的非均勻帶電的半球面, C&為恒量。試求：球心處 0點的電勢。解：電荷面密度為(T=上取一圓環(huán),ds2Rsi n Rddq ds2 Rsi nRd圓環(huán)的電勢dUdq40RUdU2 2Rsin Rd040R00Rcos sin d26、有一半徑為a的非均勻帶電的半圓環(huán),電荷線密度為入=i cos 9, i為恒量。試求：圓心處 0點的電勢。解:在半圓上取電荷元dq,dU也,40adq dl addU 2壬刮 J?40207、有寬度為a的直長均勻帶電薄板，沿長度方向單位長度的 帶電量為入，試求：與板的邊緣距離為b的一點P處的電場 強度(已知電荷線密度為入的無限長直線的電場強度為E)

4、。2 or解:如圖，取寬為dx的窄條為研究對象,視為無限長帶電直線,電荷線密度為- dxa由無限長帶電直線電場公式,dxdE2 o(a b x)整個帶電薄板的電場強dxE dE0 2 o(a b x)2 oa b8、有一瓦楞狀直長均勻帶電薄板，面電荷密度為 半徑為a，試求：軸線中部一點P處的電場強度Q瓦楞的(已知電線密度為入的無限長直線的電場強度為E)2 or解：如圖，頂視圖，取寬為 dl的窄條為對象，視為無帶電直線，電荷線密度 為 dl add2 odEExdEx dE cosdxp dEX限長=0Ey電荷以相同的面密度(7d cos o 22 0dEy dE sin d .sin0 22

5、0分布在半徑分別為Ri =10 cm和R2=20 cm兩個同心球面上。設無限遠處電勢為零， 球心處的電勢為 Vo = 300 V。(1)求電荷面密度7 (2)若要使球心處的電勢也為零，外球面上的電荷面密度 7 應為多少？ ( q= 8.85X10-12 C2N-1m-2)解：(1)U1054R,U 20q24 r2U10U 204 R1q24 r2R2)(R25 Ba 10 "(2) 010、如圖，長直圓柱面半徑 為R,單位長度帶電為 計算圓柱面內外的電場強度。試用高斯定理解：-E ds-0E0(0rR)E(Rr)2 r11、電荷Q均勻分布在長為I的細桿AB 上, P點位 于AB的延

6、長線上，且與B相距為d,求P點的電場ABP強度。解：dE1 dx12、電荷Q均勻分布在長為I的細桿AB 上, P點 位于AB的延長線上，且與B相距為d,求P點的電勢。解：dq Qdxld1 11 1BdUdq4 oxU 。亠亠n d 40x 40I d13、電荷Q均勻分布在半徑為R的半圓周上，求曲率中心O處 Q 的電場強度。RO解:如圖，在圓周上取電荷元dqdqdl RdQddEdq4 o R2由對稱性,EyExdExdEcos卑cos4 o R224 o R2cos d0R214、用細的絕緣棒彎成半徑為 R的圓弧，該圓弧對圓心所張的 角為2a，總電荷q沿棒均勻分布，求圓心處的電場強度。解：如

7、圖，在圓弧上取電荷元dqdq dl RTRd 嚴dE1 dq4 o R2由對稱性，EyE ExdExdE cos1 dq2 cos4 o Rcos d sin4 o 2R4 oR15、求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點 P處的電場強度（圓環(huán)半徑為 帶電量為Q）解:在圓環(huán)上任取電荷兀 dq,則dE1 dq2 2 ?4 o R x由對稱性知，dE oE ExdEx1 dqx廠o rLx2r2x21 Qxo (R22、3/2x )1、一平板電容器的電容為1 x 10-11F，充電到帶電荷為1.0X 10-8C后，斷開電源，求 極板間的電壓及電場能量。解：U=Q/C=1000VW=Q2/2C= 5.0X 10

8、-6J2、點電荷帶電q,位于一個內外半徑分別為 Ri、R2的金屬球殼的球心, 如圖，P為金屬球殼內的一點，求：（1）金屬球殼內表面和外表面 的感應電荷；（2） P點的電場強度大小和P點的電勢。解：（1）內表面感應電荷-q，外表面感應電荷q(2) E=0V4 o R2長度為 L，半徑分別為 R1和R2,二柱面間充滿相對介電常數(shù)設電容器充電后，兩極板單位長度上帶電量分別為+入和-人求:3、圓柱形電容器，為卡的均勻介質。兩極板間的電場強度; 圓柱形電容器的電容; 它儲有的電能。（1）（2）（3） 解:（1由高斯定理，柱形電容器極板間電場強度為E-2 r o r（2）極板間電勢差 VEdrIn 昱,2

9、 r 0 R(3)We Qc2 r丄.R2In 2R2Lln 理R4、如圖，半徑為Ro的金屬球，同心球殼，其內外半徑分別為 Ri和R2,相對介電常數(shù)為 介質中的一點，離球心為r（1）（2）帶電Q,球外有一層均勻電介質的，P為o試用高斯定理求P點的電場強度 E ; 由E求P點的電勢V解:（1）由高斯定理，作半徑為2D 4 r2Qr的球形高斯面Q4RoRP點的電場強度大小2 rr方向徑向向外（2）由以上結論介質中Q 2rr真空中P點的電勢R2U EdrrR2Edr=嚴 (1 右)4 o r r R2R2r 4Q2 dr o rr2 dr or£ XQ4 04 o R2R2P5、金屬球半徑

10、為Ri,帶電qi ,外有一同心金屬球殼，半徑分別為 R3 ,金屬球殼帶電q2，求金屬球和球殼之間一點 P的電勢。解：由靜電感應，球殼內表 面帶電qi,外表面帶電qi q2 利用迭加原理，P點的電勢丑 qR2R3R3U丄C4 0 r6、如圖所示，平板電容器(極板面積為 S,間距為d) 兩層厚度各為 算其電容解：di和d2、電 容率各為a和於的電解質,中間有試計刁弦VaEiVb= diisD dS D dS D dS= DS S上下側dird2| r-，E2=,i2d22i 2SVaVbdi 2 d2 i7、如圖球形電容器，內外半徑分別為Ri和R2,二球面間充滿相 對介電常 數(shù)為a的均勻介質，當該

11、電容器充電量為 Q時，求：(i)介質內D, E的大?。?2)內 外球殼之間的電勢差 AU ; (3) |'：? 球形電容器的電容C; (4)它儲有的電能We。'解:D 4 r2QD JEDQ4 0 rrR2R2QQ11(2) UEdrR2 dr()R1Ri 4 0 rr40 rRR2Q40 r Ri R2(3)C-UR2R-iQ2Q2(R2 R)(4)We2C80 r R R2(1)由高斯定理，作半徑為r的球形高斯面解：由高斯定理，柱形電容 器極板間電場強度為1 Q2 r 0 rL極板間電勢差 UJ-(2)We2 r °LRiA Q2lnR12C 4 r oL出通過閉

12、合曲面s的電位移矢量D通量的高斯定理。(2)如圖二，試寫出磁場強度矢量 H沿閉合曲線L的環(huán)流的安培環(huán)路定理(1) 圖 試寫解：(1)-q224D dS qSriv vlH dl (I1I2I3)8、圓柱形電容器，長度為L,半徑分別為R1和二柱面間充滿相對介 電常數(shù)為°的均勻介質，當該電容器充電量為 Q時，求：(1) 圓柱形電容器的電容；(2) 它儲有的電能。2、如圖所示，一根長為 L，均勻帶電量為 Q的細棒，以速 度V沿X軸正向運動，當細棒運動至與Y軸重合的位置時，細棒下端到坐標原點 0的距離為a，求此時細棒在 O點產生的磁感應強度 B。解:在細棒上距0點y取電荷元dq= ?dy，由

13、運動電荷的磁場 公式0 dqV0 VQ ,、宀豐士宀屮dB-202 dy方向垂直向里4 y24 Ly2<gYdylVQLa 4 Ly 4 L a(a L)3、在半徑為a和b的兩圓周之間，有一總匝數(shù)為N的均勻密繞平面螺線圈（即單位長度半徑上的匝數(shù)為），通以電流I，如圖所示。求線圈中心0點處的磁感應強度。解:取半徑為r寬為dr的圓環(huán)，dlNl dr b aodl0NldrdB2r2r(b a)R oNldr0Nl ,bBdBInr 2r(b a) 2(ba)a4、一半徑R的圓盤，其上均勻帶有面密度為 c的電荷，圓盤以角 速度3繞通過盤心垂直于盤面的軸轉動，試證其磁矩的大小為1 4Pm 3cR

14、。4解：取半徑為r寬為dr的圓環(huán)dPm dl r22rd牙 r2r3drpmr 3drR4IfI133 I fI213 IBB1,B22R2R432R2R432RBB1B2 0BL10, BL2-(sin2sin 1 )I4R4 R解:liil，l2bR0 ab5、用兩根彼此平行的半無限長直導線 Li、L2把半徑為R的均勻導 體圓環(huán)聯(lián)到電源上，如圖所示。已知直導線上的電流為I。求圓環(huán) 中心0處的磁感應強度的大小。6、內外半徑分別為a、b的圓環(huán)，其上均勻帶有面密度為 c的 電荷，圓環(huán)以角速度3繞通過圓環(huán)中心垂直于環(huán)面的軸轉動， 求:圓環(huán)中心處的磁感強度大小。解:2Rdindq2 rdrdBdi2

15、rdBFdr亍(b a)baBBaBb解：2R2a 2BBaBb丄(1丄)4 ba8、將通有電流I的導線彎成如圖所示的形狀B的大小和方向。I2b 2求0點處的磁感強度矢量解：由圓電流公式o I2R4aoBaBb丄4bBaBb7、如圖，兩段共心圓弧與半徑構成一閉合載流回路， 對應的圓 心角為6( rad)，電流強度為I。求圓心0處的磁感應強度B的大 小和方向。解：dqQdxdIndqqh dxb2ba bodIa b0Q0 Q a bBdx -Ina2xa 2x2b4 bb10、將通有電流I的導線彎成如圖所示的形狀，求O點處的磁感強度B解:dB0R20 4R?dloj9、如圖所示，電荷Q均勻分布

16、在長為b的細桿上，桿 以角速度3繞垂直于紙面過 O點的軸轉動。O點在 桿的延長線上，與桿的一端距離為 a,求0點處的磁感 應強度B的大小。Ooa a:B? dlBi 2 r' 2 0 a2半徑為a的小圓柱體在p點的磁感應強度B2 2 a 01 0B2B2為:0 a2空心圓柱體p點的磁感應強度B為：0 a211、在半徑為2a的無限長金屬圓柱體內挖去一半徑為 a無 限長圓柱體，兩圓柱體的軸線平行，相距為 a,如圖所示。 今有電流沿空心柱體的的軸線方向流動， 電流均勻分布在空 心柱體的橫截面上，設電流密度為S。求P點及0點的磁感應強度。解:半徑為2a的圓柱體在p點的磁感應強度B為: 半徑為2

17、a的圓柱體在o點的磁感應強度Bi2 a 010 aBi半徑為a的小圓柱體在o點的磁感應強度0 a2B2空心圓柱體0點的磁感應強度：B=Bi12、將通有電流I的導線彎成如圖所示的形狀， 度B 解：02求0點處的磁感強B2dB 4Idl4b2BADBBC1 a20BCD0I04 b2BBABBCD0dl2 r8a°I(3a b)8abBAB0丨4 b2oID（方向向內）解So解B2Bxl=1mUo求:軸線上RIPoaB dSq/2 RoNIR2dRi|BdlCOS0oNI16角速度 強度。半徑3hdr2 r17、半徑R的一個載流圓線圈，通有電流I 與圓心的距離為a的P點的磁感應強度。B

18、dlB dllR的圓盤，其上均勻帶有面密度為 c的電荷，圓盤以 繞通過盤心垂直于盤面的軸轉動，求:圓盤中心處的磁感°n drS的磁通量0ll_2Rxdx2 R2 0一根很長的銅導線載由電流10A，在導線內部作一 的一段，試(j0 o2 r 0NI嚴 101060 lx2R2RBldx0現(xiàn)沿導線長度方向取長為l 銅的磁導率嚴-J I解：dq 2 rdr,dI n 2 rdr, dB0, B2r0Ix2B2 r15平面S,如圖 計算通過平面如圖所示，求螺繞環(huán)Bdo13、如圖，有一邊長為a的正方形導線回路，載有電流I,求 正方形中心處的磁感應強度的大小和方向。解：14、螺繞環(huán)通有電流I，總

19、匝數(shù)為No 內的磁感強度0NIhR2ln2R,解：dB 七穽 嚴,a 9O0,BdBxdBsi n°IR23(a2 R2)?18、如圖，一無限長薄平板導體，寬為 a，通有電流I，求和導體共面的距導體一 邊距離為d的P點的磁感應強度。da解:如圖，在薄板上取窄條，視為無限長直線電流,dldBdx a0dIoldx2 a(a oldx2 (a d x)adB0 2 a(a d x)d x)oL a dIn2 a d方向垂直紙面向里半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為 繞其軸線以角速度 轉動時，磁矩為多少？若圓盤置于 均勻磁場B中，B的方向平行盤面，如圖所示，圓盤所 受磁力矩大小為多少？解

20、：取半徑為dPmS1、r,寬為dr的圓環(huán)為研究對象Sdl r2dq TdPmPmB sin2 rdr23drR44R4B2、正方形線圈可繞丫軸轉動，邊長為I，通有電流 I。今將線圈放置在方向平行于 X軸的均勻磁場B 中，如圖所示。求：(1)線圈各邊所受的作用力；(2)要維持線圈在圖示位置所需的外力矩。解: df Idl Bfif3 IBI f2 f4 IBI sin 30°MPmBM ISBsin1200 IBI 2 sin 120°3、如圖所示，在XOY平面內有四分之一圓弧形狀的導線， 半徑為R,通以電流I,處于磁感應強度為B的均勻磁場中, 磁場方向垂直向里。求圓弧狀導線

21、所受的安培力。解：df Idl B df IBdlfx 糾Bcos Rd IBR0同理 fy IBRf/fxfy2IBR 方向：與x軸正向成45度XXXXXXXYXX0O半徑為R,通以電流I,處于磁感應強度為Bak的均勻IBs in dl磁場中，a為正常數(shù)，求圓弧狀導線所受的安培力。dFx IB cos dldFy解：IBdldF IdlB2FxIB cosdl IBR0Fy IBRFFy22IBR4、如圖所示，在XOY平面內有四分之一圓弧形狀的導線.XlX5、如圖所示，在XOY平面內有四分之一圓弧形狀的導線， 半徑為R,通以電流I,處于磁感應強度為B a i bj的 均 勻磁場中，a、b均為

22、正常數(shù)，求圓弧狀導線所受的安培 力。解:dFIdl B I (dxi dyj ) (aibj ) I (bdx ady) kRF dF I o (bdx ady) k IR(b a) k6、半徑為R的平面圓形線圈中載有電流|2 ,另一無限長直導線 AB中載有電流Ii，設AB通過圓心，并和圓形線圈在同一平面內（如圖），求圓形線圈所受的磁力。解:dFBJ2dlBioIdF -°dldl Rd2 rdFx dF cosRcos d2 rdFx0 丨1 I 22r Rcos解:F ABB1IBioI2 RdFF ABoI 2（方向向左）dFB1IdF cos-dl roI22-cos rdlRdIdR（方向向右）7、如圖所示，一平面半圓形線圈放在一無限長直導線 旁，且兩者共面。長直導線中通有電流I,半圓形線圈I中也通有電流I,半圓