新北師大版八年級上數(shù)學(xué)勾股定理知識點(diǎn)+對應(yīng)練習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)第一章勾股定理1、勾股定理定義：直角三角形的兩直角邊長的平方和等于斜邊的平方。如果用a， b 和 c 分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2 b2 c2.B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊2. 勾股定理定義的應(yīng)用：（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC 中，C 90 ，則 ca 2b 2 ，bc2a2 ， ac2b2 ）（ 2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（ 3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題例. 在 RtABC 中， C=90°（ 1）若 a=5， b=12，則 c

2、=_ ；（ 2） b=8， c=17，則 SABC =_ 。3. 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后， 只要沒有重疊， 沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：DCHEGFba方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41(b a )22AcBabc ，化簡2ba可證accb方法二：c四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積bca四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為abS 41ab c22abc22大正方形面積為 S(a b)2a 22

3、 abb 2所以 a 2b2c24. 勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、 b、 c 滿足 a2+b2c2，那么這個三角形是直角三角形。5. 勾股數(shù) ：滿足 a2 b2 c2 的三個 正整數(shù) 叫做勾股數(shù)（注意： 若 a，b， c、為勾股數(shù)，那么學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)ka， kb， kc 同樣也是勾股數(shù)組。 ）常見勾股數(shù)：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,1372425 ，81517注：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時應(yīng)注意：（ 1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；222是

4、否具有相等關(guān)系，（ 2）驗(yàn)證 c與 a +b若 c2a2+b2，則 ABC 是以 C 為直角的直角三角形若 c2>a2+b2，則 ABC 是以 C 為鈍角的鈍角三角形；若 c2<a2+b2，則 ABC 為銳角三角形。（定理中 a ， b ， c 及 a2b2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長 a ， b ， c 滿足 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊）例.若一個三角形的三邊之比為5 1213，則這個三角形是 _（按角分類） 。若一個三角形的三邊長分別為 3,4,7，則這個三角形是 _（按角分類） 。6.

5、勾股定理的應(yīng)用（ 1） 立體圖形上兩點(diǎn)間的最短距離柱體的側(cè)面展開圖是一個矩形，求柱體上兩點(diǎn)之間最短距離，需要把柱體展開成平面圖形，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，以最短線為邊構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。例：有一圓柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直徑為20cm， 螞蟻爬行的速度為2cm/s.如果在盒外下底面的 A 處有一只螞蟻，它想吃到盒外對面中部點(diǎn) B 處的食物，那么它至少需要多少時間 ? ( 結(jié)果保留 )B·A·（ 2）平面圖形中的長短問題在求平面圖形中某條線段的長時，可以通過設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程求解。例. 如圖，矩形紙片 ABCD的長 AD=9，寬 AB=3，將其折疊，使

6、點(diǎn) D與點(diǎn) B 重合，那么折疊后 DE的長是多少？學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)練習(xí)（一）判斷三角形：1.ABC的三邊 a、b、 c 滿足(a b)2(b c)20，則ABC為三角形已知2. 在ABC 中，若 a 2 =（ b + c ）（ b - c ），則ABC 是三角形，且903. 在ABC 中， AB=13 ， AC=15 ，高 AD=12 ，則 BC 的長為4.已知a62 b8(c10) 20, 則以 a 、 b 、 c 為邊的三角形是5.x12xy25與z210 z 25互為相反數(shù)， 試判斷以 x 、y、z為三邊的三已知角形的形狀。6. 已知：在ABC 中，三條邊長分別為a 、 b 、 c ，

7、 a =n21，b=2n ，c=n2（n>1）1試說明：C=90 。7.若 ABC 的三邊 a 、b 、c 滿足條件 a2b2c2338 10a 24b 26c ，試判斷 ABC的形狀。（二）、實(shí)際應(yīng)用：1. 梯子滑動問題：（1）一架長 2.5 m 的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m ，那么梯子底端將向左滑動米（2）如圖，一個長為10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 米，如果梯子的頂端下滑1 米，那么，梯子底端的滑動距離1 米，（填“大于” ，“等于”，或“小于” ）（3）如圖，梯子 AB 斜靠在墻面

8、上， AC BC，AC=BC ，當(dāng)梯子的頂端 A 沿 AC 方向下滑x 米時，梯足 B 沿 CB 方向滑動 y 米，則 x 與 y 的大小關(guān)系是（）A. x yB. x yC. x yD.不能確定（4）小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開 5 米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為米學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)A8B6C2. 爬行距離最短問題：1.如圖，一塊磚寬AN= 5 ，長 ND=10， CD上的點(diǎn) F 距地面的高 FD=8 ，地面上 A處的一只螞蟻到 B 處吃食，要爬行的最短路線是cm2. 如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別

9、為20 dm 、 3 dm 、2 dm ，A 和 B是這個臺階兩相對的端點(diǎn)，A 點(diǎn)有一只昆蟲想到B 點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B 點(diǎn)的最短路程是分米？3.如圖，一只螞蟻沿邊長為a 的正方體表面從點(diǎn)A 爬到點(diǎn) B，則它走過的路程最短為 （）A.3aB. 12 aC. 3aD. 5aQAMBPN（三）求邊長：1. （ 1）在已知：R tABC 中， a 、 b 、 c 分別是a =6， c =10 ，求 b ；A、B、C的對邊，已知： a =40， b =9，求C= 90c ；2. 如圖所示，在四邊形 ABCD中， BAD= 90 ， DBC= 90 ，AD=3 ，AB=4 ，BC=12

10、 ，求CD。學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)（四）方向問題：1. 有一次，小明坐著輪船由 A 點(diǎn)出發(fā)沿正東方向 AN 航行，在 A 點(diǎn)望湖中小島 M ，測得MAN 30°， 當(dāng)他到 B 點(diǎn)時， 測得 MBN 45°， AB 100 米，你能算出AM 的長嗎？MABN2.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接著，它又掉頭向正東方向航行15 千米 此時輪船離開出發(fā)點(diǎn)多少km? 若輪船每航行1km ，需耗油0.4 升，那么在此過程中輪船共耗油多少升?（五）利用三角形面積相等：1.如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個得到，可得 ABC ，則邊 AC 上的高為（）A.32B.35C.35D.4521055ACB（六）折疊問題：1.如圖，在長方形ABCD 中，將（1）試說明： AF=FC ；（ 2）如果ABC 沿 AC 對折至AB=3 ，BC=4 ，求AECAF 的長位置， CE與AD交于點(diǎn)F。學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)2.如圖，在長方形使點(diǎn) D 恰好在 BCABCD 中， DC=5 ，在 DC 邊上存在一點(diǎn)邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若 ABF 的面積為E，沿直線 AE30，求折疊的把 ABC 折疊，AED 的面積ADEBFC3.如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC= 6 ，