高一數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題(裂項(xiàng)相消法)

1、-作者xxxx-日期xxxx高一數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題(裂項(xiàng)相消法)【精品文檔】2（2014成都模擬）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a32=9a2a6有a32=9a42，q2=由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，a1=故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）則+=2（1）+（）+（）=，數(shù)列的前n項(xiàng)和為7（2013江西）正項(xiàng)數(shù)列an滿足（2n1）an2n=0（1）

2、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn解：（1）由正項(xiàng)數(shù)列an滿足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0an=2n（2）an=2n，bn=，bn=，Tn=數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn為6（2013山東）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列bn滿足=1，nN*，求bn的前n項(xiàng)和Tn解：（）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4=4S2，a2n=2an+1有：，解有a1=1，d=2an=2n1，nN*（）由已知+=1，nN*，有：當(dāng)n=1時(shí)，=，當(dāng)n2時(shí)，=（1）（1）=，n=1時(shí)符合

3、=，nN*由（）知，an=2n1，nN*bn=，nN*又Tn=+，Tn=+，兩式相減有：Tn=+（+）=Tn=328（2010山東）已知等差數(shù)列an滿足：a3=7，a5+a7=26an的前n項(xiàng)和為Sn（）求an及Sn；（）令（nN*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3=7，a5+a7=26，有，解有a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n；（）由（）知an=2n+1，bn=，Tn=，即數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn=25（2008四川）在數(shù)列an中，a1=1，（）求an的通項(xiàng)公式；（）令，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；（）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn解：

4、（）由條件有，又n=1時(shí)，故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公式為的等比數(shù)列，即（）由有，兩式相減，有：，（）由有Tn=2Sn+2a12an+1=3（2010四川）已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn=（4an）qn1（q0，nN*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn解：（1）設(shè)an的公差為d，由已知有解有a1=3，d=1故an=3+（n1）（1）=4n；（2）由（1）的解答有，bn=nqn1，于是Sn=1q0+2q1+3q2+nqn1若q1，將上式兩邊同乘以q，有qSn=1q1+2q2+3q3+nqn上面兩式相減，有（q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn1）=nqn于

5、是Sn=若q=1，則Sn=1+2+3+n=，Sn=4（2010四川）已知數(shù)列an滿足a1=0，a2=2，且對(duì)任意m、nN*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn=a2n+1a2n1（nN*），證明：bn是等差數(shù)列；（3）設(shè)cn=（an+1an）qn1（q0，nN*），求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn解：（1）由題意，令m=2，n=1，可有a3=2a2a1+2=6再令m=3，n=1，可有a5=2a3a1+8=20（2）當(dāng)nN*時(shí)，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a2（n+1）+1a2（n+1）1（a2n+1a2n1）=8即

6、bn+1bn=8bn是公差為8的等差數(shù)列（3）由（1）（2）解答可知bn是首項(xiàng)為b1=a3a1=6，公差為8的等差數(shù)列則bn=8n2，即a2n+1a2n1=8n2另由已知（令m=1）可有an=（n1）2an+1an=2n+1=2n+1=2n于是cn=2nqn1當(dāng)q=1時(shí)，Sn=2+4+6+2n=n（n+1）當(dāng)q1時(shí)，Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn1兩邊同乘以q，可有qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述兩式相減，有（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1）2nqn=22nqn=2Sn=2綜上所述，Sn=16（2009湖北）已知數(shù)列an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6=55，a2+a7=16（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式an=（nN*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意可知d0由a2+a7=16，有，2a1+7d=16由a3a6=55，有（a1+2d）（a1+5d）=55由聯(lián)立方程求，有d=2，a1=1/d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，則有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1兩式相減，有an+1an=cn+1，由（1）有