線性代數(shù)知識點歸納(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點第一部分 行列式1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）展開法則3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計算行列式的定義 1. 行列式的計算： (定義法) （降階法）行列式按行（列）展開定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. (化為三角型行列式)上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積. 若都是方陣（不必同階）,則 關(guān)于副對角線： 范德蒙德行列式： 型公式： (升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法. (遞推公式法)

2、對階行列式找出與或,之間的一種關(guān)系稱為遞推公式，其中 ,等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出的方法稱為遞推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和， 使問題簡化以例計算. (數(shù)學(xué)歸納法) 2. 對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；3. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值.4. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：第二部分 矩陣1. 矩陣的運算性質(zhì)2. 矩陣求逆3. 矩陣的秩的性質(zhì)4. 矩陣方程的求解1. 矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣. 記作：或 同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等

3、、列數(shù)也相等. 矩陣相等: 兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等. 矩陣運算 a. 矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）. b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣的乘積記作 或，規(guī)定為. c. 矩陣與矩陣相乘：設(shè), ,則， 其中 注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律, 即公式不成立. a. 分塊對角陣相乘：, b. 用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量； c. 用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. d. 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘. 方陣的冪的性質(zhì)：， 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，

4、記作. a. 對稱矩陣和反對稱矩陣: 是對稱矩陣 .是反對稱矩陣 . b. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣： 伴隨矩陣： ，為中各個元素的代數(shù)余子式. , . 分塊對角陣的伴隨矩陣： 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）2. 逆矩陣的求法 方陣可逆 .伴隨矩陣法 ： 初等變換法 分塊矩陣的逆矩陣： , 配方法或者待定系數(shù)法 （逆矩陣的定義）3. 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎 線后面的第一個元素非零. 當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時， 稱為行最簡形矩陣4. 初等變換與初等矩陣 對

5、換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式()()() 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系： 對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘； 對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘. 注意： 初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣. 5. 矩陣的秩 關(guān)于矩陣秩的描述： 、，中有階子式不為0，階子式 (存在的話) 全部為0； 、，的階子式全部為0； 、，中存在階子式不為0； 矩陣的秩的性質(zhì)： ; ; 若、可逆，則； 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩. 若； 若 等價標準型. , , 求矩陣的秩：定義法和行階梯

6、形陣方法6 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 第三部分 線性方程組1. 向量組的線性表示2. 向量組的線性相關(guān)性3. 向量組的秩4. 向量空間5.線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解） （1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系） （2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1. 線性表示：對于給定向量組，若存在一組數(shù)使得， 則稱是的線性組合，或稱稱可由的線性表示.線性表示的判別定理: 可由的線性表示 由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程： 、有解 、 、（全部按列分塊，其中）； 、（線性表出） 、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）2. 設(shè)的列向量為,的列向量為， 則

7、 ， 為的解 可由線性表示. 即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即： 3. 線性相關(guān)性判別方法： 法1 法2法3推論 線性相關(guān)性判別法（歸納） 線性相關(guān)性的性質(zhì) 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). （向量個數(shù)變動） 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變動） 兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則

8、可由線性表示,且表示法唯一4. 最大無關(guān)組相關(guān)知識向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作 矩陣等價 經(jīng)過有限次初等變換化為. 向量組等價 和可以相互線性表示. 記作： 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù). 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價. 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定.

9、 若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等. 設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式 向量式 其中 （1）解得判別定理（2）線性方程組解的性質(zhì)： (3) 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 都是的解； .(4) 求非齊次線性方程組Ax = b的通解的步驟 （5）其他性質(zhì) 一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是的一個解，是的一個解線性無關(guān) 與同解（列向量個數(shù)相同）, 且有結(jié)果： 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等； 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列

10、向量組等價（右乘可逆矩陣）.第四部分 方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化1. 標準正交基 個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1. 向量與的內(nèi)積 . 記為： 向量的長度 是單位向量 . 即長度為的向量.2. 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對稱性： 線性性： 3. 設(shè)A是一個n階方陣, 若存在數(shù)和n維非零列向量, 使得 ， 則稱是方陣A的一個特征值，為方陣A的對應(yīng)于特征值的一個特征向量. 的特征矩陣 （或）. 的特征多項式 （或）. 是矩陣的特征多項式 ，稱為矩陣的跡. 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征

11、值就是主對角線上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. 一定可分解為=、,從而的特征值 為：, . 為各行的公比，為各列的公比. 若的全部特征值，是多項式,則: 若滿足的任何一個特征值必滿足的全部特征值為；. 與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4. 特征值與特征向量的求法 (1) 寫出矩陣A的特征方程，求出特征值. (2) 根據(jù)得到 A 對應(yīng)于特征值的特征向量. 設(shè)的基礎(chǔ)解系為 其中. 則A 對應(yīng)于特征值的全部特征向量為 其中為任意不全為零的數(shù). 5. 與相似 （為可逆矩陣） 與正交相似 （為正交矩陣） 可以相似對角化 與對角陣相似.（稱是的相似標準形）

12、6. 相似矩陣的性質(zhì)： ,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時可逆或不可逆 若與相似, 則的多項式與的多項式相似.7. 矩陣對角化的判定方法 n 階矩陣A可對角化 (即相似于對角陣) 的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量. 這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值. 設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. 可相似對角化，其中為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的特征向量. ：當為的重的特征值時，可相似對角化的重數(shù)基礎(chǔ)解系的個數(shù). 若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化.8. 實對稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實數(shù),特征向量是實向

13、量； 不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交； ：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有個線性無關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重數(shù)=； 必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形； 與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形； 兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.9. 正交矩陣 正交矩陣的性質(zhì)： ； ； 正交陣的行列式等于1或-1； 是正交陣,則，也是正交陣； 兩個正交陣之積仍是正交陣； 的行（列）向量都是單位正交向量組.10. 11. 施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先

14、與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量. 第四部分 二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式3. 正定矩陣的判定1. 二次型 其中為對稱矩陣， 與合同 . （） 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項項數(shù) 負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)符號差 (為二次型的秩) 兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個矩陣合同的充分條件是：與等價 兩個矩陣合同的必要條件是：2. 經(jīng)過 化為標準形. 正交變換法 配方法（1）若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行， 直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形;（2） 若二次型中不含有平方項，但是 (), 則先作可逆線性變換 , 化二次型為含有平方項的二次型，然后再按(1)中方法配方. 初等變換法3. 正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣.4. 為正定二次型（之一成立）： （1） ，； （2）的特征值全大于； （3）的正慣性指數(shù)為； （4）的所有順序主