平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合問題分析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面向量與三角恒等變換相結(jié)合問題分析平面向量與三角恒等變換都是人教版高中數(shù)學(xué)必修四中的內(nèi)容，這些內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有重要地位，也是一個(gè)高考考察的熱點(diǎn)問題。其中平面向量是重要的數(shù)學(xué)概念和工具 ,它的有關(guān)知識(shí)能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題。三角函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)， 它的定義和性質(zhì)有著十分鮮明的特征和規(guī)律性。它們都與與代數(shù)、幾何有著密切的聯(lián)系。在此我僅對平面向量與三角函數(shù)結(jié)合性問題做簡要分析。準(zhǔn)備知識(shí)： 向量加、 減、數(shù)乘運(yùn)算及兩向量間共線、垂直，數(shù)量積、 夾角關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)。三角函數(shù)中同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式， 二倍角與半角的正弦

2、、余弦、正切公式。平面向量與三角恒等變換相結(jié)合問題如下：一：結(jié)合平面向量運(yùn)算律考察三角函數(shù)的化簡求值。利用向量的運(yùn)算律得到一個(gè)與三角函數(shù)有關(guān)的式子然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換進(jìn)行化簡求值。例1 ： 已 知 向 量 a3sin x,cos x ， b2 3,1 ， 若 a / / b ， 求sin x cosx 值。解：由 a / /b ， 3sin x 23cos x（利用向量平行公式）tan x2sin x（利用同角三角函數(shù)關(guān)系tan x）cos xsin x cosxsin x cosxtan xsin x cosxsin 2 xcos2 x1 tan2 x1（此處用到兩個(gè)技巧：利

3、用同角三角函數(shù)關(guān)系將1 轉(zhuǎn)化為 sin2 xcos2 x分子分母同時(shí)除以cos2 x 將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切問題）將 tan x2 帶入得到： sin x cosx2。5學(xué)習(xí)必備歡迎下載二：結(jié)合平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)性質(zhì)求特殊角利用平面向量夾角公式等問題求解三角函數(shù)中某角的值或范圍。例 2：已知向量 asin x,1 ，b2sin x,3sin x ，若 2ab ，且角 x的終邊不在坐標(biāo)軸上，求夾角x 。解：由 2ab ， 2ab 0 ，2 sin x,12sin x,3sin x02sin x,22sin x,3sin x0（兩向量垂直，則它們的數(shù)量積為0）（利用數(shù)乘向量）4sin2 x

4、2 3sin x 0 即 s i nx 2 s ixn3 0（注：此處以 sin x 為自變量，當(dāng)成一個(gè)整體，提取公因式）sin x033或 sin x由角 x 終邊不在坐標(biāo)軸上 sin x22452k k zx2k 或 x33（考察知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積，向量垂直公式，三角函數(shù)特殊值，三角函數(shù)周期性等問題）三：利用平面向量，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求新函數(shù)周期，最值，單調(diào)性例 3：設(shè)函數(shù)f xab，其中向量a 2 c oxs, xc o s，b sin x,2cos x， xR 。求函數(shù) fx 周期。求函數(shù) f x最大值及此時(shí) x 值的集合。求函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間。解： f x ab2s

5、in x cosx2cos2 xsin 2xcos2 x1（利用二倍角正弦、余弦公式）22 sin 2x2 cos2x 122學(xué)習(xí)必備歡迎下載（形如函數(shù) ya sin xb cosx ，我們可提取a2b2 進(jìn)行化簡，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為yA sin wx的形式，再進(jìn)行一系列求解）2 sin2xcoscos2xsin1442 sin 2x1（利用兩角和的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化）422周期 T2w當(dāng)此時(shí)sin 2x41時(shí)， fx max122x22kx | x8k , k z4當(dāng) 2x22k ,2k 時(shí)，函數(shù) fx 單調(diào)遞增。422k2x42k223xk3k ，k即單調(diào)增區(qū)間為k ,8888kz（兩個(gè)問題中需將2x當(dāng)成一個(gè)整體，具有整體代換思想，再利用正弦函數(shù)最4基本的性質(zhì)求解）向量與三角函數(shù)結(jié)合是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)，其目的在于考查學(xué)生對三