初三復(fù)習(xí)二次函數(shù)專題

1、優(yōu)秀教案歡迎下載二次函數(shù)復(fù)習(xí)專題（二）、學(xué)問要點(diǎn)1. 二次函數(shù)解析式的幾種形式：2一般式：yaxbxc （ a、b 、c 為常數(shù)， a0）2頂點(diǎn)式：ya xhk （ a、h、k 為常數(shù)， a 0），其中（ h， k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；交點(diǎn)式：ya xx1 xx2 ，其中 x1， x2 是拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax 2bxc0 的兩個(gè)根，且a 0，（也叫兩根式）；22. 二次函數(shù)yax2二次函數(shù)yaxbxc 的圖象bxc 的圖象是對稱軸平行于（包括重合）y 軸的拋物線，幾個(gè)不同的二次函數(shù)，假如a 相同，那么拋物線的開口方向，開口大小（即外形）完全相同，只是位置不同；任意拋物線ya

2、xh2k 可以由拋物線yax 2 經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，移動?guī)律可簡記為： 左加右減，上加下減，詳細(xì)平移方法如下表所示；在畫 yax 2bxc 的圖象時(shí)，可以先配方成ya xh 2k 的形式，然后將2yax 的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖象，即平移法；也可用描點(diǎn)法：也是將yax2bxc 配成 ya xh 2k 的形式， 這樣可以確定開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；然后取圖象與y 軸的交點(diǎn)（ 0， c），及此點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2h， c）；假如圖象 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，就直接取這兩個(gè)點(diǎn)（x1， 0），（ x2， 0）就行了；假如圖象與x 軸只有 一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)，那應(yīng)當(dāng)在對稱軸兩側(cè)取對稱點(diǎn)

3、，（這兩點(diǎn)不是與y 軸交點(diǎn)及其對稱點(diǎn)），一般畫圖象找5 個(gè)點(diǎn)；3. 二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)2二次函數(shù)yaxbxcya xh 2k（ a、h、k 為常數(shù)， a0 ）（ a、b、c 為常數(shù)， a 0）a 0a 0a 0a 0優(yōu)秀教案歡迎下載圖象1 拋物線開口向上，并向上無限延長性b1 拋物線開口向下，并向下無限延長b1拋物線開口向上， 并向上無限延長2對稱軸是 x h，頂點(diǎn)是（ h，k）1拋物線開口向下， 并向下無限延長2對稱軸是x h，頂點(diǎn)是（ h， k）2 對稱軸是x頂點(diǎn)是2a ，2 對稱軸是 x頂點(diǎn)是2a ，b，（2a質(zhì)4acb 24a） （bb4acb 2，2a4ab）3當(dāng) xh 時(shí)， y 隨

4、 x 3當(dāng) xh 時(shí)， y 隨 xx3 當(dāng)2a 時(shí)， y 隨x3 當(dāng)2 a 時(shí)， y 隨的增大而減??；當(dāng)x的增大而增大；當(dāng)xx 的增大而減小；當(dāng)x 的增大而增大；當(dāng)xbxb h 時(shí)，y 隨 x 的增大而增大； h 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小2a 時(shí)， y 隨 x 的2a 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大4 拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)b增大而減小4 拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)b4拋物線有最低點(diǎn)， 當(dāng) xh 時(shí)， y 有最小4拋物線有最高點(diǎn)， 當(dāng) x h 時(shí)， y 有最大x2ay最小值值，時(shí)， y 有最小4 acb 24ax2ay最大值值，時(shí)， y 有最大4acb 24a值 y最小值k值 y最大值k24. 求拋物

5、線的頂點(diǎn)、對稱軸和最值的方法2配方法： 將解析式y(tǒng)axbxc 化為 ya xhk 的形式， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （ h，k），對稱軸為直線xh ，如 a0 ，y 有最小值，當(dāng)x h 時(shí)， y最小值k ；如 a0 ，y 有最大值，當(dāng)x h 時(shí)， y最大值k ；，b4acb 2公式法： 直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（2 a4a），求其頂點(diǎn)；對稱軸是直線2xba 2a ，如0， y有最小值，當(dāng)xb 時(shí)， y 2a2最小值4acb 4a；如 a0，y 有最大值，當(dāng)xb 時(shí)， y 2a最大值4 acb4 a5. 拋物線與x 軸交點(diǎn)情形：2對于拋物線yaxbxca 0當(dāng)b24ac0 時(shí)，拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，反之也成

6、立；優(yōu)秀教案歡迎下載當(dāng)b24ac當(dāng)b24ac（三）、考點(diǎn)解讀0 時(shí)，拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，反之也成立，此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)；0 時(shí)，拋物線與x 軸無交點(diǎn)，反之也成立；例 1.已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)a（ 1， 6）， b（ 2，3）， c（ 0， 5）三點(diǎn)，求其函數(shù)關(guān)系式；2分析：設(shè) yaxbxc ，其圖象經(jīng)過點(diǎn)c（ 0， 5），可得 c5 ，再由另外兩點(diǎn)建立關(guān)于 a、b 的二元一次方程組，解方程組求出a、b 的值即可；2解： 設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax由于圖象過點(diǎn)c（ 0， 5）， c5bxc又由于圖象經(jīng)過點(diǎn)a（ 1， 6）， b（ 2， 3），故可得到：ab56ab1a1即解得：4a2

7、b532ab4b22所求二次函數(shù)的解析式為yx2 x5說明：當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其關(guān)系式為yax 2bxc ，然后確定 a、b、c 的值即得，此題由c（ 0， 5）可先求出c 的值，這樣由另兩個(gè)點(diǎn)列出二元一次方程組，可使解題過程簡便；2例 2. 已知二次函數(shù)yax求該二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；bxc 的圖象的頂點(diǎn)為 （ 1，92 ），且經(jīng)過點(diǎn) （ 2，0），分析：由已知頂點(diǎn)為（1，a 的值即可92 ），故可設(shè)2ya x192 ，再由點(diǎn)（ 2， 0）確定設(shè)ya x解：1 292 ，就圖象過點(diǎn)（2， 0），0a21 292a1 ， y21 x21 29 ，2y1 x 2x4即：22說明

8、：假如題目已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h ，k），一般設(shè)ya xh k ，2再依據(jù)其他條件確定a 的值；此題雖然已知條件中已設(shè)yaxbxc ，但我們可以不用這種形式而另設(shè)ya xh 2k 這種形式； 由于在 yax 2bxc 這種形式中， 我們必2須求 a、b、 c 的值，而在ya xhk 這種形式中，在頂點(diǎn)已知的條件下，只需確定一個(gè)字母a 的值，明顯這種形式更能使我們快捷地求其函數(shù)關(guān)系式；例 3.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x3 ，且函數(shù)有最大值為2，圖象與x 軸的一個(gè)優(yōu)秀教案歡迎下載交點(diǎn)是（ 1， 0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；分析：依題意，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3， 2），因此，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)

9、式解： 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為圖象經(jīng)過（1， 0），y=ax32220=a1321a2所求這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-1 x3222即：125y=-x3x-22說明：在題設(shè)的條件中，如涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)，或?qū)ΨQ軸，或函數(shù)的最大（最小值），可設(shè)頂點(diǎn)式為解析式；例 4. 已知：拋物線在x 軸上所截線段為4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，4），求這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式 分析：由于拋物線是軸對稱圖形，設(shè)拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（x1 ，0），（ x2，0），1就有對稱軸x=x 12x2 ，利用這個(gè)對稱性很便利地求二次函數(shù)的解析式解： 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 4）對稱軸是直線x 2拋物線與x 軸兩交點(diǎn)之間距離為4兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0

10、， 0），（ 4， 0）設(shè)所求函數(shù)的解析式為ya x圖象過（ 0， 0）點(diǎn)2 24 04a4 ， a12所求函數(shù)的解析式為yx4 x例 5. 已知某拋物線是由拋物線yb（ 2， 4），求其函數(shù)關(guān)系式；2 x2 經(jīng)過平移而得到的， 且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)a（ 1，1），分析：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為yax 2bxc ，就由于它是拋物線y2 x 2 經(jīng)過平移而得到的，故a 2，再由已知條件列出b、c 的二元一次方程組可解此題；解： 設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為yax 2a（1， 1）， b（ 2， 4）bxc ，就由已知可得a 2，又它經(jīng)過點(diǎn)2bc1故：82bc4bc1b3即2bc4 解得：c2所求拋物

11、線的函數(shù)表達(dá)式為：y2 x23x2說明：此題的關(guān)鍵是由所求拋物線與拋物線y22x的平移關(guān)系，得到a2例 6. 有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m ，拱頂距離水面4m ；（ 1）在如下列圖的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；（ 2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升hm優(yōu)秀教案歡迎下載時(shí)，橋下水面的寬度為dm，試求出用d 表示 h 的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2m，為保證過往船只順當(dāng)航行，橋下水面的寬度不得小于 18m，求水深超過多少米時(shí)就會影響過往船只在橋下順當(dāng)航行？分析：（ 1）拱橋是一個(gè)軸對稱圖形，對稱軸為圖中y 軸，因此可知拋物線上一些特別點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系

12、數(shù)法可求解析式；（ 2）當(dāng)水位上升時(shí)，拋物線與水面交點(diǎn)在變化，設(shè)為（式可得 d 與 h 關(guān)系式；d， h42）代入拋物線解析（ 3）依據(jù)逆向思維可求水面寬度為18m ，即 d 18 時(shí)，水位上升多少米？解： （ 1）設(shè)拋物線的解析式為y ax2，且過點(diǎn)（ 10， 4）4a× 102 ， a12512yx故25d， h4（ 2）設(shè)水位上升hm 時(shí)，水面與拋物線交于點(diǎn)（2）2h41 × d就254 d104h（ 3）當(dāng) d 18 時(shí)， 181040.7622.76h ， h0.76當(dāng)水深超過2.76m 時(shí)會影響過往船只在橋下順當(dāng)航行；說明： 要求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是確定其

13、上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再選用適當(dāng)?shù)男问角笃潢P(guān)系式；此題第（ 2）小題中，仍可以求出拋物線上縱坐標(biāo)為7 的點(diǎn)的坐標(biāo)（有兩個(gè)），再比較這兩點(diǎn)間的水平距離是否大于4；y例 7. 求拋物線1 x 22x32 的頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出對稱軸與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng) x 取何值時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，當(dāng)x 取何值時(shí)， y 隨 x 的增大而減??？y1 x 2x3解：221 x12221 x222 x1132拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1， 2），對稱軸是直線x 1x 0， y令3 ，32拋物線與y 軸交點(diǎn)（ 0， 2 ）y 0，令1 x22x302的解為 x13，x21拋物線與x 軸交于點(diǎn)（ 3， 0），（ 1， 0）當(dāng) x1

14、時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，當(dāng)x1 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；2例 8. 已知拋物線yaxbxc 如下列圖，直線x1 是其對稱軸（ 1）確定 a，b，c，b24ac 的符號；（ 2）求證： abc0優(yōu)秀教案歡迎下載（ 3）當(dāng) x 取何值時(shí)，y0 ，當(dāng) x 取何值時(shí)，y0 ；分析：（ 1）由拋物線的開口向下，得a0由拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方，得c0b由2a0 ， a0 ，得 b0由拋物線與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)b 24ac0（ 2）由拋物線的頂點(diǎn)在x 軸上方，對稱軸為x1當(dāng) x1時(shí)， yabc0（ 3）由圖象可知，當(dāng)3x1時(shí)， y0由 x3或x1時(shí)， y0例 9. 如圖，半圓的

15、直徑ac 2，點(diǎn) b 在半圓上， cb不與 ca 重合， f 在 ac 上，且 ae bc，ef ac于 f，設(shè) bc x， ef y，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范疇，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象；分析： 求幾何圖形中的函數(shù)關(guān)系式，通常就是尋求自變 量與函數(shù)之間的一個(gè)等量關(guān)系式，可用幾何的方法證aef acb得到比例式求出y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；解： ac 是直徑，b 90°又 efac， b afe， a a aef acbaeefxy，即 acybc2x1 x 22當(dāng) b 為 abc 的中點(diǎn)時(shí)， e 與 b 重合，此時(shí)bc2 ，自變量 x 的取值范疇是0x2 ，

16、它的圖象如下列圖例 10. 某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000 千克，購進(jìn)價(jià)格為每千克30 元，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單位不得高于每千克70 元，也不得低于30 元，市場調(diào)查發(fā)覺： 單價(jià)定為 70 元時(shí)，日均銷售60 千克；單價(jià)每降低1 元，日均多售出2 千克，在銷售過程中，每天仍要支出其它費(fèi)用500 元（天數(shù)不足一天時(shí)，按成天運(yùn)算），設(shè)銷售單價(jià)為x 元，日均獲利為y 元；（ 1）求 y 與 x 的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x 的取值范疇；（ 2）將（ 1）中所求出的二次函數(shù)配方成ya xb 22a4 acb 24 a的形式， 寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)， 在如下列圖的坐標(biāo)系中畫出草圖，觀看圖象，指出單

17、價(jià)定為多少元時(shí)日均獲利最多，是多少？（ 3）如將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價(jià)最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多多少？分析： 第一明確獲利的含義，即每千克獲利銷售單價(jià)購進(jìn)單價(jià)， 其次留意自變量的取值范疇由此在畫圖象時(shí)只優(yōu)秀教案歡迎下載能是原函數(shù)圖象的一部分；在（3）中必需分別運(yùn)算這兩種銷售方式的總獲利，通過比較大小作答：解： （ 1）如銷售單價(jià)為x 元，就每千克降低了（70 x）元，日均多售出2（70 x）千克，日均銷售量為60 2（ 70 x） 千克，每千克獲利（x 30）元；依題意得：y x30 60270x5002x 2260 x650030x70（ 2）由（ 1

18、）有 y2x 2260 x65002 x65 21950頂點(diǎn)坐標(biāo)為（65， 1950），其圖象如下列圖，經(jīng)觀看可知，當(dāng)單價(jià)為65 元時(shí)，日均獲利最多是1950 元；（ 3）當(dāng)日均獲利最多時(shí)：單價(jià)為65 元，日均銷售量為602706570kg那么獲總利為1950×700070195000 1177000元，當(dāng)銷售單價(jià)最高時(shí)：單價(jià)為70 元，日均銷售 60kg，將這批化工原料全部售完需60天，那么獲總利為7030 × 7000117×500221500元，而 221500195000時(shí)且 22150019500026500 元；銷售單價(jià)最高時(shí)獲總利最多，且多獲利265

19、00 元；（四）、智能訓(xùn)練（一）、細(xì)心選一選：練習(xí)四（二次函數(shù)）21.已知：拋物線yx6 xc 的最小值為1，那么 c 的值是（）a.10b.9c.8d.722.已知二次函數(shù)yax那么它的對稱軸是直線（）bxc 的圖象過點(diǎn)（ 1， 1），（ 2， 4），（ 0，4）三點(diǎn)，a. x3b. x1c. x1d. x32223.一個(gè)二次函數(shù)的圖象過（1，5），（ 1， 1）和（ 3， 5）三個(gè)點(diǎn)，就這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為（）2a. yx2 x2b. yx2 x2c. yx2 x1d. yx2 x224.已知函數(shù)yaxbxc 的圖象如圖1，就此函數(shù)的關(guān)系式為（）2a. yx2 x2c. yx2 x3 b

20、. yx2 x3223 d. yx2 x35.以下命題中，錯誤選項(xiàng)（）2a.拋物線 yx1不與 x 軸相交yx 23x 的圖象關(guān)于直線x38 對稱b.函數(shù)yc.拋物線1 x 221與y1 x21 2外形相同，位置不同優(yōu)秀教案歡迎下載d.拋物線 y22 x3x經(jīng)過原點(diǎn)26.已知函數(shù)yaxb 的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么yax致為（）bx1 的圖象大（二）、細(xì)心填一填27.拋物線 ya xhk 與 yax 2 外形 ，位置 ；當(dāng) a>0 時(shí)，拋物線的開口 ；當(dāng) a<0 時(shí)，開口 ；28.拋物線 ya xkm 的對稱軸是直線 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ；29. yax2bxc ，配方后可得到y(tǒng)=

21、 ；因此，拋物線yaxbxc 的對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ；y10.拋物線1 x 22向上平移兩個(gè)單位，就拋物線的解析式為 ，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它的對稱軸方程為 ；11.拋物線 y3x 2 的圖象向右平移2 個(gè)單位，那么拋物線的解析式為 ，頂點(diǎn)為 ，對稱軸為 ；0，112.假如函數(shù) y2 x 24xc的圖象過6，就 c 的值為 ；13.假如函數(shù)yax 24x16 的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，就 a 的值為 ；214.把二次函數(shù)yx3x（三）、專心做一做：210 化成 ya xhk 的形式，結(jié)果是 ；15 依據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式（ 1）圖象經(jīng)過點(diǎn)（1， 3），（ 1， 3），（ 2，6）（ 2）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 9），并且與y 軸交于（ 0， 8）