冪函數(shù)及其性質(zhì)專題教案

1、星辰教育培訓(xùn)中心幕函數(shù)及其性質(zhì)專題一、幕函數(shù)的定義一般地，形如、二x( x. R)的函數(shù)稱為幕孫函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).如1 1y =x2,y =x3,y等都是幕函數(shù)，幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).二、函數(shù)的圖像和性質(zhì)1(1) y = x(2) y = X2(3)、二x (4) y = x，(5) y = X3用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出以上五個(gè)函數(shù)圖像，通過觀察圖像，可以看出：y = x2y = x3y = x12y = x1y = x定義域奇偶性在第I象限單調(diào)增減性定點(diǎn)(公共點(diǎn))自變量，函數(shù)的定義域是(0，+x).幕函數(shù)的定義：一般地，形如y =R)的函數(shù)稱為幕孫函

2、數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：(0，+X)；值域：R；過點(diǎn)（1, 0）,即當(dāng) x=1, y =0；在（0, +x）上是增函數(shù)；在（0, +x）是上減函數(shù)幕函數(shù)的性質(zhì)：所有的幕函數(shù)在（0, +x）都有定義，圖象都過點(diǎn)（1, 1） x >0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，1在0 , +X 上, y =X、y=x2、y=x3、y=x2 是增函數(shù)，在（0, +x）上，y皿丄是減函數(shù)?！纠}選講】例1.已知函數(shù)f （x ）=（m2 _m _1 ）x'2，當(dāng)m為何值時(shí)，f （x ）：（1）是幕函數(shù)；（2）是幕函數(shù)，且是 0, ：:上的增函數(shù)；（3）是正比例函數(shù)；（4）是

3、反比例函數(shù)；（5）是二次函數(shù);4 2簡解：(1)m=2 或 m=1(2)m=_1(3)m=.(4) m=.( 5)m-15 5變式訓(xùn)練：已知函數(shù)2f x = m2 m xm ",，當(dāng)m為何值時(shí),f x在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲簡解： 2工mm 0口< 2解得：m(_o0,_1 )U(3,訟:m -2m -30線。小結(jié)與拓展：要牢記幕函數(shù)的定義，列出等式或不等式求解。 例2.比較大小：1 1(1) 1.52 ,1.7 2(2) ( -1.2) 3,( -1.25) 31 1(3) 5.25, 5.26, 5.2630.50.5 , 3, log 3 0.5解：（1）：1y =x

4、2在0,二）上是增函數(shù),11.5 ：: 1.7 ,. 1.5 2 : 1.7(2)vy =x在R上是增函數(shù)，-1.23-1.25 , ( -1.2)- ( -1.25)(3)v1 y =x在（0, ：）上是減函數(shù),5.25 : 5.26 ,. 5.255.26x . . _1 y =5.26是增函數(shù)，-1 * -2 , 5.265.26綜上，5.25 丄 5.265.2630.5(4). 0 : 0.5：1 , 3- 1 , log 3 0.5 : 0 ,-3 -星辰教育培訓(xùn)中心. . 2例3.已知幕函數(shù)y =xm -mJ ( m Z )的圖象與x軸、y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，求m的值.解

5、：幕函數(shù)2m _2 m _3y =x _ _(m Z )的圖象與x軸、y軸都無交點(diǎn)，-4 -星辰教育培訓(xùn)中心-# -星辰教育培訓(xùn)中心2二 m 2m 3 乞 0，二-1 _ m _ 3 ；T m Z (m2 _2m 一3) Z，又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱, m 2 -2m -3 是奇數(shù)，.m =0 或 m =2 .例4、設(shè)函數(shù)f (x )= x3,(1 )求它的反函數(shù)；(2)分別求出 廠(x)= f (x), f1 (x) > f (x) , f T (x)v f (x)的實(shí)數(shù) x 的范圍.1解析：(1)由y = x3兩邊同時(shí)開三次方得 x= y ,1 (x) = x3 .1(2)函數(shù)f (x

6、) = x3和廠1 (x) = x3的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0, 0)和(1 , 1).1 (x)= f (x)時(shí)，x =± 1 及 0；在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，由圖可知1 (x)>f (x)時(shí)，xV 1 或 0vXV 1 ；1 ( x)V f (x)時(shí)，x> 1 或一1 Vxv0.點(diǎn)評：本題在確定x的范圍時(shí)，采用了數(shù)形結(jié)合的方法，若采用解不等式或方程則較為麻煩.2 1例 5、求函數(shù) y= x5 + 2x5 + 4 (x> 32)值域.1解析：設(shè) t = x5 , x> 32,. t> 2，則 y= t2 + 2t+ 4=( t + 1) 2 + 3.

7、 當(dāng) t = 1 時(shí)，ymin = 3 .2 1函數(shù) y= x7 + 2x5 + 4 (x> 32)的值域?yàn)?,+：).點(diǎn)評：這是復(fù)合函數(shù)求值域的問題，應(yīng)用換元法.【同步練習(xí)】1. 下列函數(shù)中不是幕函數(shù)的是()A. y =、x3B. y = xC. y - 2x1D. y 二 x答案：C2.下列函數(shù)在1 - ' ,0上為減函數(shù)的是()1A. y = x323B. y=xC. y=x2D. y 二 x答案：E3. 下列幕函數(shù)中定義域?yàn)?：x x .0的是()2323A. y=x3B. y=x2C. y=x3D. y=x2答案：D14. 函數(shù)y=( x2 2x)2的定義域是()A.X

8、|X工0 或 x工 2B.( 8,0)U(2,+s)C. (8,0) U:2,+D .( 0,2)解析：函數(shù)可化為根式形式，即可得定義域.答案：B15. 函數(shù)y=( 1 x2) 2的值域是()A . : 0,+7B. (0, 1)C. (0, 1)D . : 0, 1解析：這是復(fù)合函數(shù)求值域問題，利用換元法，令t = 1 x，則y= t . 1 w xw 1,. 0< tw 1 , 0< yw 1.答案：D26. 函數(shù)y= x5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. ( 8, 1)B. (8, 0)C. 0,+8D. (8,+8)2解析：函數(shù)y= x5是偶函數(shù)，且在0,+8)上單調(diào)遞增，由對稱性

9、可知選B.答案：B1 17. 若a2 va 2，則a的取值范圍是()a. a> 1b . a> 0C. 1 >a>0d. 1 > a>0解析：運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，選 C.答案：C&函數(shù)y= ； (15 + 2x X2)3的定義域是。解析：由(15 + 2x x2) 3 > 0.15+ 2x xv 20. 3Wxw 5.答案：A19.函數(shù)y=丁在第二象限內(nèi)單調(diào)遞增，則m的最大負(fù)整數(shù)是 .2 m mx解析：m的取值應(yīng)該使函數(shù)為偶函數(shù).故m= 1.答案：m= 1210、討論函數(shù)y= X5的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出圖象的示意圖.2思路：函數(shù)

10、y= x5是幕函數(shù).(1)2要使y= x5 = x2有意義，x可以取任意實(shí)數(shù)，故函數(shù)定義域?yàn)镽.(3)2/ x 三 R,： x >0.二 y> 0.f ( x)=寸(x)2 = Vx = f (x),2函數(shù)y= x虧是偶函數(shù);2(4 ) n=> 0,52幕函數(shù)y= x5在0, +上單調(diào)遞增.2由于幕函數(shù)y= x5是偶函數(shù),2幕函數(shù)y= x5在(：,0) 上單調(diào)遞減.(5)其圖象如下圖所示.11、比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:3(1) 1 .55321.75 ; (2) 0.71.5, 0.61.5; (3) (1.2) 3 , (1.25)解析：(1)考查幕函數(shù)3X5的單調(diào)性，

11、在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,311.5 V 1.7 , 1.55 V31.752T ( 1.2) 3 =2- ( 1.2) 3 >12.已知函數(shù) y=15 2x x2 .(1 )求函數(shù)的定義域、值域；(2) 判斷函數(shù)的奇偶性；(3) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析：這是復(fù)合函數(shù)問題，利用換元法令t = 15 2x x2，則y= 4t ,(1 )由15 2x x2>0得函數(shù)的定義域?yàn)?, 3,2 t = 16( x 1) : 0, 16. 函數(shù)的值域?yàn)?, 2.(2) 函數(shù)的定義域?yàn)?5, 3且關(guān)于原點(diǎn)不對稱，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(3) 函數(shù)的定義域?yàn)?5, 3,對稱軸為x = 1

12、, x 5, 1時(shí)，t隨x的增大而增大；x (1, 3)時(shí)，t隨x的增大而減小.又函數(shù)y=陽t在 性:0, 16時(shí)，y隨t的增大而增大，函數(shù)y= 15 2x x2的單調(diào)增區(qū)間為5, 1 ,單調(diào)減區(qū)間為(1, 3.答案：(1)定義域?yàn)?, 3，值域?yàn)?, 2;(2) 函數(shù)即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；(3) (1 , 3.規(guī)律總結(jié)1在研究幕函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，通常將分式指數(shù)幕化為根式形式，負(fù)整指數(shù)幕化為分式形式再去進(jìn)行討論；2. 對于幕函數(shù) y= x '，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即v 0, Ov v 1和： > 1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意=0,± 1三個(gè)曲線的形狀；對于幕函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即:> 0 (工1)時(shí)圖象是拋物線型；:v 0時(shí)圖象是雙曲線型；:-> 1時(shí)圖象是豎直拋物線型； Ov : v 1時(shí)圖象是橫臥拋物線型.-8 -星辰教育培訓(xùn)中心30 5 log 3 0.5 : 0.5: 33(2)考查幕函數(shù)y= x2的單調(diào)性，同理0.71.5>0.61.5.(3)先將負(fù)指數(shù)幕