第2講 拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力

1、材 料 力 學(xué) 講 義第2講 教學(xué)方案拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力基本內(nèi)容桿件軸向拉伸與壓縮時(shí)的內(nèi)力與應(yīng)力計(jì)算教學(xué)目的1、 通過(guò)幾個(gè)桿件拉壓的工程實(shí)例，建立從工程實(shí)例向計(jì)算模型簡(jiǎn)化的初步概念，并給出拉壓桿的幾個(gè)基本概念。2、 熟練掌握軸力圖的繪制方法。3、 理解掌握橫截面與任意斜截面上應(yīng)力的計(jì)算公式和推導(dǎo)方法。重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：軸力與軸力圖，拉壓桿的應(yīng)力計(jì)算。本節(jié)難點(diǎn)：拉壓桿應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中的平面假設(shè)。第二章 軸向拉伸與壓縮§2-1軸向拉伸與壓縮的概念與實(shí)例軸向拉伸和壓縮的桿件在生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常遇到，雖然桿件的外形各有差異，加載方式也不同，但一般對(duì)受軸向拉伸與壓縮的桿件的形狀和受力情況進(jìn)

2、行簡(jiǎn)化，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2-1。軸向拉伸是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形，也簡(jiǎn)稱拉伸；軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生縮短變形，也簡(jiǎn)稱壓縮。實(shí)例如圖2-2所示用于連接的螺栓；如圖2-3所示桁架中的拉桿；如圖2-4所示汽車式起重機(jī)的支腿；如圖2-5所示巷道支護(hù)的立柱。通過(guò)上述實(shí)例得知軸向拉伸和壓縮具有如下特點(diǎn)：1. 受力特點(diǎn)：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相反，作用線與桿件軸線重合，即稱軸向力。2. 變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。§2-2橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力1內(nèi)力在圖2-6所示受軸向拉力P的桿件上作任一橫截面mm，取左段部分，并以內(nèi)力的合力代替右段對(duì)左段的作用力。由平

3、衡條件 ，得由于（拉力），則合力的方向正確。因而當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時(shí)，桿件截面上只有一個(gè)與軸線重合的內(nèi)力分量，該內(nèi)力（分量）稱為軸力，一般用N表示。若取右段部分，同理，知得圖中的方向也是正確的。材料力學(xué)中軸力的符號(hào)是由桿件的變形決定，而不是由平衡坐標(biāo)方程決定。習(xí)慣上將軸力N的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉伸時(shí)，軸力N為正；壓縮時(shí)，軸力N為負(fù)。2軸力圖軸力圖可用圖線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫坐標(biāo)表示截面位置，縱軸表示軸力大小。例2-1 求如圖2-7所示桿件的內(nèi)力，并作軸力圖。解：（1）計(jì)算各段內(nèi)力AC段：作截面11，取左段部分（圖b）。由得kN （拉力）CB段：作截面2-2，取左緞部

4、分（圖），并假設(shè)方向如圖所示。由得（2）繪軸力圖 選截面位置為橫坐標(biāo)；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標(biāo)，根據(jù)適當(dāng)比例，繪出圖線。由圖2-7可知CB段的軸力值最大，即kN。注意兩個(gè)問(wèn)題：1）求內(nèi)力時(shí)，外力不能沿作用線隨意移動(dòng)（如P2沿軸線移動(dòng)）。因?yàn)椴牧狭W(xué)中研究的對(duì)象是變形體，不是剛體，力的可傳性原理的應(yīng)用是有條件的。2）截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處（如通過(guò)C點(diǎn)），因?yàn)楣こ虒?shí)際上并不存在幾何意義上的點(diǎn)和線，而實(shí)際的力只可能作用于一定微小面積內(nèi)。例，已知：求：各段內(nèi)力，并作軸力圖解：運(yùn)用截面法：截、拋、代、平。；（拉）；2）軸力：為桿件上任一截面上的內(nèi)力其作用線垂直于橫截面或通過(guò)形心即與軸線重合，稱之為

5、軸力。3）軸力圖：為了把軸力的變化直接顯示出來(lái)我們平行與桿件軸線引軸，以橫坐標(biāo)3軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1）由于只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度，因此必須用橫截面上的應(yīng)力來(lái)度量桿件的受力程度。為了求得應(yīng)力分布規(guī)律，先研究桿件變形，為此提出平面假設(shè)。平面假設(shè)：變形之前橫截面為平面，變形之后仍保持為平面，而且仍垂直于桿軸線，如圖2-8所示。根據(jù)平面假設(shè)得知，橫截面上各點(diǎn)沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力也相同，即等于常量。2）由靜力平衡條件確定的大小由于，所以積分得則 （2-1） 式中：橫截面上的正應(yīng)力 橫截面上的軸力 橫截面面積正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為

6、負(fù)。對(duì)于圖2-9所示斜度不大的變截面直桿，在考慮桿自重（容重）引起的正應(yīng)力時(shí)，也可應(yīng)用（2-1）式 （2-2）其中若不考慮自重，則對(duì)于等截面直桿，由式（2-1）知最大正應(yīng)力發(fā)生在最大軸力處，此處最易破壞。而對(duì)于變截面直桿，最大正應(yīng)力的大小不但要考慮，同時(shí)還要考慮。 必須指出，實(shí)際構(gòu)件兩端并非直接作用著一對(duì)軸向力，而是作用著與兩端加載方式有關(guān)的分布力，軸向力只是它們靜力等效的合力，如圖2-2、2-4中的軸向力是通過(guò)螺齒作用呈軸對(duì)軸分布的分布力的合力。圣維南原理指出：如將作用于構(gòu)件上某一小區(qū)域內(nèi)的外力系（外力大小不超過(guò)一定值）用一靜力等效力系來(lái)代替，則這種代替對(duì)構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變的影響只限于離原受力

7、小區(qū)域很近的范圍內(nèi)。對(duì)于桿件，此范圍相當(dāng)于橫向尺寸的11.5倍。4軸向拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力有時(shí)拉（壓）桿件沿斜截面發(fā)生破壞，此時(shí)如何確定斜截面kk上的應(yīng)力？設(shè)等直桿的軸向拉力為（如圖2-12），橫截面面積為，由于kk截面上的內(nèi)力仍為而且由斜截面上沿x方向伸長(zhǎng)變形仍均勻分布可知，斜截面上應(yīng)力仍均勻分布。若以表示斜截面kk上的應(yīng)力，于是有而 ，所以則將斜截面上全應(yīng)力分解成正應(yīng)力和剪應(yīng)力，有 （2-3） （2-4） 正負(fù)號(hào)分別規(guī)定為：自x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向斜截面外法線n，為正；反之為負(fù)；拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；取保留截面內(nèi)任一點(diǎn)為矩心，當(dāng)對(duì)矩心順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。討論式（2-3）和（2-4）：1）當(dāng)時(shí)，橫截面，2）當(dāng)時(shí)，斜截面，3）當(dāng)時(shí)，縱向截面，結(jié)論：對(duì)于軸向拉（壓）桿，發(fā)生在橫截面上；，發(fā)生在沿順時(shí)針轉(zhuǎn)45°角的斜截面上。同樣大小的剪應(yīng)力也發(fā)生在的斜面上。例2-4 木立柱承受壓力