函數(shù)概念與基本初等函數(shù)典型例題解析

1、學習必備歡迎下載其次章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)§ 2.1映射、函數(shù)、反函數(shù)7/16/2021二、疑難學問導析1. 對映射概念的熟悉(1) 與是不同的，即與上有序的 . 或者說：映射是有方向的，(2) 輸出值的集合是集合b 的子集 . 即集合 b 中可能有元素在集合a 中找不到對應(yīng)的輸入值. 集合 a 中每一個輸入值，在集合b 中必定存在唯獨的輸出值 . 或者說：答應(yīng)集合b 中有剩留元素；答應(yīng)多對一，不答應(yīng)一對多.(3) 集合 a，b 可以是數(shù)集，也可以是點集或其它類型的集合.2. 對函數(shù)概念的熟悉2 留意定義中的集合a ，b 都是非空的數(shù)集, 而不能是其他集合；（ 3）函數(shù)的三種表示法

2、：解析法，列表法，和圖像法.3. 對反函數(shù)概念的熟悉（1）函數(shù) y=f x只有滿意是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來求，而應(yīng)當通過原函數(shù)的值域而得 .（3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于y=x 對稱 .三、經(jīng)典例題導講 例 1 設(shè) m a，b， c， n 2,0,2 , 求（ 1）從 m到 n的映射種數(shù)；（2）從 m到 n 的映射滿意f a>f b fc,試確定這樣的映射f 的種數(shù) . 例 2 已知函數(shù)f x的定義域為 0 ，1 ，求函數(shù)f x1 的定義域 例 3 已知：xn

3、 * ,f xx5 x6，求 f3 .1f x2 x6 例 4 已知f x的反函數(shù)是1fx ，假如f x 與 f x 的圖像有交點，那么交點必在直線yx 上，判定此命題是否正確？y 1 x 與ylogx 的圖像的交點中，點1111不在直線yx 上，由此可以 說明 “兩互為反函數(shù)圖像的交點必在直1,（,，）16162442線 yx 上”是不正確的 . 例 5 求函數(shù)yf xx24 x6 ， x1,5 的值域 . 例 6 已知f x3x4 ，求函數(shù)f1 x1 的解析式 . 例 7 依據(jù)條件求以下各函數(shù)的解析式：（ 1）已知f x 是二次函數(shù)，如f 00,f x1f xx1 ，求f x .學習必備歡

4、迎下載（ 2）已知f x1x 2x ，求f x（ 3）如f x 滿意f x2 f 1xax, 求f x 例 9 設(shè)f x是 r 上的函數(shù)，且滿意f 01, 并且對任意的實數(shù)x, y 都有f xyf xy2 xy1 ，求f x的表達式 .四、典型習題導練1. 已知函數(shù) fx，x f，那么集合 x ，y|y=fx， xf x ，y|x=1 中所含元素的個數(shù)是（）a.0b.1c.0或 1d.1或 22. 對函數(shù)f x3x 2axb 作代換 x=gt ，就總不轉(zhuǎn)變f x 值域的代換是 a.g tlog 1 t2b. gt 1 t2c.gt=t1 2d.gt=cost3. 方程 f x,y=0的曲線如下

5、列圖，那么方程f 2 x,y=0的曲線是 abcd4. 函數(shù) fx19| xn| 的最小值為 i1a190b.171c.90d.455. 如函數(shù) f x=mx x 3 在定義域內(nèi)恒有f f x =x, 就 m等于 4 x34a.3b.3c. 23d. 326. 已知函數(shù)f x 滿意：f abf af b ，f 12 ，就f 2 1f 2f 2 2f 4f 2 3f 6f 2 4f 8.f 1f 3f 5f 7學習必備歡迎下載三、經(jīng)典例題導講1 例 1 判定函數(shù)x的單調(diào)性 .§2.2 函數(shù)的性質(zhì)y 例 2 判定函數(shù)f3x12x1 1x 的奇偶性 . 定義域 x 例 3判定f xlog

6、2 xx1 的奇偶性 . 例 4 函數(shù) y=54xx 2 的單調(diào)增區(qū)間是 .2 例 5已知奇函數(shù)f x 是定義在 3，3 上的減函數(shù)，且滿意不等式f x3+ f x 3<0, 求 x 的取值范疇 . 例 7 如 fx=ax1x2在區(qū)間（ 2，）上是增函數(shù)，求a 的取值范疇a=x|2< x<6 ,1a2 例 8已知函數(shù) f x 在 1，1 上有定義， f 試證明：1 = 1, 當且僅當 0<x<1 時 f x<0, 且對任意 x、y 1,1 都有 f x+ f y= f x21y ,xy1 f x 為奇函數(shù)； 2 f x 在 1，1 上單調(diào)遞減四、典型習題導練

7、1. 某同學離家去學校，由于怕遲到，所以一開頭就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y 軸表示離學校的距離，x 軸表示動身后的時間，就適合題意的圖形是2. 如函數(shù)f x是定義在 r 上的偶函數(shù)，在,0 上是減函數(shù)，且f 20，就使得f x0的x 的取值范疇是（）a. ,2b. 2, c.,22,d. （2， 2）3. 如函數(shù)f xlog n xx22a 2 是奇函數(shù)，就a=.4. 已知 yf x 是定義在 r 上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)x1x2 ，1, ax1x2 , 1x2x11，如 |f x1 f x2 | f f |，就（）a.0b.0c. 01d.1.學習必備歡迎下載5. 已知f x 是定義在

8、 r 上的奇函數(shù)，且當x0, 時，f x x13 x ，求f x .一、學問導學1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).§2.3基本初等函數(shù)（ 1）留意解題中敏捷運用二次函數(shù)的一般式f xax2bxca0二次函數(shù)的頂點式f xa xm 2na0 和二次函數(shù)的坐標式f xa xx1 xx2 a02. 指數(shù)函數(shù)y a x a0, a1 和對數(shù)函數(shù)ylog ax a0, a1 的概念和性質(zhì) .（ 1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運算法就： amana m n ； am na mn ； ab nan b n （這時 m,n 是有理數(shù)）對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)、換底公式.log mn logmlogn ;l

9、ogmlogmlognnaaaaaann1log c blogamn logam ;log amlog a m ；nlog a blog c a二、疑難學問導析（ 1）式子 n an a ，6. 冪函數(shù) yx的性質(zhì)，要留意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響.（ 1）當奇時，冪函數(shù)是奇函數(shù)； （2）當奇偶時，冪函數(shù)是偶函數(shù)； （3）當奇奇時，定義域不關(guān)于原點對稱，冪函數(shù)為非偶奇非偶函數(shù) .三、經(jīng)典例題導講 例 1 已知 log 18 9a,18b5, 求 log36 45log45log18 45log185log 18 9bababa36log36log4log918182a181818log2a2l

10、oga181899 例 2 分析方程f xax2bxc0 （ a0 ）的兩個根都大于1 的充要條件 .學習必備歡迎下載 例 3 求函數(shù) y36x126x5 的單調(diào)區(qū)間 .單調(diào)遞減區(qū)間是,1 ，單調(diào)遞增區(qū)間為1, 例 4 已知 ylog a 2ax 在0 ，1 上是 x 的減函數(shù)，就a 的取值范疇是1 a 2 例 5 已知函數(shù)f xlog a 3ax .（ 1）當 x0,2時 f x恒有意義，求實數(shù)a 的取值范疇 .（ 2）是否存在這樣的實數(shù)a 使得函數(shù)f x在區(qū)間 1 ，2 上為減函數(shù)，并且最大值為1，假如存在，試求出a 的值；假如不存在，請說明理由 .12 x4 xa 例 6 已知函數(shù) f

11、x=lg2a,其中 a 為常數(shù)，如當x , 1 時,f x 有意義，求實數(shù)a 的取值范疇 .a1分析 ：參數(shù)深含在一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達式中，欲直接建立關(guān)于a 的不等式（組）特別困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a分別出來，重新熟悉a 與其它變元 x 的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，常可使原問題“柳暗花明”.12 x解：4 xa2>0,且 a a+1= a1 2+ 3>0,a 2a124xx11 1+2+4 ·a>0,a>x4x ,21當 x , 1時,y=4x1與 y=2x都是減函數(shù)，1111342 y=x4 在 , 1上是增函數(shù)，x2xx max= 4

12、 , a>3,故 a 的取值范疇是 43, + .4點評： 挖掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)制造性地使原問題獲解， 是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn). 此題主客換位后， 利用新建函數(shù)y= 14 x實數(shù) a 的取值范疇 . 此法也叫主元法 .四、典型習題導練1x 的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值奇妙地求出了21.函數(shù)f xx ba的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，就以下結(jié)論正確選項（）a. a1, b0b. a1, b0c. 0a1,b0d. 0a1,b0學習必備歡迎下載2、已知 2lgx 2y=lgx+lgy,就x 的值為（）y2a

13、.1b.4c.1 或 4d.4 或 83、方程log a x1x2 0<a<1 的解的個數(shù)為（）a.0b.1c.2d.34、函數(shù) fx與 gx=1 x 的圖像關(guān)于直線y=x 對稱 , 就 f4 x 2 的單調(diào)遞增區(qū)間是）2a. 0,b. ,0c. 0,2d.2,05、圖中曲線是冪函數(shù)y x n 在第一象限的圖像，已知n 可取± 2，± 1 四個值 , 就相應(yīng)于曲線c1、2c2 、c3 、c4 的 n 依次為 a. 2， 1 ， 1 ， 2b2， 1 ， 1 ， 22222c. 1 ， 2,2 ， 1d. 2， 1 ， 2, 1222226. 求函數(shù) y = lo

14、g2 x5x+6的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.7. 如 x 滿 足值.2log 12x214 log4 x30 , 求 fx=log 2x log22x最大值和最小28. 已知定義在r 上的函數(shù)f x2xa , a 為常數(shù)2x（ 1）假如f x f x ，求 a 的值；（ 2）當f x滿意（ 1）時，用單調(diào)性定義爭論f x的單調(diào)性 .一、學問導學1. 函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系：§ 2.4函數(shù)與方程一般地，對于函數(shù)yf x （ xd ）我們稱方程f x0 的實數(shù)根 x 也叫做函數(shù)的零點，即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值 .求綜合方程 f x= g x 的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)yf

15、 xg x 的零點 .2. 函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系：一般地， 函數(shù)yf x （ xd ）的圖像與 x 軸交點的橫坐標就是f x0 的根 . 綜合方程f x= g x 的根， 就是求函數(shù)yf x與 y=g x 的圖像的交點或交點個數(shù)，或求方程yf xg x 的圖像與 x 軸交點的橫坐標.3. 判定一個函數(shù)是否有零點的方法：假如函數(shù)yf x 在區(qū)間 a,b上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有f af b 0 ，那么，函數(shù)yf x在區(qū)間（ a,b ）上至少有一個零點， 即至少存在一個數(shù)c a, b 使得f c0 ，這個 c 也就是方程f x0 的一個根 . 對于我們學習的簡潔函數(shù)，可以借助學習必備歡迎

16、下載yf x 圖像判定解的個數(shù)，或者把f x 寫成g xh x ，然后借助yg x 、 yh x 的圖像的交點去判定函數(shù)f x 的零點情形 .4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系：二次函數(shù)yax2bxc 的零點，就是二次方程ax2bxc0 的根，也是二次函數(shù)yax2bxc 的圖像與x 軸交點的橫坐標 .5. 二分法：對于區(qū)間 a,b上的連續(xù)不斷，且f af b 0 的函數(shù)yf x ，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.三、經(jīng)典例題導講 例 1 已知函數(shù)f xx2ax3a 如 x2, 2 時，f x0 恒成立

17、，求 a 的取值范疇 .綜上，得 7 a 2 例 2 已知 mx2x10 有且只有一根在區(qū)間（0,1 ）內(nèi)，求 m 的取值范疇 .綜上所得，m 2四、典型習題導練1. 方程x3x20 的實根的個數(shù)是（）a. 0b. 1c. 2d. 3.2. 已知拋物線yf xx22mxm7 與 x 軸的兩個交點在（ 1,0 ）兩旁， 就關(guān)于 x 的方程1 x24m1xm25 0的根的情形是（） . 有兩個正數(shù)根b. 有兩個負數(shù)根c. 有一個正數(shù)根和一個負數(shù)根d.無實數(shù)根3. 如關(guān)于 x 的方程2ax2x10 在（ 0,1 ）內(nèi)恰有一解，就a 的取值范疇為（）a.a 1b.a 1c. 1 a 1d.0 a 1學

18、習必備歡迎下載4. 已知函數(shù)f xax 3bx 2cxd 的圖像如下列圖，就b 的取值范疇是（）a.- ,0b.0,1c.1,2d.2,+5. 已知函數(shù)yf x 對一切實數(shù)都有f x2f 2x 成立，且方程f x=0 恰有6 個不同的實根，就這6 個根的和是.6. 已知在二次函數(shù)的解析式f xax2bxc 中，f 1 3，f 0 8，且它的兩個零點間的距離等于2，求這個二次函數(shù)的解析式 . x2 x x22三、經(jīng)典例題導講§2.5函數(shù)的綜合運用 例 1不等式log23x 22x4log23x2. 例 5定義在 r上的函數(shù)fx 滿意：對任意實數(shù)m, n ，總有 fmnfmfn，且當 x

19、0 時， 0fx1.（ 1）試求f0 的值；（ 2）判定fx 的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；解：（ 1）在 fmnfmfn中，令 m1,n0 . 得： f1f1f0 .因 為 f10 ，所以，f01.（ 2）要判定fx 的單調(diào)性，可任取x1, x2r ，且設(shè) x1x2 .在已知條件fmnfmfn中，如取mnx2 ,mx1 ，就已知條件可化為：fx2fx1fx2x1.由于 x2x10 ，所以 1fx2x10 .為比較fx2、fx1的大小，只需考慮fx1的正負即可 .在 fmnfmfn中，令 mx ， nx ，就得fxfx1.x0 時， 0fx1， 當 x0 時， fx1fx10 .又 f01，所以，綜上，可知，對于任意x1r ，均有fx10 .學習必備歡迎下載fx2fx1fx1fx2x110 . 函數(shù) fx 在 r 上單調(diào)遞減 . 例 6 設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù)f xx2| xa |1 ， xr（ 1）爭論f x 的奇偶性；（ 2）求f x的最小值 .解：（ 1）當 a0 時，函數(shù)f xx 2|x |1f x此時，f x 為偶函數(shù)當 a0 時，f a a 21