小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全第一部分常用解題依據(jù)(六~六)數(shù)學(xué)規(guī)律

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全第一部分常用解題依據(jù)（六之六）數(shù)學(xué)規(guī)律（六）數(shù)學(xué)規(guī)律1 數(shù)的整除性規(guī)律【能被 2 或 5 整除的數(shù)的特征】 （見(jiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略）【能被 3 或 9 整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被或 9整除。例如， 1248621 各位上的數(shù)字之和是3 和9 整除時(shí)， 這個(gè)數(shù)便能被31+2+4+8+6+2+1=243 24，則3 1248621 。又如，372681 各位上的數(shù)字之和是3+7+2+6+8+1=279 27，則 9 372681?！灸鼙?4或25整除的數(shù)的特征】 一個(gè)數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4 或 25 整除時(shí)， 這個(gè)

2、數(shù)便能被4或25整除。例如， 173824的末兩位數(shù)為24， 4 24，則 4 173824 。43586775 的末兩位數(shù)為 75， 25 75，則 2543586775 ?！灸鼙?8或 125整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被 8 或 125整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被8 或 125 整除。例如， 32178000 的末三位數(shù)字為 0，則這個(gè)數(shù)能被 8 整除，也能夠被 125 整除。3569824 的末三位數(shù)為824， 8 824，則 8 3569824。214813750 的末三位數(shù)為 750， 125750，則 125214813750 ?！灸鼙?7、11、

3、13整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、 13 整除時(shí)，這個(gè)數(shù)就能被7、11、 13整除。例如， 75523 的末三位數(shù)為 523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75， 523-75=448 ，448÷ 7=64，即7 448，則7 75523。又如， 1095874 的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221 ， 221÷ 13=17，即13 221，則 13 1095874。再如， 868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，

4、967-868=99， 99÷ 11=9，即11 99，則11 868967。此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1 整除時(shí)，則這個(gè)數(shù)便能被11 整除。例如， 4239235 的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為4+3+2+5=14，偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14，二者之差為14-14=0， 0÷ 11=0，即 110，則 11 4239235 。2.和差積商的變化規(guī)律【和的變化規(guī)律】（ 1）如果一個(gè)加數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，另一個(gè)加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。用字母表達(dá)就是如果

5、a+b=c，那么（ a+d） +b=c+d；（ a-d） +b=c-d。（ 2）如果一個(gè)加數(shù)增加一個(gè)數(shù)，另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù)，那么它們的和不變。用字母表達(dá)就是如果 a+b=c，那么（ a+d） +（ b-d） =c?！静畹淖兓?guī)律】（ 1）如果被減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，減數(shù)不變，那么，它們的差也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。用字母表達(dá)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載就是如果 a-b=c，那么（ a+d） -b=c+d，（ a-d） -b=c-d。（ a d+b）（ 2）如果減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增加）同一個(gè)數(shù)。用字母表達(dá)，就是如果 a-b=c，那么 a-（ b+d） =

6、c-d（ a b+d），a-（ b-d） =c+d。（ 3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個(gè)數(shù)，那么，它們的差不變。用字母表達(dá)，就是如果 a-b=c，那么（ a+d） -（ b+d） =c，（ a-d） -（ b-d） =c?！痉e的變化規(guī)律】（ 1）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮硪粋€(gè)因數(shù)不變，那么，它們的積也擴(kuò)大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。用字母表達(dá)，就是如果 a× b=c，那么（ a× n）× b=c×n，（ a÷ n）× b=c÷n 。（ 2）如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。用

7、字母表達(dá)，就是如果 a× b=c，那么（ a× n）×（ b÷n ） =c，或（ a÷ n）×（ b ×n） =c?！旧袒蛴鄶?shù)的變化規(guī)律】（ 1）如果被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴(kuò)大（或縮小）同樣的倍數(shù)。用字母表達(dá)，就是如果 a÷ b=q，那么（ a×n）÷ b=q× n，（ a÷ n）÷ b=q÷ n。（ 2）如果除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮怀龜?shù)不變，那么它們的商反而縮?。ɑ驍U(kuò)大）同樣的倍數(shù)。用字母表達(dá)，就是如果 a÷

8、b=q，那么 a÷（ b ×n） =q÷n，a÷（ b÷ n） =q× n。（ 3）被除數(shù)和除數(shù)都擴(kuò)大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，那么它們的商不變。用字母表達(dá)，就是如果 a÷ b=q，那么（ a×n）÷（ b× n） =q，（ a÷ n）÷（ b÷ n） =q。（ 4）在有余數(shù)的除法中，如果被除數(shù)和除數(shù)都擴(kuò)大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不完全商雖然不變，但余數(shù)卻會(huì)跟著擴(kuò)大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。這一變化規(guī)律用字母表示，就是如果 a÷ b=q（余 r），那么（ a&#

9、215; n）÷（ b× n） =q（余 r× n），（ a÷ n）÷（ b÷ n） =q（余 r÷ n）。例如， 84÷ 9=9 3，而（ 84× 2）÷（ 9× 2） =9 6（ 3× 2），（ 84÷3）÷（ 9÷ 3） =9 1（ 3÷ 3）。3.最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】（ 1）多個(gè)數(shù)的和一定（為一個(gè)不變的常數(shù)） ，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是如果 a1+a2+ +an=b（ b 為一常數(shù)），那么，當(dāng)a1=

10、a2= =an 時(shí)， a1× a2×× an 有最大值。例如， a1+a2=10，；1+9=101× 9=9；2+8=102× 8=16；3+7=103× 7=21；學(xué)習(xí)必備歡迎下載4+6=104× 6=24；4.5+5.5=10 4.5× 5.5=24.75 ；5+5=105× 5=25；5.5+4.5=10 5.5× 4.5=24.75 ；9+1=109× 1=9；由上可見(jiàn)，當(dāng)a1、 a2 兩數(shù)的差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2 時(shí)，它們的積就會(huì)變得最大。

11、三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律” ，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論 1 所有周長(zhǎng)相等的n 邊形，以正n 邊形（各角相等，各邊也相等的n 邊形）的面積為最大。例如，當(dāng)n=4 時(shí)，周長(zhǎng)相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長(zhǎng)為24 厘米的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解 設(shè)長(zhǎng)為 a 厘米，寬為 b 厘米，依題意得（ a+b）× 2=24即 a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時(shí)，面積最大為6× 6=36（平方厘米） 。（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長(zhǎng)方形。）結(jié)論 2 在三度（長(zhǎng)、寬、高）的和

12、一定的長(zhǎng)方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12 米長(zhǎng)的鐵絲焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高如何分配，它的體積才會(huì)最大？解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a 米，寬為b 米，高為c 米，依題意得（ a+b+c）× 4=12即 a+b+c=3由積最大規(guī)律，得 a=b=c=1（米）時(shí)，長(zhǎng)方體體積為最大。最大體積為1× 1×1=1（立方米）。（ 2）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個(gè)（不定）的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且 2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù) 8 拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個(gè)數(shù)，

13、則只能是8 個(gè)“ 1”，其積為 1。分拆成7個(gè)數(shù)，則只能是6 個(gè)“ 1”，1 個(gè)“ 2”，其積為 2。分拆成6個(gè)數(shù)，可得兩組數(shù)： （ 1，1， 1， 1， 1， 3）；（ 1， 1， 1， 1， 2， 2）。它們的積分別是 3 和 4。分拆成5個(gè)數(shù)，可得三組數(shù)： （ 1， 1，1，1 ，4）；（ 1，1，1，2 ，3）；（ 1，1，2， 2，2）。它們的積分別為4，6， 8。分拆成4 個(gè)數(shù)，可得5 組數(shù)：（ 1， 1， 1，5）；（ 1， 1， 2， 4）；（ 1，1， 3， 3）；（1， 2， 2， 3）；（ 2， 2， 2，2）。它們的積分別為5， 8，9， 12， 16。分拆成3個(gè)數(shù)，可

14、得5 組數(shù)：（ 1， 1，6）；（ 1，2，5）；（ 1，3，4）；（ 2， 2， 4）；（ 2， 3，3）。它們的積分別為 6，10， 12， 16， 18。分拆成2個(gè)數(shù)，可得4 組數(shù)：（ 1， 7）；（ 2， 6）；（ 3， 5）；（4，4）。它們的積分別為7， 12， 15，16。分拆成一個(gè)數(shù)，就是這個(gè)8。從上面可以看出，積最大的是18=3× 3× 2?？梢?jiàn)，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將 6、 7、14、 25 分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3 時(shí)，其積 3 ×3=9 為最大；7=3+2+2 時(shí)，其積 3× 2× 2=12

15、 為最大；14=3+3+3+3+2 時(shí)，其積3× 3×3 ×3× 2=162 為最大；學(xué)習(xí)必備歡迎下載由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的?！竞妥钚〉囊?guī)律】 幾個(gè)數(shù)的積一定， 當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)， 它們的和相等。 用字母表達(dá)， 就是如果 a1× a2×× an=c （ c 為常數(shù)），那么，當(dāng)a1=a2= =an 時(shí)， a1+a2+ +an 有最小值。例如， a1× a2=9，1× 9=91+9=10；3× 3=93+3=6；由上述各式可見(jiàn)，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越小；當(dāng)兩數(shù)差為0 時(shí)，它們

16、的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個(gè)面積為16 平方分米的長(zhǎng)方形，如何下料，材料最??？解 設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為 a 分米，寬為 b 分米，依題意得 a× b=16。要使材料最省，則長(zhǎng)方形周長(zhǎng)應(yīng)最小，即a+b 要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律” ，取a=b=4（分米）時(shí)，即用16 分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，所用的材料為最省。推論由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長(zhǎng)為最小。例如，面積均為4 平方分米的正方形和圓，正方形的周長(zhǎng)為8 分米；而的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)?！久娣e變化規(guī)律】在周長(zhǎng)一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為 0.433× 6=2.598（平方分米） 。

17、方形的面積。推論由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長(zhǎng)一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長(zhǎng)為4 分米的正方形面積為1 平方分米；而周長(zhǎng)為4 分米的圓，于和它周長(zhǎng)相等的正方形面積?！倔w積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正 n 邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。例如，表面積為8 平方厘米的正四面體 S ABC（如圖 1.30），它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2 平方厘米，它的體積約是1.1697 立方厘米。而表面積為8 平方厘米學(xué)習(xí)必備歡迎下載長(zhǎng)約為 1.1546 厘米，體積約為1.539 立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積

18、。推論由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，表面積為8 平方厘米的正四面體，體積約為1.1697 立方米；表面積為8 平方厘米的正六面體（正方體），體積約為 1.539 立方厘米；而表面積是8 平方厘米的球，體積卻約有2.128 立方厘米?？梢?jiàn)上面的結(jié)論是正確的。【排序不等式】對(duì)于兩個(gè)有序數(shù)組：a1a2 an 及 b1 b2 bn ，則 a1b1+a2b2+ +anb 抇 n（同序）T a1b 抇 1+a2b 抇 2+ +anb 抇 n（亂序） a1bn+a2bn-1+ +a>nb1（倒序）（其中 b 抇 1、 b 抇 2、 b 抇 n為

19、 b1、 b2、 bn 的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= =an，或 b1=b2= =bn 時(shí)，式中等號(hào)成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10 個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿(mǎn)第一、第二、九、十個(gè)人的桶，分別需要1、 2、3、 9 、10 分鐘。問(wèn)：如何安排這10 個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解 設(shè)每人水桶注滿(mǎn)時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1， 2， 3， 9，10。打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長(zhǎng)的人數(shù)排前，這樣組成1， 2，3， 9， 10。根據(jù)排序不

20、等式，最小積的和為倒序，即1× 10+2× 9+3× 8+4×7+5× 6+6× 5+7× 4+8× 3+9× 2+10× 1 =（ 1×10+2× 9+3×8+4× 7+5× 6）× 2 =（ 10+18+24+28+30）× 2=220（分鐘）其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿(mǎn)一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。4 、等積規(guī)律【三角形等積的基本規(guī)律】如果兩個(gè)三角形的底相等，高也相等，那么，這兩個(gè)三角形的面積相等。例如，在圖 1.

21、32 中， D 是 BC 的中點(diǎn)（即 BD=DC），則 ABD 與 ACD的面積相等。（等底同高）【三角形等積規(guī)律推論】由三角形等積這一基本規(guī)律，可以推出下面幾個(gè)結(jié)論。結(jié)論 1 如果兩個(gè)三角形有公共的底邊，且這底邊所對(duì)的頂點(diǎn)所在直線(xiàn)，與這底邊平行， 則這兩個(gè)三角形面積相等。例如，在圖1.33 中，A1A2 的連線(xiàn)與BC 平行，則 A1BC與 A2BC的面積相等。學(xué)習(xí)必備歡迎下載結(jié)論 2 在兩個(gè)三角形中，若相等的底在同一直線(xiàn)上，底所對(duì)的頂點(diǎn)在與底平行的另一同一直線(xiàn)上，則這兩個(gè)三角形的面積相等。例如圖 1.34 中的 A1B1C1 與 A2B2C2，它們的底 B1C1=B2C2，并且底同在直線(xiàn) B

22、1C2上，頂點(diǎn) A1、A2 的連線(xiàn) A1A2，與 B1C2平行，那么 A1B1C1 與 A2B2C2 的面積便是相等的。結(jié)論 3 如果一個(gè)三角形的一邊被分成了n 等分，并把這些等分點(diǎn)與頂點(diǎn)連結(jié)，那么這個(gè)三角形就被分成了n+1 個(gè)等積的三角形。例如圖 1.35 中， BC被點(diǎn) D1、D2、D3、D4、D5 分成了六等分，則ABC的面積也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分成了六等分。即ABD1、 AD1D2、 AD2D3、 AD3D4、 AD4D5、結(jié)論 4 如果兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。例如，在圖1.

23、36 中， ABC的高 AD，和 A 払扖挼母逜扗捪嗟齲珺C=3BBC的面積，便是A 払扖3 倍。（七）圖形旋轉(zhuǎn)與幾何體側(cè)面展開(kāi)1.幾何圖形旋轉(zhuǎn)【長(zhǎng)方形（或正方形）旋轉(zhuǎn)】將一個(gè)長(zhǎng)方形（或正方形）繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是“圓柱”。如圖 1.37，將矩形 ABCD繞 AB 旋轉(zhuǎn)一周，得圓柱 AB。其中 AB 為圓柱的軸，也是圓柱的高。 BC或 AC 是圓柱底面圓的半徑， CD叫做圓柱的母線(xiàn)?！局苯侨切涡D(zhuǎn)】將一個(gè)直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是“圓錐”。例如圖 1.38，將直角三角形 ABC，繞直角邊 AC 旋轉(zhuǎn)一周， 便形成了圓錐 AC。其中 AC 是圓錐的軸， 也是圓錐的高； CB 是圓錐底面的半徑； AB 叫做圓錐的母線(xiàn)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載【直角梯形旋轉(zhuǎn)】將一個(gè)直角梯形繞著它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，叫做“圓臺(tái)”例如圖 1.39，將直角梯形ABCD繞著它的直角腰AB 旋轉(zhuǎn)一周。便形成了圓臺(tái)AB。其中，臺(tái)的高，上下底AD、 BC，分別是圓臺(tái)上、下底面圓的半徑，斜腰DC，是圓臺(tái)的母線(xiàn)。AB 是圓臺(tái)的軸，也是圓【半圓旋轉(zhuǎn)】將一個(gè)半圓繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，叫做“球”。例如圖 1.40，半