導體、絕緣體和半導體的能帶模型

1、§5-6導體、絕緣體和半導體的能帶模型盡管所有的固體都包含大量有電子，但有些固體具有很好的電子導電性能， 而另一些固體則觀察不到任何電子的導電性。對于固體為什么分為導體、絕緣 體和半導體呢？這一基礎事實曾長期得不到解釋，能帶論對這一問題給出了一 個理論說明，并由此逐步發(fā)展成為有關導體、絕緣體和半導體的現(xiàn)代理論。晶體中電子有能量本征值分裂成一系列能帶，每個能帶均由 N 個準連續(xù)能 級組成(N為晶體原胞數(shù))，所以，每個能帶可容納2N個電子。晶體電子從最低 能級開始填充，被電子填滿的能帶稱作滿帶，被電子部分填充的能帶稱為不滿 帶，沒有電子填充的能帶稱為空帶。能帶論解釋固體導電的基本觀點是：

2、滿帶 電子不導電，而不滿帶中的電子對導電有貢獻。5. 6. 1滿帶電子不導電從前面的知識中，已經知道，晶體中電子能量本征值E(k)是k的偶函數(shù)，則利用(5-5-11)，可以證明v(-k)=-v(k)，即v(k)是k的奇函數(shù)。一個完全填 滿的電子能帶，電子在能帶上的分布，在 k 空間具有中心對稱性，即一個電子 處于k態(tài)，其能量為E(k)，則必有另一個與其能量相同的 E(- k)= E( k)電子處于 -k 態(tài)。當不存在外電場時，盡管對于每一個電子來證，都帶有一定的電流-ev，但是k態(tài)和-k態(tài)的電子電流-ev(k)和-ev(- k)正好一對對相互抵消，所以說沒有 宏觀電流。當存在外電場或外磁場時，

3、電子在能帶中分布具有 k 空間中心對稱性的情 況仍不會改變。以一維能帶為例，圖 5-6-1 中 k 軸上的點子表示簡約布里淵區(qū) 內均勻分布的各量子態(tài)的電子。如上所述，在外電場 E 的作用下，所有電子所 處的狀態(tài)都以速度dk eE dTh(5-6-1)F圖5-6-1外場下滿帶電子的運動沿k軸移動。由于布里淵區(qū)邊界A和 A兩點實際上代表同一狀態(tài)，在電子 填滿布里淵區(qū)所有狀態(tài)即滿帶情況 下，從A點稱動出去的電子同時就從 A點流進來，因而整個能帶仍處于均 勻分布填滿狀態(tài)，并不產生電流。5. 6. 2不滿帶的電子導電圖5-6-2給出不滿帶電子填充的情況，沒有外電場時，電子從最低能級開 始填充，而且k態(tài)和

4、-k態(tài)總是成對地被電子填充的，所以總電流為零。存在外 電場時，整個電子分布將向著電場反方向移動，由于電子受到聲子或晶格不完 整性的散射作用，電子的狀態(tài)代表點不會無限地稱動下去，而是稍稍偏離原來 的分布，如圖5-6-2 (b)所示。當電子分布偏離中心對稱狀況時，各電了所荷載 的電流中將只有一部分被抵消，因而總電流不為零。外加電場增強，電子分布 更加偏離中心對稱分布，未被抵消的電子電流就愈大，晶體總電流也就愈大。 由于不滿帶電子可以導電，因而將不滿帶稱作導帶。(b)有外電場5.6.3導體、絕 緣體與半 導體的能 帶模型圖5-6-2 不滿帶電子在k空間的分布2/6下載文檔可編輯我們可以通過考察晶體電

5、子填充能帶的狀況來判斷晶體的導電性能。如果 晶體電子恰好填滿了最低的一系列能帶，能量再高的能帶都是空的，而且最高 的滿帶與最低的空帶之間存在一個很寬的禁帶（如 Eg 5eV ），那么，這種晶體 就是絕緣體。圖5-6-3 （c）給出了這種晶體電子填充能帶的狀況。如果晶體的 能帶中，除了滿帶外，還有不滿帶，那么，這種晶體就是金屬。半導體晶體電 子填充能帶的狀況與絕緣體的沒有本質不同，只是最高滿帶與最低空帶之間的 帶隙較窄（為Eg 13eV ）,這樣，在T=OK時，晶體是不導電的，在 TH OK時， 將有部分電子從滿帶頂部被激發(fā)到空帶的底部，使最高的滿帶及最低的空帶都 變成部分填充電子的不滿帶，晶體

6、因而具有一定的導電能力。圖 5-6-3 畫出導 體、絕緣體與半導體電子填充能帶的模型。堿金屬（如鋰、鈉、鉀等）及貴金屬（如金、銀等）每個原胞只含一個價電子。當N個這類原子結合成固體時，N個電子就占據(jù)著能帶中N個最低的量子 態(tài)。其余 N 個能量較高的量子態(tài)則是空的，即能帶是半滿的（每個能帶可容納 2N個電子）。因此，所有堿金屬、貴金屬晶體都是導體。惰性氣體原子的電子殼 層是閉合的，電子數(shù)是偶數(shù)，所以總是將最低能帶填滿，而較高的能帶空著。 這些元素形成的固體是絕緣體的典型例子。金剛石、硅和鍺的原胞含有兩個四 價原子，故每個原胞含有八個價電子，正好填滿價電子所形成的能帶。所以， 這些純凈的晶體在T=

7、OK時是絕緣體。堿土金屬（如鈣、鍶、鋇等）的每個原胞 含有兩個 s 電子，正好填滿 s 帶，堿土金屬晶體似乎應該是絕緣體，實際上卻 是良導體。原因在于s帶與上面的能帶發(fā)生交疊（如圖5-6-3 （b）的情況）,2N 個 s 電子在未完全填滿 s 帶時，就開始填充上面那個能帶，造成兩個不滿帶。 因此，堿土金屬晶體是導體。五族元素鉍、銻、砷等的晶體，每個原胞內含有 兩個電子，所以原胞內含有偶數(shù)個電子。這些晶體也應該是絕緣體，但它們卻有一定的導電性。原因在于這些晶體的能帶有交疊，只是交疊部分較少，使能 對與導電的電子濃度遠遠小于正常金屬中的電子濃度，電阻率比正常金屬大約 105倍，因而被稱作半金屬。由

8、此可見，若晶體的原胞含有奇數(shù)個價電子，這種 晶體必是導體；原胞含有偶數(shù)個價電子的晶體，如果能帶交疊，則晶體是導體或半金屬，如果能帶沒有交疊，禁帶窄的晶體就是半導體，禁帶寬的則是絕 緣體。滿帶中如缺了少數(shù)電子就會產生一定的導電性，這種近滿帶的情形在半導 體的問題中特別重要。要描述近滿帶中電子的運動，由于涉及到數(shù)目很大的電 子集體運動，因而在表述上十分不便。為此，我們引入空穴的概念，將大量電 子的集體運動等價地變?yōu)槊枋錾贁?shù)空穴的概念，從而大大簡化了有關近滿帶的 問題。為了說明空穴的概念并證明用電子和空穴兩種描述方法的等價性，我們不 妨假設滿帶中只有某一個狀態(tài) k未被電子占據(jù)，此時能帶是不滿的，因而

9、應有 電流產生，以j (k)表示。為計算j (k)，我們假想在空的k態(tài)中放入一個電子, 這個電子的電流等于-ev (k)。但是k態(tài)加入這個電子后，能帶又成為滿帶，所 以，總的電流應為零，從而有：j(k) ev(k) 0(5-6-2)即j(k) ev(k)(5-6-3)上式表明，當k態(tài)缺少一個電子時，近滿帶的總電流就如同一個具有正電荷e的粒子，以空狀態(tài)k的電子速度v (k)所產生的。dv(k) 1 dtm* (k)-(5-6-4)* * 考慮mx mydv(k) eE在電場E的作用下，近滿帶中所有電子的狀態(tài)都以式(5-5-14 )的規(guī)律變 化，空狀態(tài)也按同樣規(guī)律變化。因而空狀態(tài)的加速度為(eE)

10、 mZ球形等能面的簡單情況，上式變?yōu)椋篸tm；(k)(5-6-5)由于滿帶頂?shù)碾娮颖容^容易受熱而激發(fā)到導帶，因此空狀態(tài)多位于能帶頂 附近。在能帶頂附近m；為負值，為此我們定義空穴有效質量為：* *mh k me k (5-6-6)則有dv(k) eE dtmh(k)(5-6-7)由上面的討論我們得到下列結論：當滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電子運動，以及電流在外場作用下的變化，完全如同存在一個帶正電荷e，具有正有效質量m*、速度v( k)的粒子情況一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴?？昭ǜ拍畹囊耄沟脻M帶頂附近缺少一些電子的問題和導帶底有少數(shù)電 子的問題十分相似。然而應該強調指出，我們雖然賦于空穴有效質量、電荷等 屬性，但它并不是客觀存在的一種實物聞子，而只是客觀物質一一電子集體運 動