(完整版)2.2.1綜合法和分析法

1、2.2直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過(guò)程系的重要思維過(guò)程.數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合主要靠合情推理情推理.復(fù)習(xí)推 理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論（一般到特殊）例例:已知已知a0,b0,求證求證a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎2+c2 2bc,a0所以所以a(b2+c2)2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏2+a2 2ac,b0所以所以b(c2+a2) 2abc.因此因此a(

2、b2+c2)+b(c2+a2)4abc.證明證明:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法這種證明方法叫做叫做綜合法（綜合法（順推證法順推證法）用用p表示已知條件、已有的定義、公理、表示已知條件、已有的定義、公理、定理等定理等,q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為則綜合法用框圖表示為:1 1p pq q1 12 2q qq q2 23 3q qq qn nq qq q特點(diǎn):“由因?qū)Ч?? ?分析 由a,b,c成等差數(shù)

3、列可得什么由a,b,c成等比數(shù)列可得什么0260(?)a cbb 為 什 么2bac?怎樣把邊,角聯(lián)系起來(lái)222:2cosbacacb余弦定理符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言學(xué)會(huì)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換學(xué)會(huì)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換找出隱含條件找出隱含條件例例1：在：在中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分別為應(yīng)的邊分別為a、b、c，且、成等，且、成等差數(shù)列，差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形分析法回顧基本不等式：回顧基本不等式： (a0,b0)的證明的證明.a a + + b ba a b b2 2證明證明:因?yàn)橐驗(yàn)? 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a

4、 a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明:要證要證;只需證只需證;只需證只需證;只需證只需證;因?yàn)橐驗(yàn)? 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為條件，直至最后

5、，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做法叫做分析法分析法 特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因.用框圖表示分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn).1 1qpqp2323pppp1212pppp得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論例2 求證 372 5 372 5解解:要證要證()()22372 5只需證只需證展開(kāi)展開(kāi),只需證只需證215只需證只需證 2125因?yàn)橐驗(yàn)?2125成立成立,所以所以 成立成立.372 52 22 22 22 22 2例

6、例 3 3. . 已已 知知 , , k k + +( (k kz z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s = = 2 2s si in n s si in n c co os s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )證證:用用p表示已知條件表示已知條件,定義定義,定理定理,公理等公理等,用用q表表示要證的結(jié)論示要證的結(jié)論,則上述過(guò)程可用框圖表示則上述過(guò)程可用框圖表示為為:p89小結(jié)小結(jié) 1

7、.1.在數(shù)學(xué)證明中，綜合法和分析法是在數(shù)學(xué)證明中，綜合法和分析法是兩種最常用的數(shù)學(xué)方法，若從已知入手兩種最常用的數(shù)學(xué)方法，若從已知入手能找到證明的途徑，則用綜合法，否則能找到證明的途徑，則用綜合法，否則用分析法用分析法. . 2.2.綜合法的每步推理都是尋找必要條綜合法的每步推理都是尋找必要條件，分析法的每步推理都是尋找充分條件，分析法的每步推理都是尋找充分條件，在解題表述中要注意語(yǔ)言的規(guī)范性件，在解題表述中要注意語(yǔ)言的規(guī)范性和邏輯性和邏輯性. . 3.3.綜合法和分析法是兩種互逆的思維綜合法和分析法是兩種互逆的思維模式，在證明某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，常模式，在證明某些較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，常采用分析綜合法