中學(xué)考試復(fù)習(xí)將軍飲馬類題型大全

1、實(shí)用文檔 文案大全 “將軍飲馬”類題型大全 一求線段和最值 1（一）兩定一動(dòng)型 例1： 如圖， AMEF，BNEF，垂足為M、N，MN12m，AM5m，BN4m， P是EF上任意一點(diǎn)，則PAPB的最小值是_m 分析： 這是最基本的將軍飲馬問題，A，B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見的“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接A'B，此時(shí)A'PPB即為A'B，最短而要求A'B，則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決 解答： 作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作A'CBN的延長(zhǎng)線

2、于C易知A'MAMNC5m，BC9m，A'CMN12m，在RtA'BC中，A'B15m，即PAPB的最小值是15m 變式： 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，G為各邊中點(diǎn)，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BPG周長(zhǎng)的最小值為_ 實(shí)用文檔 文案大全 分析： 考慮到BG為定值是1，則BPG的周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求BPPG的最小值，又是兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出來到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接AG，則AGBC，再連接EG，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AEEG，則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)最后計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，別忘了加

3、上BG的長(zhǎng)度 解答： 連接AG，易知PGPA，BPPGBPPA，當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，BPPGBA，此時(shí)最短，BA2，BG1，即BPG周長(zhǎng)最短為 3. 2 （二）一定兩動(dòng)型 例2： 如圖，在ABC中，ABAC5，D為BC中點(diǎn)，AD5，P為AD上任意一點(diǎn)，E為AC上任意一點(diǎn)，求PCPE的最小值 實(shí)用文檔 文案大全 分析： 這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，PCPEPBPE，顯然當(dāng)B，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，BE更短但此時(shí)還不是最短，根據(jù)“垂線段最短” 只有當(dāng)BEAC時(shí)，BE最短求BE時(shí)，

4、用面積法即可 解答： 作BEAC交于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，易知ADBC，BD3，BC6， 則AD·BCBE·AC， 4×6BE·5，BE 4.8 變式： 如圖，BD平分ABC，E，F(xiàn)分別為線段BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB8，ABC的周長(zhǎng)為20，求EFCF的最小值_ 分析： 這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問題因?yàn)辄c(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C'必然在AB上，但由于BC長(zhǎng)度未知，BC'長(zhǎng)度也未知，則C'相對(duì)的也是不確定點(diǎn)，因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn) 解答： 實(shí)

5、用文檔 文案大全 如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F，則EFCFE'FCF，當(dāng)E'，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，E'FCFE'C，此時(shí)較短過點(diǎn)C作CE''AB于E''，當(dāng)點(diǎn)E' 與點(diǎn)E''重合時(shí)，E''C最短，E''C為AB邊上的高，E''C 5. （三）兩定兩動(dòng)型 例3： 如圖，AOB30°，OC5，OD12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求CFEFDE的最小值 . 分析： 這里的點(diǎn)C，點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)

6、的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”來考慮作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn) 解答： 作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C'，點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接C'D' CFEFDE C'F EF D'E，當(dāng)C'，F(xiàn)， E，D'四點(diǎn)共線時(shí)，CFEFDE C'D'最短易知D'OC'90°，OD'12，OC'5，C'D'13，CFEFDE最小值為13 實(shí)用文檔 文案大全 變式： （原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬1.78m，白球E距AD邊0.22m，距CD邊

7、1.4m，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊0.1m，若要使白球E經(jīng)過邊AD，DC，兩次反彈擊中紅球F，求白球E運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度 分析： 本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱點(diǎn)E'，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱點(diǎn)F'，即可畫出白球E的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型 解答： 作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對(duì)稱點(diǎn)E'，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接E'F'，交AD于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，則運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為EGGHHF長(zhǎng)度之和，即E'F'長(zhǎng)，延長(zhǎng)E'E交BC于N，交AD于

8、M，易知E'MEM0.22m，E'N1.780.222m，NF'NCCF'1.40.11.5m，則RtE'NF'中，E'F'2.5m，即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度為2.5m 實(shí)用文檔 文案大全 小結(jié)： 以上求線段和最值問題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”類的將軍飲馬型問題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來求解 當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對(duì)稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱 （二）求角

9、度 例1: P為AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別為射線OA，OB上一點(diǎn)，當(dāng)PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，MPN80° （1）AOB_° （2）求證：OP平分MPN 分析： 這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將M，N的位置找到，再來思考AOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P'，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''，其與OA交點(diǎn)即為M，OB交點(diǎn)即為N，如下圖，易知DPC與AOB互補(bǔ)，則求出DPC的度數(shù)即可 解答： （1）法1： 如圖，12100°，1P'323，2P''424，則3450°，D

10、PC130°，AOB50° 再分析： 實(shí)用文檔 文案大全 考慮到第二小問要證明OP平分MPN，我們就連接OP，則要證56，顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對(duì)稱性，我們?cè)龠B接OP'，OP''，則57，68，問題迎刃而解 解答： （1）法2： 易知OP'OP''，785680°，P'OP''100°，由對(duì)稱性知，911，1012，AOB91050° （2） 由OP'OP''，P'OP''100°知，7840°，5640°，OP平分MPN 變式： 如圖，在五邊形ABCDE中，BAE136°，BE90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為_ 分析： 這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，必然是作A點(diǎn)關(guān)于BC、DE的對(duì)稱點(diǎn)A、A，連接AA，與BC、DE的交點(diǎn)即為AMN周長(zhǎng)最小時(shí)M、N的位置 解答： 如圖， 實(shí)用文檔 文案大全 BAE136°， MAANAA44° 由對(duì)稱性知， MAAMAA， NAANAA， AMNANM 2MAA2NAA88° 思考題： 1.（2017