【玩轉(zhuǎn)壓軸題】必考6：特殊三角形綜合（解析版）-浙教版2022年初三數(shù)學(xué)期末壓軸題精選匯編

1、【玩轉(zhuǎn)壓軸題】必考6:特殊三角形綜合（解析版）一、單選題1.如圖，點p, q, r分別在等邊abc的三邊上，且ap = 8q = cr,過點p, q, r分別作bc, c4,仙邊的垂線，得到£段.若要求£段的面積，則只需知道（）a. 的長c. 的長d. op的長【答案】b【分析】 先證4def是等邊三角形，可得qef的面積=-df2，設(shè)ap= bq=cr=a,ac=bc=ab=b,利用直角三角形的性質(zhì)可求。f=y/3a ,即可求解.【詳解】解：如圖，設(shè)or交于/延長qf交ac于n,v /abc是等邊三角形,.4=60。,.rj1ab,:.zaj7?=90°,

2、9;：pe±bcf 匕 8=60。，zjpd=30°f:.zpdj=zedf=60。,同法可證，zdef=zdfe=60°,:./def是等邊三角形，:mef的面積=吏。尸2,4.ap=cr=bq,:.cq=arf在4arj和八c7vq中，za=zc=60°< zajr=zqnc=90。, ar=cq:./arj/cnq (人as),:.aj=cn,s ap=bq=cr=af ac=bc=ab=b9:.ar=b-ci,zarj=30%： aj =m = cn,狠二盡卜。)22.=當(dāng)3 =空=快,22jd = = ®b-3、nf, v3 6

3、 rf = 2nf = bf),3 _ _ 后(b_a) y(b - 3ci) 也(b - 3ci).de =263.4def的面積=df2= ap2,4 4.只要知道ap的長，可求 def的面積,故選：b.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì), 利用參數(shù)求出of的長是本題的關(guān)鍵.2. 如圖，在四邊形 a8co中，ab/cd, ab±bd, ab = 5, bd = 4, cd = 3,點、e 是ac的中點，則能的長為（）.d5ra. 2b. -c. 5d. 32【答案】c【分析】延長be交co延長線于p,可證naebq/xcep,求出

4、。p,根據(jù)勾股定理求出bp的 長，從而求出的長.【詳解】解：延長be交cd延長線于p,*：ab/cd,:.zeab=zecp,在aaeb和八cep中，zeab = zecpae = cezaeb = zcepa /aeb/cep (asa):.be=pe, cp=ab=5又 vcd=3,:.pd=2f,: bd = 4 bp = yjdp2 + bd2 = 25/. be=*bp= y/5 .故選：c.【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等， 依據(jù)勾股定理求出bp.3. 幾何原本關(guān)于畢達哥拉斯定理，歐幾里德給出證明.如圖，中,zacb = 90

5、76;, 以ac, bc, ab為邊分別向外作正方形，連結(jié)co, ce,過c作cfa.de, 的 面積為s” 的面積為若s2=95, cf = 13,則正方形bcgh的邊長（）d fea. 210b. 2而c. 3面d. 3而【答案】c【分析】過。作 dma.ac,過 e作 enlbc,設(shè) cf 交人8 于 證明 amdvbca, £?他 絲 acb，分別得到dm = ac, ne=bc,分別得到§和52，根據(jù)s2 =95,可得bc = 3ac, 設(shè)ac = x9可求出c/和汽/,根據(jù)cf=13求出工值，從而可得3c.【詳解】解：過。作dm±ac,延長c人交dw于

6、點過e作enlbc,設(shè)cf交a8于d fe. zdab = 90° ,zmad + zcab = 90° ,又zmad+ zmda = so°-zm =90° ,.zmda = zcab ,.在異枷與vbc4中，zmda = zcab< zm = zacb ,ad = ab/. 絲bga(aas),. dm = ac,同理，bve1 絲acb,.ne=bc,s =-ac dm =-ac2 f s, =-bc en = -bc2,22- 22. s? =9§ ,a bc2 =9ac2,即 bc = 3ac ,設(shè) ac = x ,則 bc =

7、 3x, ab2 = ac2 + bc2 = x2 +9x2 =10x2,31 ab = yj(ix ' saatfc = ac = ' aaffc =cj ab ,cj 3x2 -v- >/10x = x, fj = ad = ab = >/10x,10 _3vio r- 13而 cf =x + /l ox =x = 13 ,1010，. x = vlo ,/.正方形 bcgh 邊長 bc = 3x = 3710 .故選c.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出g/, k7得到cf.4. 如圖，點a, 8是棱長為1

8、的立方體的兩個頂點，若將該立方體按圖中所示展開， 則在展開圖中，a, b兩點間的距離是()c. $d. vio【答案】c【分析】連接43,根據(jù)r4 abc和勾股定理可得出兩點間的距離.【詳解】解：如圖，在 abc 中，ac=f bc=2,國c. 2yf3cmd. 10cm可得：ab=7p+22 =>/5 ,故選：c.【點睛】本題考查了勾股定理，得出正方體上人、b兩點間的距離為直角三角形的斜邊是解題關(guān)鍵.5. 如圖，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點a爬到點b,周率勿取近似值3,則螞蟻爬行路線的最短路徑長為（【答案】a【分析】首先畫出示意圖，連接人8,根據(jù)圓的周長公式算

9、出底面圓的周長，ac=yx底面圓的周長，再在rtmcb中利用勾股定理算出48的長即可，【詳解】解：將圓柱體的側(cè)面展開并過點8作bclae于點c.圓柱的底面直徑為4c7,.人 £"=4" = 4x3 = 12ci,/. ac = ae = 6cm2在 r4 acb 中，ab2 =ac2+cb2 =6262 , ab = 6/2cm.螞蟻爬行的最短的路線長是6屈m，故選:a.【點睛】此題主要考查了平面展開圖，最短路徑問題，做此類題目先根據(jù)題意把立體圖形展開成 平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖 形上構(gòu)造直角三角形解決問題.6.

10、 如圖，已知nabcd的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點e, f, g, h,若af = 2fg,zabc - 60°,則s四邊形efgh+s四邊形mcd四邊形的值（）ded.1b. 10【答案】a【分析】 由角平分線的性質(zhì)、兩直線平行同旁內(nèi)角互補性質(zhì)解得zafb = zefg = 90°,繼而證明四邊形 efgh 是矩形，設(shè) egw,求得 4尸=2。，ab = aa,bf = 2gi, be = 3& ,ef =，作ck1ad于k,最后根據(jù)平行四邊形與矩形的面積解題.【詳解】解：在cjabcd中,.ad/bczabc+zbad = 180°.zabc = 6

11、0。./bad = 120。. af 平分 zbad, be 平分 zabcf"be = - zabc = -x 60° = 30°22zbaf = - abad = -(180-60°) = 60°22zafb = zefg = 9o。:.ze = 180°-zabc-zbcd = 180°-30°-60° = 90° 22同理可證 ze = zg = zehg = 90°.四邊形efgh是矩形，:.ef = gh,fg = eh,設(shè)尸g=口，則 af = 2fg=2a,ab = 2

12、af = 4冬 bf = &f = 2 也cirt/bec 中，aebc = 30°eh ci, ch = 2a, ec 3a, bc - 6a:.be = y/3ec = 3 島:.ef = be bf = 3用a 2/3a = y/ias矩形 efgh =fgfe = a,后a = y/3a2作 ck1ad 于 k,rlmjkdw，zadc = zabc = 60°, cd = ab = 4ack = cgn60sg = 2 屈:.s()abcd = bcck = 6a x 2 的a = 12/3a2s四邊形efgh/s四邊形abcd=應(yīng)土2屈2=_!_,12故

13、選：a.【點睛】 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形、正弦、平行 線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.7. 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”,它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形abcd9正方形efgh,正方形mnkt的面積分別為si, s2, s3.若5,4-5,4-53=21 ,則s?的值是（）deba. 9【答案】cc. 7d. 6【分析】 根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得 出答案.【詳解】 解：.圖中正方形abc

14、d,正方形efgh,正方形mna7的面積分別為si, s2, s3, :cg=ng, cf=dg=nf,si= (cg+og) 2 = cg2+dg2+2cg*dg = gr+2cgdg,si=gf2,s3= (ng - nf) a=ngnr-2ng,nf,vsi +s2+s3 = 21= gfucgdggngnf2 - 2ng,nf=3gfs2的值是：7.故選：c.【點睛】 此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)己知得出51+52+53=21 =g聲+2cgog+g尸+ng2+w - 2ngnf=3gr是解決問題的關(guān)鍵.8.如圖，在仙c中，zb = 2zc,以點a為圓心，長為半徑作弧，交bc于點

15、交ac于點g；再分別以點3和點。為圓心，大于：砂的長為半輕作弧，兩弧相交于 乙點e,作射線交于點f,若以點g為圓心，gc長為半徑作兩段弧，一段弧過點c,而另一段弧恰好經(jīng)過點。，則此時匕。度數(shù)為（).a. 20°b. 30°c. 36°d. 40°【答案】c【分析】連接ad,通過等腰三角形性質(zhì)，進行角的等量代換，由zadb + zadg + zgdc = 180 , 求解即可.【詳解】解：如下圖，連接ao.由作圖可知，ae為bd的垂直平分線, ab = ad,. zb = zadb,又.zb = 2zc:.zadb = zb=2zc又： gc = gd,

16、ad = ag,:.zgdc = zc , zadg = zagdf又: zagd = zc+zgdc:.zagd = zadg = 2zc又/ zadb + zadg + zgdc = 180 , 5zc = 180s.zc = 36°故選：c【點睛】本題考查的是垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等相關(guān)知識點, 根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.9.如圖，在rtabc中，zacb = 90。,分別以ab 9 ac, bc為斜邊作三個等腰直角zabd, aace , abcf，圖中陰影部分的面積分別記為, 5, s”若已知rtabc的面積，則下列代數(shù)式中，一定能

17、求出確切值的代數(shù)式是（）a. 54【答案】a【分析】b. s + 54 s3c. s2+s3 + s4d. § + s2 - s3® ac-tn, bc=n,abc的面積為s,用含有m, 的代數(shù)式分別表示相關(guān)線段，繼而表示相應(yīng)的面積,確定面積與/，"，s之間的關(guān)系，從而作出判斷.【詳解】15： ac=m, bc=n,abc的面積為s,v rtabc中，zacb = 90°,分別以ab , ac, bc為斜邊作三個等腰直角,ace, abcf,.s= -mn , ab= vm2 + n2:.ae=ec= m , bf=cf= n, ad=bd=22&quo

18、t;廠""2-在直角三角形倒中，z. dc=ec-ed=h = 222 s4 = 1ae>ed=- x m x22 2故s4的值可以確定,a選項符合題意;設(shè)ac, 8。的交點為g,則 s3 + sadg = sxadc = cd ae x (m n) x m22- in1 - mn),4s + s"g = smdb = - ad2?9> ri .ri "7 + /?. b + 禹一e=+499+ /?-,45彳（廠-= +s，與有關(guān)系，故代數(shù)式的值不能確定,fg2 2 m + ""4-lb選項不符合題意;adgs3 + s

19、adg = (m2, s + ss( - 5 = + s ,4 252 + s3 + s4 = bf2 + s + si- -s = + s+s- -s = s,無法確定,224 24 24 2.c選項不符合題意;221牛與有關(guān),.£）選項不符合題意;故選a.【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形面積的割補, 靈活運用性質(zhì)和勾股定理計算陰影的面積是解題的關(guān)鍵.10.七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，下列四幅圖是愛思考的小紅同學(xué)用如圖所示的七巧板拼成的，則這四個圖形的周長從大到小排列正確的是（）丙a.乙丙甲丁c. 丙乙甲丁【答案】a【分析】b.乙甲丙丁d

20、. 丙乙丁甲設(shè)最小的直角三角形的直角邊長為1,根據(jù)勾股定理，分別表示出七塊七巧板各邊的長 度，計算每個圖形中重合的線段和，和越大，周長越小.【詳解】解：設(shè)七巧板中最小的邊長為1根據(jù)勾股定理，可以得出其余的邊長分別為2, & 2后分別求出各圖中重合的線段的長度和，和越大，則周長越??；甲圖中重疊的線段和為：7+2后乙圖中重疊的線段和為：5+2扼；丙圖中重疊的線段和為5+32 ;丁圖中重疊的線段和為：6+32 ;v 6 + 3v2 7 + 22 5 + 3/25 + 2/2，.乙 丙甲丁故選：a,【點睛】本題考查了勾股定理，不規(guī)則圖形的周長，解題關(guān)鍵是明確總周長一定，重疊的線段和 越大，則周

21、長越小.二、填空題11 .如圖，在 mbc中，zb = 18°, zc = 41°,點。是bc的中點，點e在ab上，將也沿龐折疊，若點的落點9在射線c4上，則e4與可。所夾銳角的度數(shù)是【分析】根據(jù)折疊可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及中點的性質(zhì)可得bd = bd,dc = db，,山等腰三角形性質(zhì)以及三角形外角定理求得z8龐'度數(shù)，在3od中根據(jù) 內(nèi)角和即可求得ba與87）所夾銳角的度數(shù).【詳解】如下圖，連接。& 84與&£相交于點0,.bde£wde,;.bd=bd,又： d為bc的中點，bd = dc ,.bd=/d,/

22、.zdbrc = zc = 41°,zbdb' = zdbc+zc = 82°,zbod = 180°-zb-匕 bdb' = 80°,即r4與月。所夾銳角的度數(shù)是80。故答案為：80°.【點睛】本題考察了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、中點的性質(zhì)、三角形的外角以及內(nèi)角和 定理，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.12.由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的數(shù)學(xué)的魅力一書中記載了這樣一個故事：如圖，三姐妹為了平分一塊邊長為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地毯分割成七塊，再試卷第14頁，共40頁拼成三個小正方形（陰影部分）.則圖中的長應(yīng)是【答

23、案】v2-1【分析】 根據(jù)裁剪和拼接的線段關(guān)系可知cd = g , bd = ce = 1,在rtacd中應(yīng)用勾股定理即可求解.【詳解】解：.地毯平均分成了 3份,.每一份的邊長為也=毛,v3 3cd = g ,在rtmcd中，根據(jù)勾股定理可得ad = jcdh，根據(jù)裁剪可知bd = ce = 1,ab = ad-bd = >/i-2,故答案為：>/2 1 -【點睛】本題考查勾股定理，根據(jù)裁剪找出對應(yīng)面積和線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13.如圖，在mbc中，ab = ac, 4 = 70。，以點c為圓心，g4長為半徑作弧，交直線3c于點p,連結(jié)ap,則zw 的度數(shù)是【答案】15?；?5

24、。【分析】分點p在8c的延長線上，點p在的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)點戶在的延長線上時，如圖v ab = ac,以= 70。，zb = zacb = 70°. zcab = 40°.以點c為圓心，g4長為半徑作孤，交直線于點p,:.ac=pc:.zp = zcap. zacb = zb + zcap = 70° zp = /cap = 35°zbap = abac + zcap = 40 + 35° = 75°當(dāng)點p在cb的延長線上時，如圖由得 zc = 70° , zg4b = 4

25、0°u：ac=pc. /p = zcap=55° zbap = cap-abac = 55 -40 = 15°故答案為：15?；?5。【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵.14.如圖，四邊形abcd中，zabc = zcda = 90°9分別以它的四條邊為斜邊，向外 作等腰直角三角形，其中3個三角形面積分別為2, 5, 9,則第4個三角形面積為【答案】12【分析】 連接ac,先根據(jù)等腰直角三角形的面積公式、勾股定理可得abbcad2的值，再利 用勾股定理可得cd?的值，山此即可得.【詳解】解：如圖，連接ac,abe是等腰直

26、角三角形，且它的面積為5,:,-ae be = -ae2=5,艮p4e2=10,22ab2 = ae2 + be2 = 2ae2 = 20 ,同理可得：bc2 = 36, ad2 = 8 ,. zabc = zcda = 90° 9ab2 + bc2 = ac2 = ad2 + cd2,艮p 20 + 36 = 8 + cd2,解得c疔=48,在等腰 rtcdf 中，cd2 = cf2 + df2 = 2cf2,即 cf2=cd2=24,則等腰rt kdf的面積為=ct op =c 2 = = x 24 = 12 ,222故答案為：12.【點睛】本題考查了等腰直角三角形、勾股定理，熟

27、練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.15.如圖，在aabc中，zacb=90°, ac<bc.分別以點a, 為圓心，大于! a8 的長為半徑畫弧，兩弧交于o, e兩點,直線。e交bc于點兄 連接以點a為 圓心，af為半徑畫弧，交8c延長線于點乩 連接若bc=3,則的周長 為【答案】6【分析】 根據(jù)作圖可得of垂直平分線段利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得af = bf,再根 據(jù)等腰三角形的三線合一可得左afh的周長= af + ah + fh = 2（af-hcf）= 2（bf-i-cf）= 2bc 9 即可求解.【詳解】解：由作圖可得垂直平分線段:.af = bf,.以點人為圓心，af為半徑

28、畫孤，交bc延長線于點h, af = ahf:.af = ah = bf.ac上bh ,:.cf = ch ,:.afh 的周長= af + a/ + f7/ = 2（af + cf）= 2（8f + cf）= 2bc = 6,故答案為：6.【點睛】本題考查尺規(guī)作圖一線段垂直平分線、等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握上述基本性質(zhì)定 理是解題的關(guān)鍵.16. 如圖，矩形abcd中,ab=1, ad=29 e為對角線bd上一個動點，過e作eflae 交bc于f.（1）當(dāng)ae= 1時，ef的長為；（2）ef長的最小值為【答案】！ 季【分析】（1 ）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到zfbe=zfeb，證明出左abf#3e

29、f,推出am1be, zabm=zbfm，得到abfsmxb,運用相似三角形對應(yīng)邊成比例得出結(jié) 論，（2）當(dāng)aelbd時，點8與點f重合，此時ef為最小值，用勾股定理求出bd = y5, 由zabe=zdba, zaeb二zdab,得至ij/kaebsdab,再運用相似三角形對應(yīng)邊成 比例得出結(jié)論.【詳解】解：（1）如圖，連接人f交8e于點m,.四邊形旭c。是矩形, zabc=zdab=90°f 9ab=ae=9:.zabe=zaeb,9：ae±ef,:.zaef=90°,:.zfbe=zfeb,:.bf=ef,在左abf和左aef中，u：ab=ae9 bf=ef

30、, af=aff：./abfaef csss),:.zbaf=zeaff am上be,:.zabm=zbfm,*： zbad=zfba=90°,:./xabfdab,.ab bf . = ，ad ab.1 bf =，21:.bf=ef=»故答案為：(2)如圖，當(dāng)aelbd時，點b與點尸重合，此時ef為最小值,(f)在rtl abd中，ab=f ad=2f由勾股定理得:bd = jf+22 =際，： zabe=zdba, zaeb=zdab,:./aebdabf.be ab. . i =,ab bdbe 1此時歐長的最小值為亞,5故答案為：季【點睛】 本題主要考查了矩形的性質(zhì)

31、、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題關(guān)鍵在于運 用矩形的性質(zhì)證明三角形全等，再證明出三角形相似，根據(jù)相似的性質(zhì)得出結(jié)論.17. 等腰三角形abc中，過c作cdvab交ab邊于點e,ab=ac=cdf連結(jié)ad并延長交c8延長線于點f,若db=5. bc=89則zafc=_, ab=【答案】45。；【分析】（1）要求nf的度數(shù)，要利用zadc是的外角，將其轉(zhuǎn)化中巳知的兩個等腰三 角形之中加以解決；（2）因為ab=cd,所以要求ab的長，需求cd的r即可，這樣， 將未知量和已知量集中在dbc中，分別過點。、4作dmlfc于m,于n,借助于勾股定理求得cq的長，但需考慮問題本身沒有給出圖形，可能

32、需要分情況進行 討論.【詳解】解：（1）如圖1所示，設(shè)zf = a,zdcf ="則 zadc = zf+/dcf = a*(3 .'：ac=cd9：.zcad=zadc=a + fi,cd lab,:.zabc+zdcf=90°,. zabc=90°- z dcf= 90°-/ ,u：ab=ac,.i zacb=zabc=9o°-j3. /acd = zacb -匕dcb = 9v - /3 - 0 = 90° - 2。.在 acd 中，zadc+ zdac+ zacd= 180°,v2 (a + 0) +90&#

33、176;-2/? = 180°. a = 45。.故答案為：45°.(2)過點。作dmlfc于m, an)fc于n分兩種情況: 當(dāng)點m在點b左側(cè)時，如圖2所示，f m b n c 圖2zcan+zacb=90°f /ocm+nabc=90。，zacb=zabc,:.zcan=zdcm,dcm = -can在dcm 和c4n 中，wdmc = zcna = 90 ,cd = ac:.4dcm m caa a4s).:.dm =cn = -bc = 4.2.在 rgdbm 中，bm = ldb2-dm2 = /52-42 = 3 -:.cm=cb+bm=s+3=.在

34、rs dcm 中，dc = jcm，+dm2 =3+疽=應(yīng).:.ab=dc=y/yj . 當(dāng)點m在點8右側(cè)時，如圖2所示,fb m nc圖2此時，cm=cb-bm=s-3=59其它不變.在如。cm 中，dc = vcm2 + dm2 =52 +42 =741 -:.ab=dc=y/4 .綜合、得，ab=4m或ji藥.故答案為：或j137 .【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、分類的 數(shù)學(xué)思想等知識點.熟知各種圖形的性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，分類討論是本題的關(guān)鍵.18. a abc 中，ab = 40, ac=6, £4 = 45。，折疊aabc,使點

35、 c 落在 ab 邊上的 點。處，折痕ef交ac于點當(dāng)點。由3向a連續(xù)移動過程中，點e經(jīng)過的路徑 長記為 m,貝!| bc=, m=.【答案】2嫗20-12扼【分析】過b作bm1ac,垂足為m,求出cm長度，利用勾股定理即可求出bc長度, 分析。點的運動路徑，分段計算出長度加在一起即可.【詳解】解：過8作bmlac,垂足為m,如圖1,v za=45°, ab=4,:bm=am=4,v2vac=6, / ca/=6-4=2,. bc = yjcm2 + bm2 = v22+42 =25： 由折疊知，ef垂直平分cd, .當(dāng)。與8重合時，此時ae最小,如圖2,作eig±4b,垂

36、足為g,連接e12,設(shè) ae=x.4=45。,:.ag=eig=.eif垂直平分c8, / eb=ec=6-x9:.在 rt4 ei gb 中,£i b2=ei g2+gb2，即（6-x）2 =解得x=l,（舍去負值）aaei=l, .ed=ec,.當(dāng)ae最大時，ec最短，led最短，.當(dāng)edlab時，玖）為垂線段，取最小值,如圖3,作e2d2±ab9垂足為慶，設(shè) ae2=yf貝ij adi=d2e2=_v2-2v，v eif垂直平分c£h, e1d2=e2c,孚/ y= 12-6 v2，:.ae2=2-6y2.e從最近到最遠走了 12-672-1 = 11-67

37、2 : 當(dāng)。從z>2點繼續(xù)向4移動，ed增加,.人£減小,當(dāng)。與a重合時，如圖4,圖4此時&眼&。=¥。=捉6=3,.e從&到&運動了 12-672-3=9-672 ,.點e從ei,運動到&,再運動到&,路徑長為11-67+9-675=20-1275,故答案為：25 ; 20-122 .【點睛】 本題主要考查圖形翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形等知識，熟練掌握圖形的翻折 變換，勾股定理，等腰直角三角形等知識，是解題的關(guān)鍵.19. 中，za=36°, n8是銳角.當(dāng)n=72。時，我們可以如圖作線段將mbc分成兩

38、個小等三角形如果存在一條線段將a8c分成兩個小三角形，這兩個小三角形都是等腰三角形，則匕8的角度還可以取到的有【答案】54°, 36°, 18°, 12°【分析】直線從a、8、c出發(fā)分三種情況討論，利用等邊對對角、三角形的外角性質(zhì)、三角形 的內(nèi)角和建立方程求解，再結(jié)合題干看是否存在即可得出答案.【詳解】解：這條直線從人、b、c出發(fā)皆可，設(shè)n8 = x(/)假設(shè)從村出發(fā)，如下圖： 當(dāng) bd=ad, ad=dc 0'j:.zb = zbad, zdac = zc/.180o-36°-x = 36°-x此時工的值不存在； 當(dāng) bd=

39、ad, aooc 時zb = zbad, zadc = adac. zadc = zb+abad = abac-abad:.2x = 36°-x解得：x = 12°； 當(dāng) bd=ad, ad=aczb = zbad, zadc = zc/ zadc = zb + z.bad = 2x, zc = 180°-x-36° = 144°-x.2x = 144°-x解得：x = 48°此時48° >36° ,此種情況不存在； 當(dāng) ab=ad, ad=dc bj*,zb = zadb, zadc = zc/z

40、bap = 180°-2x, zc = 180-x-36°. 180° - 2x = 36° - (180 - x - 36°)解得：x = 96° (不符合題意)()假設(shè)從8出發(fā)，如下圖：d當(dāng) ad=bd, bd=bc rt /bqc = za + zab£> = 36。x 2 = 72。 zc = 72。, zb = 72。，此情況成立;ad=bd, bd=dc /bdc = 72。，z£>bc = x-36° /.x-36° = 180o-36°-x解得：x = 90

41、°,此時不成立;(m)假設(shè)從c出發(fā)，如下圖:bd=dc, ac=dczadc = za = 36° = zb+zdcb = 2x解得：* = 18。，此時成立;bd=dc, ad=dczadc = 180。一 36。x 2 = 108。，zadc =+zdcb = 2x = 08°解得：工=54°，此時成立; bd=bc, ad=dc1 80。 %-nbdc"bcd =十,4 =圭。=36。，曷心za+zac。解得：x = 36。；綜上所述，匕8的角度還可以取到的有54。、36。、12。、18°.故答案為：54°, 36&#

42、176;, 18°, 12°.【點睛】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情 況討論，注意不要漏掉.20. 如圖，在等腰直角三角形abc中，以= 90。，點d為ab的中點，一塊45。的三角板底角與點q重合，并繞點。旋轉(zhuǎn)，另外兩邊分別與ac和bc相交于點e,點f,在旋轉(zhuǎn)過程中，恰好存在de = df,此時，bf = 2,則cf=【答案】4>/2-2【分析】過點。作dg1a c于點g,通過角度等量代換，證明 dbf欄zgd,進一步推導(dǎo)ag = dg=2,在rtadg中，根據(jù)勾股定理求得a。長度，轉(zhuǎn)化求得ab、8c長度，根 據(jù)cf=b

43、c-bf,即可求得cf的長度.【詳解】如下圖：§nolhh7 .><6月"一|.。wuxln 富a' l 06 n h6 長卜uytoqya 長劃2 彳ug 2寸告v -qqnczv. s寸h ady.06 n q¥g寸 n <1.ix0 蚩 hoa .。aoh" %a7 .m n ge 006 n 胃 & *1.n 二lha卷7 . 。a也07 n n.h7 .。備工nhxi z7&.x “ nhh7&.cf = bc-bf = 4y/i-2,故答案為：42-2【點睛】本題考查三角形的全等、等腰三角形的

44、性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識點，根據(jù)條件，準(zhǔn)確 找到相關(guān)的條件是解題的關(guān)鍵點.三、解答題21. 已知：如圖，點a、b、c、。在一條直線上，fb/ea交ec于h點,ea=fb,ab = cd."bcd(1) 求證：nacebdf ；(2) 若ch = bc,匕4 = 50。，求zd的度數(shù).【答案】(1)見解析；(2) 80°【分析】(1) 由ea/fb,利用同位角相等可得/eac2bd.由ab = cd,利用等式性質(zhì)可 得 ac = bd,可證 acebdf(sas)；(2) 由fb/ea可得ze4c = zfbz>50°,由ch = bc利用等角對等邊，可求zh

45、bc = zbhc = 50。.利用三角形內(nèi)角和可得zeca = 80°.利用vace4v位加性質(zhì)， 可得 zec4 = zd = 80°.【詳解】(1)證明：ve4/fb,.zeac = zfbd.ab = cd,ab + bc = cd+bc ,即 ac = bd,在 ace和股"'中，ac=bd. zeac = z.fbd ,ea = fb acebdf(sas).(2)解：fb/ea,:.zeac = zfbd=50。,: ch = bc,:.zhbc = £bhc = 50。.:.zeca = 180°-50°-50

46、° = 80°.,: naceibde,. zec4 = zd = 80°.【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，掌握 平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵.22. 1）門框的尺寸如圖1, 一塊長3m,寬2.1m的長方形薄板能否從門框內(nèi)通過？請 通過計算進行說明.長為1.4m,現(xiàn)（2）放在墻角的立柜（圖2）上下面是一個等腰直角三角形（圖3）,要將這個立柜搬過寬為1.2m的通道，能通過嗎？請通過計算進行說明（參考數(shù)據(jù):val.4, v5 «2.2)圖1圖2【答案】（1）能通過，理

47、由見解答；（2）能通過，理由見解答.【分析】（1）只要求出門框?qū)蔷€的長再與己知薄木板的寬相比較即可得出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形可得cd«0.98m< 1.2m,可得a3邊平行通道兩邊來平移立柜 就可以通過.【詳解】解：（1）能，理由是：如圖，連接ac,則ac與ab.構(gòu)成直角三角形，1)2m根據(jù)勾股定理得,則 ac =加2 + 昭2 =+ 22 =好2.2，/2.1cm < 2.2cm ,二該長方形能從門框內(nèi)通過（將該長方形的寬沿著ac斜著進去）；（2）能，理由是：在等腰直角三角形中（圖3）,.腰長為1.4m,ab = v2ac = -v2（m）,:cdlab,cd

48、 = ： ab =普扼 a 0.98（m）,/0.98m < 1.2m,能通過（ab邊平行通道兩邊來平移立柜就可以通過）.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用.23. 如圖，已知等邊abc,在ac 9 bc邊分別取點p, q,使ap = cqf連接aq, 相交于點。.(1) 求證：zvwp竺c4q(2) ap = -ac. 求器的值s 設(shè)mc的面積為s,四邊形cpoq的面積為s"求寸的值.【答案】(1)見解析；(2)瓷=-¥ = ：【分析】(1) 由等邊4abc,可得zbac=zacb=60°9 ab=a

49、c,己知 ap=c0 利用 sas 判定 可得結(jié)論；(2) 過點p作pd/bc,交a。于點。，利用平行線分線段成比例定理可得結(jié)論；設(shè)mbc的面積為。，連接pq,四邊形cpoq的面積等于 opq的面積與 cpq 的面積之和，利用等高的三角形的面積比等于它們底的比，分別用。表示opq的面 積與cfq的面積，通過計算可得出結(jié)論.【詳解】證明：.曲。是等邊三角形，a zbac=zacb=60 ab=ac.ab = ac在牘夕？與caq 中，-bap = zacqfap = cq所以acaq.pd ap 1(2).-過點p作pd/bc,交a。于點。，如圖，: pd/bc,pd ap 1 1.而pd =

50、cq ,又因為qc =、qb,所以pd二bq,2 6一 op pd 1 由于也況，所以=a.如圖，連接pq，設(shè)s/w. ap = -acf3:.cp = -ac.3s a bpc=ci.3*：cq = -bc ,3 scpq=-sbpc=-a.3 94 sbpq= sbpc- spqc=-a .竺=_. ob 6， 0p_. .bp 711 44s opq=s bpq=x ci=ci77 9 634 22 s2=s0pq +scpq=ci + ci=ci.63972 . sl_，"_2.s2 一a7【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用高相同的三角形的面積的比等于底的比的性質(zhì)表示出兩個三角形的而積比是解題的關(guān)鍵.24. 已知：如圖，在五邊形 abcde 中，ab = ae, zb = ze, bc=ed.(1) 求證：abczaed .(2) 當(dāng)ac!/de,匕at也= 40。時，求匕4cd的度數(shù).【答案】(1)見解析；(2) 70°【分析】(1) 利用sas即可證明結(jié)論；(2) 結(jié)合(1)可得ac=a