線性控制系統(tǒng)教案5-Youla參數化

1、第五章：Youla 參數化和H-¥最優(yōu)控制The Youla Parametrization and H-¥ Optimal Control5.1 穩(wěn)定分式表示(stable fractional representation-SFR)稱是內部穩(wěn)定的，或鎮(zhèn)定。 圖5.1 標準反饋系統(tǒng)求出 (負反饋條件下)SFR意義下的單模陣(幺模陣, unimodular)： 與都是穩(wěn)定有理分式，即。設，定義： 右互質(right coprime)如果 只對單模陣 成立，則稱與右互質；這時稱 是不可約的(irreducible)2 / 19怎樣判定與右互質？存在穩(wěn)定分式矩陣使得。如果 是不

2、可約的(irreducible)，則的極點是的零點。SFR表示不是唯一的。按上面的表示，定理：圖5.1所示反饋系統(tǒng)內部穩(wěn)定的充要條件是是單模陣，即。不失一般性，可以設，進而，可以得到，如果鎮(zhèn)定，則存在，使得，且滿足 。所有控制器的參數化由上式可以得到，為任意穩(wěn)定有理真分式，則所有控制器的Youla參數化表示為：。如果是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)內部穩(wěn)定(鎮(zhèn)定)當且僅當是(指數)穩(wěn)定的。(按定理3.5，得出如果穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當且僅當穩(wěn)定.)這時 ，靈敏度函數。因此可得任意控制器為，即-所有控制器的Youla參數化表示。穩(wěn)定的傳遞函數集是一個環(huán)(ring)stable fractional repre

3、sentations例5.1 （問題：上例中的MFD描述是怎樣的？）所以檢驗：另一方面，則 確定。5.2 H-¥最優(yōu)化問題 H-¥ Optimization problem不精確已知被控對象的標準反饋結構如圖6.1(P185)。無攝動時如圖6.2(P186)，設使得。使用反饋得到實際設計中通常要求：這就是H-¥最優(yōu)化問題 H-¥ Optimization problem本章內容：1) 問題是怎樣產生(引出)的？2) 怎樣用狀態(tài)空間算法求解.問題求解的思路：首先應使系統(tǒng)穩(wěn)定，給出所有鎮(zhèn)定控制器的結構(給出所有控制器的參數化表示)；然后從控制器中選出最優(yōu)的。

4、5.2.1 一個有啟發(fā)意義的例子：靈敏度最小A motivating example: sensitivity minimization圖6.3(P187)所示，SISO系統(tǒng)，設是未知擾動，但頻譜限制在，尋找一個控制器使得擾動對輸出的影響最小-靈敏度函數，在該頻率段上幅值最小，但超出該段將導致噪聲放大，使穩(wěn)定性(裕度)變差。通常設計取權函數則最小化問題 。如定義，則，。靈敏度函數 。這時優(yōu)化問題轉化為 應用Youla參數化方法使我們轉化設計問題作為一個幾乎不受約束的優(yōu)化問題(任意取，保證系統(tǒng)正則穩(wěn)定)。該例顯示：Youla參數化可以簡化優(yōu)化問題。如果取幅值最小，則最優(yōu)值是常值，即全通函數。因此

5、，選擇權函數是至關重要的，這是一個敏感的(sensible)工程問題。注意：有時最優(yōu)解是不可實現的；即問題可能無解(解是非正則控制器)。有的問題不用Youla參數化求解，不是H-¥問題。5.3 H-¥控制問題公式化The H-¥ problem formulation5.3.1 幾個H-¥問題的例子靈敏度最小 sensitivity minimization一般考慮是方形情況，當行比列多(列比行多)更復雜。加攝動下的魯棒性 Robustness to additive perturbations如圖6.4，6.5(P190-191)，攝動的界依賴于與頻率

6、有關的函數由小增益定理，如果，則閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。轉化為標準形式 則混合特性和魯棒性目標Mixed performance and robustness objective為了得到好的干擾抑制性能(disturbance-rejection performance)和魯棒穩(wěn)定性(robust stability)，通常要求保持 不能同時實現。在不同頻率域上加權設5.3.2 性能魯棒：一個未解決的(unsolved)問題有些重要的設計問題不能轉化為H-¥問題，如性能魯棒當存在未建模攝動時。某些性能魯棒問題可以轉化為如下問題：其中是對角的，可通過迭代求解或，給定求是標準H-¥問

7、題，給定求是凸(convex)優(yōu)化問題。同時求最優(yōu)的和不易實現。5.4 Youla 參數化The Youla (or Q) parametrization5.4.1 fractional representations 分式表示推廣矩陣分式描述Matrix Fraction Description (MFD)到(穩(wěn)定)分式表示是穩(wěn)定的傳遞函數，而且右互質，左互質。重新定義單模陣(幺模陣unimodular)。右互質：，定理5.1(Bezouts theorem):和右互質當且僅當存在和使得。線性系統(tǒng)的分式表示：設有能穩(wěn)能檢測實現，狀態(tài)空間表示 取反饋， 則 應證明右互質(后面證)另一方面，(與書中推導不同) 進而，得 5.4.2 所有鎮(zhèn)定控制器的參數化Parametrization of all stabilizing controllers正反饋系統(tǒng)(圖6.4，圖2.2 P103)內穩(wěn)定等價于指數穩(wěn)定。定理5.2: 設穩(wěn)定分式表示：，則閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定當且僅當和 是穩(wěn)定的(即是單模陣)。證明：與右互質，與有相同的穩(wěn)定性。定理5.3: 閉環(huán)系統(tǒng)內穩(wěn)定，則可以被選擇滿足 (*)如果對應能穩(wěn)能檢測實現，則 定理5.4: 設，滿足則的任意鎮(zhèn)定控制器可以表示為這里，任意。幾點說明： 每取一個，都是控制