2011 2012年高考總復(fù)習(xí)一輪名師精講課件第45講棱柱與棱錐

1、?第四十五講?(第四十六講(文)棱柱與棱錐? 回歸課本? 1.棱柱? 棱柱的定義： 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱2棱柱的分類： 棱柱? 直棱柱? 正棱柱其他棱柱斜棱柱 ? 3棱柱的主要性質(zhì)：? (1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形? (2)兩個底面與平行于底面的截面是 全等的多邊形? (3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形? 4平行六面體與長方體? 定義：底面是平行四邊形的四棱柱 叫平行六面體側(cè)棱與底面垂直的平行六面體 叫直平行六面體底面是矩形的直平行六面體叫長方體棱長都相等的長方體叫正方體? 5棱柱的側(cè)面積和體積公

2、式? (1)直棱柱的側(cè)面積和體積公式? 如果直棱柱的底面周長是 C，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)Ch.? 如果直棱柱的底面面積是 S，高是h，那么它的體積是V直棱柱Sh.? (2)斜棱柱的側(cè)面積和體積公式? 如果斜棱柱的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長為C，側(cè)棱長為l，那么斜棱柱的側(cè)面積是S斜棱柱側(cè)Cl.? 如果斜棱柱的直截面的面積為 S，側(cè)棱長為 l，? 6棱錐的概念和性質(zhì)? (1)棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形 ，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐? (2)棱錐的分類：棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形，因此我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、

3、四棱錐、五棱錐? (3)性質(zhì)定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面 相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比? 7正棱錐的概念和性質(zhì)? (1)正棱錐：如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心 ，這樣的棱錐叫做正棱錐? (2)正棱錐的性質(zhì)? 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是 全等的等腰三角形 ，各側(cè)面底邊上的高叫棱錐的 斜高，正棱錐的斜高相等? 棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影 組成一個直角三角形； 棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也組成一個直角三角形8棱錐的面積和體積 (1)棱錐的全面積(S全)等于底面積(S底)和側(cè)面積(S側(cè))之和， 即S

4、全S底S側(cè) 若C為正棱錐的底面周長，h為斜高，則S側(cè)12Ch. (2)棱錐的體積等于它的底面積 (S底)與高(h)的乘積的 三分之一，即V棱錐h3S底 ? 考點陪練? 1.下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是()? A有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱? B有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱? C一個棱柱至少有五個面、六個頂點、九條棱? D棱柱的側(cè)棱長有的都相等，有的不都相等? 解析：A、B都不能保證側(cè)棱平行這個結(jié)構(gòu)特征，對于D，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個最簡單的棱柱是三棱柱，有五個面、六個頂點、? 2.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1側(cè)面AA1B1B是邊長為 5

5、的正方形，ABBC，AC與BC1成 60 角，則AC長( ) A13 B10 C5 3 D5 2 ? 答案：D解析：由題設(shè)知BC1A160 . A1C12A1B12B1C12BB12B1C12BC12， A1BC1為正三角形 又A1B5 2A1C1AC5 2. ? 3(2010宜昌市調(diào)研)如圖(1)所示，已知正方體的面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊拼成如圖(2)所示幾何體，那么此幾何體的全面積為()A(2 21)a2 B( 22)a2 C(32 2)a2 D(4 2)a2 ? 答案：B解析：幾何體(2)，上下底面為原正方體的對角面，是邊長為a、22a的矩形，其余四個面是邊長為a，22a，

6、銳角是 45 的平行四邊形，面積仍等于原正方體的一個面面積 幾何體(2)的表面積為 2(a22a)4?22a2( 22)a2. ? 4如圖，在正三棱錐ABCD中，E、F是AB、BC的中點，EFDE，若BCa，則正三棱錐ABCD的體積為()A.212a3 B.224a3 C.312a3 D.324a3 ? 答案：B解析：EFAC，EFDE，ACDE. 又ACDB，AC面ABD . VABCDVCABD224a3. ? 5棱錐被平行于底面的平面所截，當(dāng)截面分別平分側(cè)棱、側(cè)面積、體積時，相應(yīng)截面面積為S1、S2、S3，則()? AS1S2S3BS3S2S1? CS2S1S3DS1S3S2解析：根據(jù)相

7、似比知識易知 (設(shè)底面為S4)， 平分側(cè)棱S1S44， 平分側(cè)面積S2S42， 平分體積S3S42 ， S1S2S3.故選 A. 答案：A? 類型一棱柱 、棱錐的概念與性質(zhì)? 解題準(zhǔn)備： 熟練掌握棱柱、棱錐的概念與性質(zhì)? 【典例1】設(shè)有四個命題：? 底面是矩形的平行六面體是長方體；? 棱長相等的直四棱柱是正方體；? 有四條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；? 對角線相等的平行六面體是直平行六面體? 以上四個命題中，真命題的個數(shù)是()? A 1B 2C 3? 解析命題不是真命題，因為底面是矩形，若側(cè)棱不垂直于底面，這時四棱柱仍然是斜平行六面體命題不是真命題，若底面是菱形，底面邊長與

8、棱長相等的直四棱柱不是正方體命題也不是真命題，因為有兩條側(cè)棱垂直于底面一邊，這時兩個相對的側(cè)面是矩形，但是不能推出側(cè)棱與底面垂直命題是真命題，由對角線相等，可得出平行六面體的對角面是矩形，從而推得側(cè)棱與底面垂直，這個平行六面體是直平行六面體故選A.? 答案A? 探究1：下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：? 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；? 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；? 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；? 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐? 其中，真命題的編號是 _(寫出所

9、有真命題的編號)? 解析：顯然正確? 如圖，反例? 圖中ACBCCDBDADAB，? 每個側(cè)面為等腰三角形，? 但此棱錐不是正三棱錐? 圖中取ACBADB120，有各側(cè)面面積相等，但此棱錐不是正三棱錐? 由已知頂點在底面射影為內(nèi)心也是底面外心，故底面三角形為正三角形又各側(cè)棱、斜高可推出彼此相等，故各側(cè)面為具有公共頂點的等腰三角形，故正確? 誤區(qū)指津：棱柱、棱錐有很多類似的概念或性質(zhì)，極易混淆，要注意從內(nèi)涵和外延兩個方面去比較它們? 點評：要注意正三棱錐的定義、性質(zhì)與判定方法的聯(lián)系與區(qū)別，正三棱錐中，每一條側(cè)棱都相等，側(cè)棱與底面所成的角都相等，側(cè)面與底面所成的角都相等，相鄰兩個側(cè)面所成的角也相等

10、，但側(cè)棱相等的三棱錐，側(cè)棱與底面所成角相等的三棱錐，側(cè)面與底面所成角都相等的三棱錐，相鄰兩個側(cè)面所成的角都相等的三棱錐卻不一定是正三棱錐? 類型二棱柱、棱錐中的線面關(guān)系? 解題準(zhǔn)備：以棱柱、棱錐為載體來考查四大關(guān)系：平行、垂直、夾角、距離? 【典例2】如圖所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面邊長為2，側(cè)棱長為4.E、F、H分別為棱AB、BC、A1B1的中點，EFBDG.? (1)求證：平面B1EF平面BDD1B1；? (2)求證：CH平面B1EF；? (3)求點D1到平面B1EF的距離d.? 解析(1)證明：證法一：連結(jié)AC，? 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，? AC

11、BD. 又 BB1AC ， 所 以 AC 平 面BDD1B1.? E、F分別為AB、BC的中點，故EFAC.? EF平面BDD1B1.? 平面B1EF平面BDD1B1.? 證法二： BEBF，EBDFBD45，? EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1，? 平面B1EF平面BDD1B1.? (2)證明：連結(jié)AH，則AHB1E，? 又ACEF，而AHACA，? 平面AHC平面EB1F.? 又CH?平面AHC，CH平面B1EF.? (3)如圖所示，在對角面BDD1B1中，作D1MB1G，垂足為M，? 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1B1G，? D1M平面B1EF，

12、且垂足為M.? 點D1到平面B1EF的距離dD1M.解法一：在 RtD1MB1中，D1MD1B1sinD1B1M， D1B1 2A1B1 22 24， sinD1B1MsinB1GBB1BGB1442124 1717， dD1M44 171716 1717. 解法二：D1MB1B1BG， D1MB1BD1B1B1G. dD1MB1B2B1G42421216 1717. 解法三：連結(jié)D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半，即12B1GD1M12B1B2. dD1MB1B2B1G16 1717. ? 探究2：如圖所示，四棱錐 PABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)面PAB

13、和側(cè)面PAD都垂直于底面 AC，且側(cè)棱 PB、PD都和底面成 45角? (1)求PC與BD所成的角；? (2)求PC與底面ABCD所成角的正切值；? (3)若M、N分別為BC、CD的中點，求底面中心O到平面PMN的距離解析：(1)側(cè)面P AB和側(cè)面P AD都垂直于底面AC，且兩側(cè)面交于P A，P A底面AC. 又BDAC，BDPC， 即PC與BD所成的角為 90 . (2)P A底面AC， PCA是PC與底面AC所成的角，PBA為PB與底面AC所成的角， 在 RtP AB中，P AABa. AC 2a，tanPCA22. ? (3)BDAC，BDPA，? BD平面PAC，? 又MNBD，? M

14、N平面PAC.? 平面PAC平面PMN.? 設(shè)MNACQ，連結(jié)PQ，? 則平面PAC平面PMNPQ.? 作OHPQ，垂足為H，則OH平面PMN，? OH的長即為O到平面PMN的距離? 作AGPQ于G，? 點評：(1)解決空間角度問題，應(yīng)特別注意垂直關(guān)系如果空間角為 90，就不必轉(zhuǎn)化為平面角來求? (2)注意借助輔助平面 (如本題中的平面 PAC)，將空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離來求? (3)棱錐體積具有自等性，即把三棱錐的任何一在 RtP AQ中，P Aa，AQ34AC3 24a， PQ344a. AGP AAQPQ3 1717a. OH13AG1717a. ? 類型三棱柱、棱錐的面積與體積? 解題

15、準(zhǔn)備：求側(cè)面積、體積時要抓好以下三個環(huán)節(jié)：? 1準(zhǔn)確、熟練地記憶、應(yīng)用各種面積、體積公式；? 2求出公式所需要的量及對相關(guān)量進行推理論證；? 3進行正確簡明的運算? 求解過程中要注意方程思想的運用? 【典例3】正三棱錐的底面邊長為 a，側(cè)棱與底面成45角? (1)求其側(cè)面積和體積；? (2)若過底面一邊作一平面，使之與底面成 30的二面角，求截面面積? 分析(1)如圖，求正棱錐的側(cè)面積和體積的關(guān)鍵是求出棱錐的斜高和高；? (2)作出截面ABE，易知ABE是等腰三角形，可求出底邊上的高DE.解析 (1)作PO平面ABC，垂足為O，則PCO45 ， 三棱錐PABC為正三棱錐， O為ABC的中心，C

16、OPO33a. 延長CO交AB于D，連結(jié)PD，則PD為斜高 在 RtPOD中，PDPO2OD2156a， S側(cè)12(aaa)156a154a2. 又PO33a，SABC34a2. VPABC1334a233aa312. (2)設(shè)過AB且與底面ABC成 30 的平面交PC于E， 連結(jié)DE，則DE和PO必相交，設(shè)交點為F，由(1)知CDAB，POAB . AB平面PCD，ABDE， EDO就是二面角EABC的平面角， EDC30 . DEC105 ，由正弦定理得CDsin105DEsin45， DE3 32a.S截12AB DE3 34a2. ? 點評解決正棱錐的計算問題，關(guān)鍵是利用有關(guān)直角三角形

17、和兩個重要的角，通過直角三角形來求解各元素? 探究3：如圖所示，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AA1與下底面相鄰兩邊AB、AC均成60角? (1)求點A1到平面B1BCC1的距離；? (2)若點A1到平面ABC與到平面 BCC1B1的距離相等，求AA1的長及棱柱的側(cè)面積、體積? 解析：(1)過B作BEAA1于E，連結(jié)EC，? 則可知ABEACE，? AECAEB90? ECAA1，可知A1A面BEC.? 又B1BA1A，? B1B面BEC，而BB1?面BB1C1C，? 面BB1C1C面BEC.且面BEC為棱柱AC1的直截面，取BC中點F，連結(jié)EF，則EFBC.? EF面BB1C1C，由于AA1面B1BCC1點A1到平面B1BCC1的距離等于點E到平面B1BCC1的距離即EF的長 A1AB60 ，BE 3. EF? 3?21 2. (2)過A1作A1G面ABC，則可知點G在BAC的平分線AF上，由關(guān)系式 cosA1AGcosBAFcosA1AB， cosA1AGcos60cos3033，A1GEF 2， AA1A1GsinA1AG263 3. ? 點評：(1)S棱柱側(cè)C直l側(cè)；? V棱柱S