平面向量基本定理(教案)

1、<2. 3.1平面向量基本定理教案【教材】人教版數(shù)學(xué)必修4 （A版）第105-106頁(yè) 【課時(shí)安排】1個(gè)課時(shí)【教學(xué)對(duì)象】高一學(xué)生【授課教師】華南師范人學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院陳曉妹【教材分析】1. 向童在數(shù)學(xué)中的地位向量是近代數(shù)學(xué)屮重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問(wèn) 題的重要工具，因此其有很高的教育價(jià)值。2. 本節(jié)在教學(xué)中的地位平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，并由此進(jìn)一步將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的覓 要基礎(chǔ)；該"定理”以二維向量空間為依托，町以推廣到n維向量空間，是今后引出空 閭向量用三維坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。因此本節(jié)知識(shí)在本章屮起承上心卜的作用。3. 本節(jié)在教學(xué)

2、思維方面的培養(yǎng)價(jià)值平面向量基本定理蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。它是用基木要素用基本要素（基底、元）表 達(dá)隸物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對(duì)象的集合），并把對(duì)事物的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)那物基 本要索研究的典型范例，這是人們認(rèn)講事物的一種重要方法?！灸繕?biāo)分析】知識(shí)與技能1. 理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會(huì)選擇恰肖的基底，將簡(jiǎn)單圖形中的任一向量表 示為一組基底的線性組合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問(wèn)題（如相交線交成線段比的問(wèn)題等）。 過(guò)程與方法1. 通過(guò)平面向量基本定理，認(rèn)識(shí)平面向量的''二維”性，并由此進(jìn)一步體會(huì)“某一方向上 的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念：2.

3、 通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的探究過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過(guò)程，體驗(yàn)定 理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度價(jià)值觀1. 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)、介作交流的總識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的全過(guò)程：2. 與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。【學(xué)情分析】有利因素1. 學(xué)生在前面己經(jīng)京握了向量的基本概念和基本運(yùn)算（特別是向量加法平行四邊形法則和 向量共線的充要條件）都為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提洪了知識(shí)準(zhǔn)備；2. 學(xué)生在物理學(xué)科的學(xué)習(xí)中已經(jīng)消楚了力的合成和力的分解，同時(shí)作圖習(xí)慣已經(jīng)養(yǎng)成，這 為我們學(xué)習(xí)向最分解提供了認(rèn)知準(zhǔn)備。不利因素1. 學(xué)生對(duì)向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的總義與作用認(rèn)識(shí)不夠，町能增加向

4、量用基底表示時(shí)的難 度：2. 對(duì)于向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算停留在幾何直觀的理解上.缺乏從代數(shù)運(yùn)算的角度理解向量 運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。3. 如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會(huì)從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面 向最基本定理的深刻內(nèi)涵.也難以認(rèn)識(shí)這個(gè)定理在今后用向疑方法解決問(wèn)題中的電要作 用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵】重點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用。難點(diǎn)：對(duì)平面向最基本定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程。關(guān)鍵：分層次設(shè)計(jì)探究問(wèn)題并讓學(xué)生進(jìn)行操作實(shí)踐?！窘虒W(xué)方法】引導(dǎo)探究、討論交流。【教學(xué)戶段】計(jì)算機(jī).PPT.幾何畫板。【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】教學(xué) 環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師

5、活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì) 意圖（一）游戲 引入游戲介紹：同桌兩人為一組，單號(hào)的同學(xué)在平面上任意畫 兩個(gè)向量引，e?并分別乘以一個(gè)數(shù)再相加（減） 如：3e】 + 2e2，請(qǐng)雙號(hào)的同學(xué)做出所得的向 量。師生共同回顧游戲中所利用的舊知識(shí)教師進(jìn)一步拋出新的游戲題目：現(xiàn)在由雙號(hào)的同學(xué)在平面內(nèi)任意畫一個(gè)向量，同桌一起討論能否用形如入e】+e2的向 量表示出來(lái)？教師邊作 圖邊回顧 向量的加 減及數(shù)乘 運(yùn)算，平 行四邊形 法則。教師提示 游戲其實(shí) 是物理學(xué) 中力的合 成和分解 問(wèn)題。學(xué)生動(dòng) 手作圖 并在教 師的引 導(dǎo)下復(fù) 習(xí)舊知 識(shí)。讓學(xué)生通過(guò)自己 動(dòng)手做圖，再對(duì) 向量的求和和數(shù) 乘進(jìn)行復(fù)習(xí)，加 強(qiáng)學(xué)生對(duì)舊知的 鞏固

6、。通過(guò)游戲開(kāi)場(chǎng)， 引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的 興趣：同時(shí)新的 游戲題目，激發(fā) 了學(xué)生的好奇心 和求知欲，順利 引入新課。（二）分層探究探究一任意畫出的向最是否一定町以用“一個(gè)”已知 的非零向量表示？（復(fù)習(xí)向量共線定理）探究二任意畫出的向最是否一定町以用“兩個(gè)”己知 的不共線向量表示？如圖1,設(shè)勺，e?是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向 里.，a是這平面內(nèi)的任向電。圖1教師發(fā)出 指令引導(dǎo) 學(xué)生探索 新知。學(xué)生動(dòng) 手操作 體會(huì)定 理的探 索過(guò) 程。教師層層深入引 導(dǎo)探索，從簡(jiǎn)單 到復(fù)雜，從特殊 到一般，讓學(xué)生 親身經(jīng)歷定理的 發(fā)生、形成過(guò)程， 并體會(huì)探索問(wèn)題 的思路。請(qǐng)你將向量a分解成圖中所給的兩個(gè)方向 上的向量。小

7、組對(duì)照，比較分解成的兩個(gè)向量 的方向和長(zhǎng)度是否一致？教師提問(wèn)：學(xué)生畫完圖后，小組對(duì)照片刻， 比較分解成的兩個(gè)向量的方向和長(zhǎng)度是否一 致，即觀察分解的結(jié)果是否唯一？（學(xué)生觀察并討論）探究結(jié)果分解結(jié)果-致，即該分解唯一。教師提問(wèn)：既然a可以分解成c, 6兩個(gè) 方向上的向最，那么a是否可以用含有6, ® 的式子表示出來(lái)？（學(xué)生回答，教師板書）.T板書：0A = 6 0M = A 1； OB = 62： ON二入 2®： OC = a= 0M+ ON=A i ei+X t ft追問(wèn)：一對(duì)數(shù)入入2是否唯一？（學(xué)生討論并回答）教師點(diǎn)評(píng)：分解結(jié)果的唯一，決定了兩個(gè) 分解向量的唯一，由共線

8、向量定理，有且只有 一個(gè)實(shí)數(shù)入】使得OM =A 1 ft成立，同理，實(shí) 數(shù)入2也唯一，即一組數(shù)入 > ,入2唯一確定c 探究三探究二中的向量a町否用其他兩個(gè)不共線的向 量表示出來(lái)？教師在黑板上另畫出向量a和不 共線的向最es，諸一位同學(xué)板演出新分解c 探究結(jié)果：町以選取不同組不共線的向量衷 示向量a。探究四請(qǐng)同學(xué)們把剛剛同桌雙號(hào)同學(xué)任意畫出的向量用兩個(gè)不共線的向量表示出來(lái)。探究結(jié)果：平面內(nèi)任一向量都可以分解成兩個(gè) 給定方向上的向最。（三）定理形成由分層探究的過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試概括定 理，得到平面向量的基本定理及柑關(guān)概念。學(xué)生活動(dòng)（思考并討論）：（1）作為基底的這兩個(gè)向量是什么位置關(guān)系

9、？（共線還是不共線，共線為什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少組？（無(wú)數(shù)組）（動(dòng)畫演示）（3）當(dāng)基底確定后向量的表示是否唯一？（唯一）啟發(fā)學(xué)生 得出定 理，強(qiáng)調(diào) 定理中的 亙點(diǎn)詞 句，剖析 這其實(shí)是 把向量代 數(shù)化，為 研究問(wèn)題 帶來(lái)極大 方便。學(xué)生通 過(guò)分層 探究的 過(guò)程歸 納總結(jié) 定理得出平面向量基 本定理的內(nèi)容， 進(jìn)一步強(qiáng)化理 解。例 己知U AB CD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M, 設(shè)AB=a , AD =b ,試用基底a、b表示MA、(四)定理 運(yùn)用思考一：能否用a、6表示AC、DB?用怎樣的法則運(yùn)算？思考二：MA, MB與哪些向量有關(guān)？ 學(xué)生回答并完成題目，歸納解題方法。教師 引導(dǎo) 學(xué)生講解學(xué)生 思考 識(shí)別解決1.根據(jù)變式理 論，設(shè)計(jì)了不同形式類型的典型例題，強(qiáng)化定理的應(yīng)用。2 練習(xí)主要是要讓學(xué)生再一次感受定理在物理學(xué)上的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)是“有用的”分析：12、B不共線，所以平面內(nèi)的所有向量 都可以用它們作基底來(lái)表示。2此類題目的關(guān)鍵是找所求向量與基底 間的關(guān)系，常通過(guò)觀察圖形，運(yùn)用向屋加減法 的平行四邊形法則和三角形法則來(lái)尋求。練習(xí)如圖：質(zhì)量為m的物體靜止的放在斜面上，斜 面與