平面向量基本定理(教案)

1、<2. 3.1平面向量基本定理教案【教材】人教版數學必修4 （A版）第105-106頁 【課時安排】1個課時【教學對象】高一學生【授課教師】華南師范人學數學科學學院陳曉妹【教材分析】1. 向童在數學中的地位向量是近代數學屮重要的概念，它不僅是溝通代數與幾何的橋梁，還是解決許多實際問 題的重要工具，因此其有很高的教育價值。2. 本節(jié)在教學中的地位平面向量基本定理是向量進行坐標表示，并由此進一步將向量運算轉化為坐標運算的覓 要基礎；該"定理”以二維向量空間為依托，町以推廣到n維向量空間，是今后引出空 閭向量用三維坐標表示的基礎。因此本節(jié)知識在本章屮起承上心卜的作用。3. 本節(jié)在教學

2、思維方面的培養(yǎng)價值平面向量基本定理蘊含了轉化的數學思想。它是用基木要素用基本要素（基底、元）表 達隸物（向量空間、具有某種性質的對象的集合），并把對事物的研究轉化為對那物基 本要索研究的典型范例，這是人們認講事物的一種重要方法?！灸繕朔治觥恐R與技能1. 理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰肖的基底，將簡單圖形中的任一向量表 示為一組基底的線性組合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。 過程與方法1. 通過平面向量基本定理，認識平面向量的''二維”性，并由此進一步體會“某一方向上 的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數”的基本觀念：2.

3、 通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學生體會數學定理的產生、形成過程，體驗定 理所蘊含的轉化思想。情感態(tài)度價值觀1. 培養(yǎng)學生主動探求知識、介作交流的總識，感受數學思維的全過程：2. 與物理學科之間的滲透，改善數學學習信念，提高學生學習數學的興趣?！緦W情分析】有利因素1. 學生在前面己經京握了向量的基本概念和基本運算（特別是向量加法平行四邊形法則和 向量共線的充要條件）都為學生學習本節(jié)內容提洪了知識準備；2. 學生在物理學科的學習中已經消楚了力的合成和力的分解，同時作圖習慣已經養(yǎng)成，這 為我們學習向最分解提供了認知準備。不利因素1. 學生對向量加減法及數乘運算的總義與作用認識不夠，町能增加向

4、量用基底表示時的難 度：2. 對于向量加減法及數乘運算停留在幾何直觀的理解上.缺乏從代數運算的角度理解向量 運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。3. 如果不加啟發(fā)與引導，學生是不會從“基底”、“元”、“維數”這些角度去理解平面 向最基本定理的深刻內涵.也難以認識這個定理在今后用向疑方法解決問題中的電要作 用?！窘虒W重點、難點、關鍵】重點：平面向量基本定理的理解與應用。難點：對平面向最基本定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程。關鍵：分層次設計探究問題并讓學生進行操作實踐?！窘虒W方法】引導探究、討論交流。【教學戶段】計算機.PPT.幾何畫板?！窘虒W過程設計】教學 環(huán)節(jié)教學內容教師

5、活動學生活動設計 意圖（一）游戲 引入游戲介紹：同桌兩人為一組，單號的同學在平面上任意畫 兩個向量引，e?并分別乘以一個數再相加（減） 如：3e】 + 2e2，請雙號的同學做出所得的向 量。師生共同回顧游戲中所利用的舊知識教師進一步拋出新的游戲題目：現(xiàn)在由雙號的同學在平面內任意畫一個向量，同桌一起討論能否用形如入e】+e2的向 量表示出來？教師邊作 圖邊回顧 向量的加 減及數乘 運算，平 行四邊形 法則。教師提示 游戲其實 是物理學 中力的合 成和分解 問題。學生動 手作圖 并在教 師的引 導下復 習舊知 識。讓學生通過自己 動手做圖，再對 向量的求和和數 乘進行復習，加 強學生對舊知的 鞏固

6、。通過游戲開場， 引發(fā)學生學習的 興趣：同時新的 游戲題目，激發(fā) 了學生的好奇心 和求知欲，順利 引入新課。（二）分層探究探究一任意畫出的向最是否一定町以用“一個”已知 的非零向量表示？（復習向量共線定理）探究二任意畫出的向最是否一定町以用“兩個”己知 的不共線向量表示？如圖1,設勺，e?是同一平面內兩個不共線的向 里.，a是這平面內的任向電。圖1教師發(fā)出 指令引導 學生探索 新知。學生動 手操作 體會定 理的探 索過 程。教師層層深入引 導探索，從簡單 到復雜，從特殊 到一般，讓學生 親身經歷定理的 發(fā)生、形成過程， 并體會探索問題 的思路。請你將向量a分解成圖中所給的兩個方向 上的向量。小

7、組對照，比較分解成的兩個向量 的方向和長度是否一致？教師提問：學生畫完圖后，小組對照片刻， 比較分解成的兩個向量的方向和長度是否一 致，即觀察分解的結果是否唯一？（學生觀察并討論）探究結果分解結果-致，即該分解唯一。教師提問：既然a可以分解成c, 6兩個 方向上的向最，那么a是否可以用含有6, ® 的式子表示出來？（學生回答，教師板書）.T板書：0A = 6 0M = A 1； OB = 62： ON二入 2®： OC = a= 0M+ ON=A i ei+X t ft追問：一對數入入2是否唯一？（學生討論并回答）教師點評：分解結果的唯一，決定了兩個 分解向量的唯一，由共線

8、向量定理，有且只有 一個實數入】使得OM =A 1 ft成立，同理，實 數入2也唯一，即一組數入 > ,入2唯一確定c 探究三探究二中的向量a町否用其他兩個不共線的向 量表示出來？教師在黑板上另畫出向量a和不 共線的向最es，諸一位同學板演出新分解c 探究結果：町以選取不同組不共線的向量衷 示向量a。探究四請同學們把剛剛同桌雙號同學任意畫出的向量用兩個不共線的向量表示出來。探究結果：平面內任一向量都可以分解成兩個 給定方向上的向最。（三）定理形成由分層探究的過程，教師引導學生嘗試概括定 理，得到平面向量的基本定理及柑關概念。學生活動（思考并討論）：（1）作為基底的這兩個向量是什么位置關系

9、？（共線還是不共線，共線為什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少組？（無數組）（動畫演示）（3）當基底確定后向量的表示是否唯一？（唯一）啟發(fā)學生 得出定 理，強調 定理中的 亙點詞 句，剖析 這其實是 把向量代 數化，為 研究問題 帶來極大 方便。學生通 過分層 探究的 過程歸 納總結 定理得出平面向量基 本定理的內容， 進一步強化理 解。例 己知U AB CD的兩條對角線相交于點M, 設AB=a , AD =b ,試用基底a、b表示MA、(四)定理 運用思考一：能否用a、6表示AC、DB?用怎樣的法則運算？思考二：MA, MB與哪些向量有關？ 學生回答并完成題目，歸納解題方法。教師 引導 學生講解學生 思考 識別解決1.根據變式理 論，設計了不同形式類型的典型例題，強化定理的應用。2 練習主要是要讓學生再一次感受定理在物理學上的應用，體會數學是“有用的”分析：12、B不共線，所以平面內的所有向量 都可以用它們作基底來表示。2此類題目的關鍵是找所求向量與基底 間的關系，常通過觀察圖形，運用向屋加減法 的平行四邊形法則和三角形法則來尋求。練習如圖：質量為m的物體靜止的放在斜面上，斜 面與