南京市高三期初模擬考試數(shù)學(xué)卷

1、南京市2017屆高三期初模擬考試數(shù)學(xué) 2016.09一、填空題：本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合 A 0,1,2 , B x|x2 x 0,則 AI B .2 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（z i）i 3 4i （i為虛數(shù)單位）,則z的模為 .3 .為了解某一段公路汽車通過(guò)時(shí)的車速情況，現(xiàn)隨機(jī)抽測(cè)了通過(guò)這段公路的200輛汽車的時(shí)速，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間40,80中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的200輛汽車中，時(shí)速在區(qū)間40,60）內(nèi)的汽車有 輛.A孜率 '機(jī)即時(shí)速a 040. 03d C20, 010）的最小正周期為

2、，則f （百）的值是k的值是4 .若函數(shù) f （x） sin（ x ）（5 .下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出rrrr r r r6 .設(shè)向量a(1,4), b( 1,x), ca3b,若a / /c ,則實(shí)數(shù)x的值是 7 .某單位要在四名員工(含甲乙兩人)中隨機(jī)選兩名到某地出差，則甲乙兩人中，至少有21(a 0)的一條漸近線與直線 42 0與圓心為C的圓ABC為直角三角形，則實(shí)數(shù) a的值一人被選中的概率是2X8 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線C : -2- ay 2x 1平行，則實(shí)數(shù)a的值是 9 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線ax y22(x 1) (y a) 16相交于A,B兩點(diǎn)，

3、且是 .10 .已知圓柱M的底面半徑為2,高為2,圓錐N的底面直徑和母線長(zhǎng)相等，若圓柱 M和圓錐N的體積相同，則圓錐 N的高為 .11 .各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an,其前n項(xiàng)和為Sn,若a2 a578 , S3 13,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an .12x x3x 012 .已知函數(shù)f(x), ，當(dāng)x (,m時(shí)，f(x)的取值范圍為16,),2x,x 0則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 uur 1 uuu uuur uuur13 .在 ABC 中，已知 AB 3, BC 2, D 在 AB 上，AD AB,若 DB?DC 3, 3則AC的長(zhǎng)是 .1 v14.已知f(x), g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)

4、和偶函數(shù)，且 f(x) g(x) (,)x,若存在xo ,1,使得等式af(xo) g(2xo) 0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2 '二、解答題 (本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)15 .(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角和鈍角 的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A, B ,若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是 £10，點(diǎn)b的縱坐標(biāo)是 走 .105(1)求cos( )的值;(2)求 的值.(第15卷)16 .(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1中，點(diǎn)M , N分別為線段AiB,ACi的中點(diǎn).(1)求證：MN

5、/平面 BB1c1c ；(2)若 D 在邊 BC 上，AD DC1,求證：MN AD .i 第 i«a)17 .(本小題滿分14分)如圖，某城市有一塊半徑為 40m的半圓形(以。為圓心，AB為直徑)綠化區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建，在 AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) D ,使OD 80m,在半圓上選定一點(diǎn) C ,改建后 的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域 AOC和三角形區(qū)域COD組成，其面積為Sm2,設(shè) AOC xrad .(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍;(2)試問(wèn) AOC多大時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S最大.18 .(本小題滿分12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓2Ca2與

6、1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為b2uurFQ .uurF1,F2, P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn) Q ,設(shè)PF13、 一 一(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(IQ),且 PQF2的周長(zhǎng)為8,求橢圓C的方程;12(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e -,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.2 2(重1*題)19 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,且a2a3 15, S4 16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1數(shù)列bn滿足 bl ai , bn 1 bn .an an 1求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù) m,n(m n),使得b2,bm

7、,bn成等差數(shù)列？若存在， 求出m,n的值；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20 .(本小題滿分16分)已知函數(shù) f(x) ax2 bx lnx,(a,b R).(1)當(dāng)a b 1時(shí)，求曲線y f (x)在x 1處的切線方程；(2)當(dāng)b 2a 1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)a 1,b 3時(shí)，記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的兩個(gè)零點(diǎn)是xmx2 cxi x2)，求證: 3f(X) f(x2) 3 ln2.4南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1,本解答給出的解法供參考.如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容 比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.2,對(duì)計(jì)算題，當(dāng)

8、考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4,只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù).一、填空題（本大題共 14小題，每小題5分，計(jì)70分.）1 . 0, 12. 2亞3. 804. 25. 56. 47. 58. 19. -110. 611. 3n 112. -2, 8613,屈 14. 2 72,5-722二、解答題（本大題共 6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案

9、寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15.（本小題滿分14分）*=因?yàn)殇J角0的終邊與單位圓圻小且融的橫坐標(biāo)是嚕，所以門由任意角的三角1醐的定義可知，衿二嚕sin a1 cos2,1010因?yàn)殁g角3的終邊與單位圓交于點(diǎn)B,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是R5 ,5sin 32,5從 而 cos 3,1 sin2”4分5(1) cos( a = cosacos 3+ sin asin 3_ 3M _ 岳、, Vio2 屈105105也.8分10(2) sin( a+ 9 = sin acos 3+ cos asin 3叵x ( 41)+3同X2>/51051053因?yàn)閍為銳角，3為鈍角，故 葉敢（一，）,223所以a+

10、 3=414分16 .（本小題滿分14分）證明：（1）如圖，連結(jié)AiC.在直三棱柱 ABCABiG中，側(cè)面AACC為平行四邊形.又因?yàn)镹為線段AG的中點(diǎn)， 所以AQ與AG相交于點(diǎn)N,即A©經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,且N為線段 AC的中點(diǎn). 2分因?yàn)镸為線段AiB的中點(diǎn)，所以MN / BC. 4分又 MN 平面 BBiOC, BC 平面 BBiOC, 所以 MN / 平面 BBiCiC. 6(2)在直三棱柱 ABCAiBi。中，CG，平面ABC.又AD平面ABC,所以CGLAD. 8分因?yàn)?ADLDG, DG 平面 BBiCiC, CQ 平面 BBiOC, CG ADG = Ci,所以AD,平面BBi

11、d C. 10分又 BC 平面 BBiCiC,所以 AD± BC. 12分又由（1）知，MN/ BC，所以 MN LAD. 14分17 .（本小題滿分14分）解：(1)因?yàn)樯刃?AOC的半徑為40 m, Z AOC= x rad,x?OA2所以 扇形 AOC的面積 S扇用aoc= = 800x, 0< x<兀.22分在aCOD中，OD=80, OC= 40, Z COD= %-x,1所以 aCOD 的面積 Sacod= - - OC - OD - sinZ CO4 1600sin( %-x)=1600sinx.24分從而 S= Sacod+S w aoc= 1600sin

12、x + 800x, 0< x< u. 6分(2)由(1)知，S(x)= 1600sinx+ 800x, 0<x< 兀S(x) = 1600cosx+ 800 = 1600(cosx+ ；).8分由 S'x)=0,解得 x= .3從而當(dāng) 0vxv2_ 時(shí)，S'x)>0;當(dāng)2_ vxv 兀時(shí)，S'x)v0 .33因此S(x)在區(qū)間(0, 2)上單調(diào)遞增；在區(qū)間(2 , T)上單調(diào)遞減. 3311分所以當(dāng)x= 2 , S(x)取得最大值.3答：當(dāng)/AOC為2時(shí)，改建后的綠化區(qū)域面積S最大.314分18.(本小題滿分16分)解：(1)因?yàn)镕1, F

13、2為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P, Q為橢圓上的點(diǎn)，所以 PF1 + PF2=QF1+QF2=2a,從而 PQF2 的周長(zhǎng)為 4a.由題意，得4a=8,解得a=2.分 319因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,),所以二 一弓1, 2a2 4b2解得b2=3. 22所以橢圓C的方程為1 .435分(2)方法一：因?yàn)镻F2，x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c,yo),yo>0.設(shè)Q(x，y1).y。b2因?yàn)镻在橢圓上，所b21 ,解得 yo =,即 P(c ,b2一)b2 uuur一),FQ =(x1+c, y1). aa因?yàn)?R(c, 0),所以 PFr =(-2c,umr由PF1uuirb2=入FQ ,得2c

14、= 2(x1 + c), = W1,aXib2yiQ(一11分b2一)a因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以)2e2 +b22 2a=1,即(入+ 2)2e2+(1-e2)=匕因?yàn)槿? 1W0,所以(入+ 3)e2=卜1,從而3e2+143r =匚y314因?yàn)閑C 1 ,所以22-<e2< -所以入的取值范圍為73，5.16分方法二:因?yàn)镻F2±X軸，且P在x軸上方,故設(shè) P(c, yo), yo>0.b2，即 P(c ,因?yàn)镻在橢圓上，2空=1 ,解得yob2b2一) a因?yàn)镋(c, 0),故直線PF1的方程為b2y= (x+ c).2acy由2X2ab2丁(x c)2ac ，

15、得(4c2 + b2)x2 + 2b2cx+ c2(b2-4a2)=o.L 1b2因?yàn)橹本€一b2PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P(c, 一 ).設(shè)Q(X1, y1),則 X12b2c4c2 b2Xi2b2c4c2 b211分因?yàn)閁LUTPF1uur=入FQ2ccX14c2 b2 bT3c2-2a2a2c3e2 1 1 e214分因?yàn)閑C叵,所以2所以入的取值范圍為73，5.16分19.(本小題滿分16分)解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由 a2 a3= 15,解得a1 1或d 2S4=16,得所以 an= 2n 1.則 d>0.(Q d)(a14al 6d:72 (舍去)(2)因?yàn)?b1=a1

16、, bn+1 bn=1anan 1所以 b= a= 1,1bn+1 bn =anan 12d) 1516一 (2n 1)(2n 1) 2 2n 112n 1)rr1 一 1即b2 b1= 一 (1 一),231 1 1b3 b2=(-),2 3 5bn bn 1 =1),(n>2)2n 1bnbi1(1-n,2 2n 1 2n 1n 1所以 bn= b+ = 1 +2n 13n 2bi = 1也符合上式.故bn=3n，2n 1N*.11分假設(shè)存在正整數(shù)m、則 b2+bn=2bm.又 b2= , bn =3所以F ( 化簡(jiǎn)得:14分20.解:0.3n2n2nn(m 豐 n),2n 112

17、4n 2使得bn成等差數(shù)列,I 2 4n 2) = 2(-12 4m 22m = 7n 2=7-n 1當(dāng)n+1 = 3,即當(dāng)n+1 = 9,即所以存在正整數(shù)n = 2 時(shí),n = 8 時(shí),h 3bm= 2一 1),即m = 2,(舍去)；m=3,符合題意.4m 22m 1_ 1 + '6 4nm = 3, n = 8,使得b2, bm, bn成等差數(shù)列.(本小題滿分16分)(1)因?yàn)?a=b=1,所以 f(x)= x 2-x+ lnx,從而 f (x) = 2x 1+ .x因?yàn)閒(1) = 0, f'(1) = 2,故曲線y = f(x)在x=1處的切線方程為2x16(2)因?yàn)?/p>

18、b=2a + 1,所以 f(x)= ax2(2a+1)x+ lnx,從而1f (x) = 2ax (2a + 1) + =xy-0=2(x-1),一 2 一一2ax (2 a 1)x 1 = (2ax 1)(x 1) x>0.當(dāng)aw。時(shí),xC(0, 1)時(shí),f'(x)>0, xC (1, +8)時(shí),f(x)V0,所以，f(x)在區(qū)間(0, 1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1, +8)上單調(diào)遞減.，1 一，當(dāng)0av 時(shí)，2由 f (x) > 0 得 0 V x V 1 或 x > ,由 f (x) V 0 得 1 v xv ,2a2a所以f(x)在區(qū)間(0, 1)和區(qū)間(

19、工，+oo)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,工)上單調(diào)遞減.2a2a1當(dāng)a=1時(shí)，2因?yàn)閒'(x)>0 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，所以f(x)在區(qū)間(0, +8 )上單調(diào)遞增.1當(dāng)a>1時(shí)，2由 f (x)> 0 得 0V xv 或 x> 1,由 f (x)v 0 得v xv 1 ,2a2a所以f(x)在區(qū)間(0, 工)和區(qū)間(1, 十丐上單調(diào)遞增，在區(qū)間(工，1)上單調(diào)遞減.2a2a10分、. 一一一,. .2x2 bx 1(3)方法一： 因?yàn)?a=1,所以 f(x)=x2- bx+ lnx,從而 f (x)= (x>0).1由題思知，x1，x2是方程2x2b

20、x+ 1 = 0的兩個(gè)根，故 x1x2=一.2記 g(x) =2x2bx+1,因?yàn)?b>3,所以 g(1)=3b < 0, g(1) = 3b<0,2 21 一2所以 xe (0, -), x2C (1, +oo) 且 bxi = 2 xi +1 (i=1, 2).212分f(x1) f(x2)= (x2x|) (bx1 bx2) + In = (x2x|)+ ln .2x2 ), x2 (1 , +8).121因?yàn)?x1x2=一,所以 f(x1)一 f(x2)= x2 2ln(224x214分2 L t 1令 t= 2x2 e (2, +8 ) (Xt)=f(x1)f(x2

21、)=-lnt.2 2t因?yàn)椋╰ 1）2。二（LJL>0,所以想）在區(qū)間（2, +8）單調(diào)遞增,2t2所以3 一3彬)>(f)(2) = ln2,即 f(x1)-f(x2)> ln2.4416分方法二:2. 一一一,. . 2x bx 1因?yàn)?a=1,所以 f(x)=x2bx+lnx,從而 f (x)= (x>0).由題意知，x1,X2是方程2x2 bx+ 1 = 0的兩個(gè)根.1記 g(x) =2x2bx+1,因?yàn)?b>3,所以 g(-) =23-b<0, g(1) = 3-b<0,所以 x1C(0, 2 ), x2C(1, +8 ),且 f(x)在x1

22、 ,X2上為減函數(shù).12分所以 f(x1)-f(x2)>f(2)-f(1) = (41- ln ) (1 b)=223+b-ln2.因?yàn)?b > 3 , 故 f(x1)一f(x2)> 一ln216分南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)附加參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21 .【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做 2題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修4-1:幾何證明選講證明：因?yàn)辄c(diǎn)A、D、E、B在圓O上，即四邊形 ADEB是圓內(nèi)接四邊形，所以/B=EDC 3 分因?yàn)?AB= AC,所以/ B=Z C.5分所以/

23、C=Z EDC,從而 ED= EC. 7分又因?yàn)镋FL DC于點(diǎn)F,所以F為線段DC中點(diǎn). 10分B.選修42:矩陣與變換解：(1) M=AB= 221 0=2 2 . 51 -30-11 3分(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式為入一 2 一 2f(M 彳、Q =(入-2)( X- 3)-2 一 1 八一 3令 f(?)=0,解得入 1=1, K=4,所以矩陣M的特征值為1或4.10分C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos 0,化為直角坐標(biāo)方程為 x2+ y2= 2x.即(x1)2+y2=1,表示以(1, 0)為圓心，1為半徑的圓.3分直線l的極坐標(biāo)方程是sin( 0+6) =

24、m,即2 cos0+ 乎 sin 0= m,化為 直 角 坐 標(biāo)方 程 為2m0.因?yàn)橹本€l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),“1|1 2m| sr/口13所以2= 1，解得m = 2或m = 2.13所以，所求實(shí)數(shù)m的值為2或，10分D.選修45:不等式選講解：原不等式等價(jià)于x< 0, 1 x- 2x< 4x0< x< 1, 1 -x+ 2x< 4xx> 1 , x- 1 + 2x< 4x.x< 0,1 -x- 2x<4x,xC ；0<x< 1,1 -x+ 2x<4x,13W"1；x> 1, x- 1 + 2x

25、<4x.所以原不等式的解集為3+ °0 ).10分【必做題】第22題、第23題,每題10分，共計(jì)20分.22.（本小題滿分10分）解：（1）在四棱錐P ABCD中,底面ABCD為正方形，側(cè)棱 PDXB面ABCD,所以DA、DC DP兩兩垂直，故以. 、 . DA, DC, DP為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系一xyz.因?yàn)镻D= DC,所以DA= DC= DP,不妨設(shè) 則 D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), C(0, 2, 0), 因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E(0, 1, 1).DA= DC= DP= 2,P(0, 0, 2), B(2, 2, 0).（第22題）所以 AP=( 2, 0, 2), ?E=(-2, 1,一 一 Ap 百E3/3所以 cos<AP , BE>=-= 2-,| AP| | BE|從而 <Ap, Be>=2-因此異面直線 AP與BE所成角的大小為兀6,(2)由(1)可知，DE= (0, 1, 1), DB=(2, 2, 0),宿B= (2, 2, 2).設(shè) Hf=