工程力學(xué)-平面任意力系平衡方程4

1、第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力均布載荷求力矩矩 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 課題課題34 34 考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程1.1.平面匯交力系平面匯交力系 平面匯交力系總可以合成為一個(gè)合力FR 。2.2.平面力偶系平面力偶系 平面力偶系總可以合成為一個(gè)合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和 。 3. 3.力線平移定理力線平移定理 力向作用線外任一點(diǎn)平移，得到一個(gè)平移力和一個(gè)

2、附加力偶。 平移力與原力大小相等，附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。OF3F2F1FR12FR22)()(yxRFFFM1M2M3MR=AdBF M =FdBAFdFdM 舊課復(fù)習(xí)：舊課復(fù)習(xí)：MMRO一、一、平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系的簡(jiǎn)化= = 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 1.1.主矢主矢F F R 主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開(kāi)方再開(kāi)方, ,作用在簡(jiǎn)化中心上作用在簡(jiǎn)化中心上,其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取無(wú)關(guān)。OF3F2F1CBA簡(jiǎn)化中心 F2 F1 M1M2M3= =OF

3、 RM02222)()()()(yxyxRFFFFF 2.2.主矩主矩M0)(0FMMMO結(jié)論：結(jié)論： 主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選取有關(guān)。 平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 xyFFtanF3 3.3.簡(jiǎn)化結(jié)果的討論簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 例例3-13-1 圖示物體平面A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一等邊三角形，三點(diǎn)分別作用F F力，試簡(jiǎn)化該力系。 1）FR0 00 主矢FR和主矩O也可以合成為一個(gè)合力FR。FABC 解：解：1.求力系的主矢c

4、os60cos600 xFFFF2.選A點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，求力系的主矩 簡(jiǎn)化結(jié)果表明該力系是一平面力偶系。 2）FR0 0=0 主矢FR就是力系的合力FR。 3）FR=0 00 力系為一平面力偶系。在這種情況下,主矩的大小與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。 4）FR=0 0=0 力系處于平衡狀態(tài)。 FFxy0)()(22yxRFFF0sin60sin600yFFF260sin)(0ABFABFFMMAM0二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 1.1.平衡條件平衡條件2.2.平衡方程平衡方程 為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。 平面任意力系平衡

5、的必充條件為FR=0 0=0。即0)()(22yxRFFF0)(0FMMO0)(000FMFFyx三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 例例3-23-2 圖示桿件AB, 在桿件上作用力F,集中力偶M0=Fa,求桿件的約束力。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖 2.建立坐標(biāo)系列平衡方程:0)(FMA0230MaFaFB:0 xF0AxFaaaFABM0FABM0FB332FaFaFaFB:0yF0FFFBAy32FFFFBAyxyFAxFAy 例例3-3 3-3 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F F力，集中力偶M0=Fa，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取A

6、B桿為研究對(duì)象畫(huà)受力圖2.列平衡方程求約束力:0)(FMA0245sin0MaFaFCFaFaFaFC22/22:0 xFcos450AxCFFaaABDFCM0=FaaaFBACM0=FaFAxFCFAy2cos4522AxCFFFF :0yF054sinFFFCAy022254sinFFFFFCAy解：解：1.取小車(chē)為研究對(duì)象畫(huà)受力圖2.建立坐標(biāo)系列平衡方程求約束力()sincos0BTFabFhGhGacosBGaFab:0 xF0sinGFTsinGFT:0yFcos0ABFFGcoscoscoscosABGaGbFGFGabab 例例3-4 3-4 圖示為高爐加料小車(chē)的平面簡(jiǎn)圖。小車(chē)

7、由鋼索牽引沿傾角為的軌道勻速上升，已知小車(chē)的重量G和尺寸a、b、h、，不計(jì)小車(chē)和軌道之間的摩擦，試求鋼索拉力FT和軌道對(duì)小車(chē)的約束力。 GFAFByxFT:0)(FMA四、平衡方程的其它形式四、平衡方程的其它形式 例例3-5 3-5 圖示支架由桿AB、BC組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F F力，集中力偶M0=Fa，=30，試求桿件AB的約束力。aaACFBM0解：解：1.取AB桿為研究對(duì)象畫(huà)受力圖aaFABCM0FAxFBFAy 2.平衡方程求約束力:0)(FMA0230sin0MaFaFB:0 xFcos300AxBFF:0yF030sinFFFBAyFFB2cos303AxB

8、FFF 0AyF:0)(FMA0230sin0MaFaFBFFB2:0)(FMB020MaFaFAy0AyF:0 xFcos300AxBFFcos303AxBFFF :0)(FMA0230sin0MaFaFBFFB2:0)(FMB020MaFaFAy0AyF:0)(FMC03320MaFaFAxFFAx3332a一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB:0 xF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊(cè)練習(xí)七練習(xí)七本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié) 主矢的大小等于原力系中各分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平主矢的大小等于原力系中各

9、分力在坐標(biāo)軸投影代數(shù)和的平方和再開(kāi)方方和再開(kāi)方, ,作用在簡(jiǎn)化中心上。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化作用在簡(jiǎn)化中心上。主矩的大小等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。中心力矩的代數(shù)和。一、一、平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系的簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化平面任意力系向平面任意點(diǎn)簡(jiǎn)化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 1. 1.平衡條件平衡條件 平面任意力系平衡的必充條件為FR=0 0=0。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 2. 2.平衡方程平衡方程 為使求解簡(jiǎn)便，坐標(biāo)軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點(diǎn)（或交點(diǎn)）上。0)(000FMFF

10、yx22)()(yxRFFF)(0FMMO一、平面固定端約束一、平面固定端約束 圖a示陽(yáng)臺(tái)、圖b車(chē)刀固定于刀架部分, 既不允許構(gòu)件固定端的隨意移動(dòng)，又不允許構(gòu)件繞其固定端隨意轉(zhuǎn)動(dòng)。這些實(shí)例簡(jiǎn)化的平面力學(xué)模型，稱(chēng)為平面固定端約束平面固定端約束。 F 平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩A。 FAxFAyMA二、均布載荷均布載荷 載荷集度為常量的分布載荷稱(chēng)為均布載荷均布載荷。 xABqlO在構(gòu)件一段長(zhǎng)度上作用均布載荷q(N/m) ,1.1.均布載荷的合力均布載荷的合力F FQ Q 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即 FQ=qlFQl/2 2.2.

11、均布載荷求力矩：均布載荷求力矩： 由合力矩定理可知，均布載荷對(duì)平面上任意點(diǎn) O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即 M0(ql)=ql(x+l/2) 。 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力矩均布載荷求力矩應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例3-63-6 圖示為懸臂梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為2l，作用均布載荷q，作用集中力F=ql和力偶M0 =ql2, 求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖2.平衡方程求約束力:0)(FMA02320MlqllFMA:0 xF0AxF:0yF0qlFFAy252qlMAql

12、qlFFAy2 例例3-73-7 圖示為外伸梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知梁長(zhǎng)為3a，作用均布載荷q，作用力F=qa/2和力偶M0 =3qa2/2, 求AB梁的約束力。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy:0)(FMA02532aqaaFMaFOD:0 xF0AxF:0yF0qaFFFDAy4qaFD4324qaqaqaqaFAy2.平衡方程求約束力 例例3-8 3-8 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在CB上作用均布載荷q，M0=qa2，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖qM0aaAB

13、DCqM0aaDCBAFAxFCFAy 2.列平衡方程求約束力:0)(FMA02345sin0MaqaaFCqaaqaqaFC222/22/322:0 xFcos450AxCFF22cos45222AxCqaqaFF :0yF054sinqaFFCAy2222254sinqaqaqaqaFFCAy 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊(cè)練習(xí)八練習(xí)八本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)一、平衡方程的其它形式一、平衡方程的其它形式 平面固定端約束有兩個(gè)約束力FAx、FAy和一個(gè)約束力偶矩A。二、平面固定端約束二、平面固定端約束 1.1.均布載荷的合力均布載荷的合力F FQ Q 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度

14、q與其分布長(zhǎng)度l的乘積，即 FQ=ql三、均布載荷均布載荷一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB:0 xF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 2.2.均布載荷求力矩：均布載荷求力矩： 均布載荷對(duì)平面上任意點(diǎn)O的力矩等于其合力FQ與分布長(zhǎng)度中點(diǎn)到矩心距離的乘積，即 M0(ql)=ql(x+l/2) 。 舊課復(fù)習(xí)舊課復(fù)習(xí) 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 1. 1.平面匯交力系平面匯交力系0)(00FMFy00yxFF 2. 2.平面力偶系平面力偶系 3. 3.平面平行力系平面平行力系 4. 4.平面任意系平面任意系 0)

15、(FMO0)(000FMFFyx 平面匯交力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。 平面力偶系有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出一個(gè)未知數(shù)。 平面平行力系有一組二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出二個(gè)未知數(shù)。 平面任意力系有一組三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解出三個(gè)未知數(shù)。 一、靜定與靜不定問(wèn)題的概念一、靜定與靜不定問(wèn)題的概念 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡1.1.靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題 力系中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。靜定問(wèn)題。 2.2.靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題 力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出

16、，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題。 靜定問(wèn)題靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 1.1.物系物系 工程機(jī)械和結(jié)構(gòu)都是由若干個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定約束聯(lián)接組成的系統(tǒng)稱(chēng)為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為物系。物系。 2.2.外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力 系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱(chēng)為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱(chēng)為物系內(nèi)力內(nèi)力。 3.3.物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。 例如例如求圖示結(jié)構(gòu)中AB、BC桿的約束力。 BCAFFFFBACFBxFByFB

17、xFByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx例例3-93-9圖示為一靜定組合梁的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知l=2m,均布載荷q=15kN/m，力偶M0=20kNm, 求A、B端約束力和C鉸鏈所受的力。 解：解：1.分別取AC、CB畫(huà)受力圖lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACFCxFCyFAxFAyMA:0)(FMC0223lqllFB:0 xF0CxF:0yF0qlFFBCy 2.取CB列平衡方程求約束力kN1032153qlFBkN2021510qlFFBCy:0)(FMA00lFMMCyA:0 xF0AxF:0yF0CyAyFF 3.取AC列平衡方程

18、求約束力mkN20220200lFMMCyAkN20CyAyFF例例3-10 3-10 曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，F(xiàn)=5kN，試求曲柄OA上應(yīng)加多大的力偶矩才能使機(jī)構(gòu)平衡? 。 解解1 1：1.分別取曲柄OA、滑塊B畫(huà)受力圖FO10cm20cm10cmBAMF10cm20cm10cmOABMFABFBFABFOxFOy112tan,sin,cos255cos0ABFF 2.取滑塊B列平衡方程求約束力:0)(FMOsin0.1cos0.10ABABMFF 3.取OA列平衡方程求約束力:0 xF555.6kNcos2ABFF0sinABBFF:0yFkN5 . 2516 . 5sinABBFFmk

19、N75. 01 . 0)5251(6 . 5M10cm20cm10cmOBAM解解2 2：取整體為研究對(duì)象畫(huà)受力圖FBFOxFOy:0)(FMO0）2 . 01 . 0（BFMmkN75. 0）2 . 01 . 0(2.5MF3-1 3-1 圖示為一靜定組合梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖。作用集中力F F，集中力偶M0, 畫(huà)AC、CB段的受力圖。 課堂練習(xí)課堂練習(xí)llABCM0F3-2 3-2 圖示結(jié)構(gòu)由AB、BC、DE桿組成。作用集中力F F，畫(huà)AB、BC、DE 桿的受力圖。 aaaaABCDEF 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊(cè)練習(xí)九練習(xí)九本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)一、靜定與靜不定問(wèn)題的概念一、靜定與靜不定問(wèn)題

20、的概念1.1.靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題 力系中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少于或等于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)，全部未知數(shù)可由獨(dú)立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題二、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)的作用力稱(chēng)為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力稱(chēng)為物系內(nèi)力內(nèi)力。 物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個(gè)構(gòu)件都處于平衡。因此在求解時(shí)，既可以選整個(gè)物系為研究對(duì)象；也可以選單個(gè)構(gòu)件或部分構(gòu)件為研究對(duì)象。2.2.靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題 力系中未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)時(shí)，全部未知數(shù)不能完全由獨(dú)立平衡方程解出。 一、滑動(dòng)摩擦的概念一、滑動(dòng)摩擦的概念 課題課題34 34 考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡考

21、慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡 兩物體接觸面間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或具有相對(duì)滑具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，接觸面間就存在有阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱(chēng)為滑動(dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力。作用在接觸面的公切面上。 1. 1.靜滑動(dòng)摩擦力靜滑動(dòng)摩擦力 靜摩擦力有介于零到臨界最大值之間的取值范圍，即0FfFfmax 。FGF1GFNFf 靜摩擦定律靜摩擦定律 大量實(shí)驗(yàn)表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比。F2GFNFfFljGFNFfmax滑動(dòng)趨勢(shì)狀態(tài)臨界狀態(tài)相對(duì)滑動(dòng)狀態(tài)NsFFfmax 2. 2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦大量實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)滑動(dòng)摩擦力Ff的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即NFFf 為靜摩

22、擦因數(shù) s 為動(dòng)摩擦因數(shù) 二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象 1.1.全約束力全約束力FR 若將正壓力FN和靜摩擦力Ff兩力合成，其合力FR就代 表了物體接觸面對(duì)物體的全部約束作用，F(xiàn)R稱(chēng)為全約束力全約束力。F1GFNFfFljGFNFfmaxsNNsNmFFFFfmaxtanFRFRmm2.2.摩擦角摩擦角m 最大全約束力FRm與法線之間的夾角稱(chēng)為摩擦角摩擦角。此式表明摩擦角的正切值等于摩擦因數(shù)摩擦角的正切值等于摩擦因數(shù)。 FljGFNFfmaxFRmm3.3.摩擦錐摩擦錐 摩擦角表示全約束力與法線間的最大夾角。若物體與支承面的靜摩擦因數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成一個(gè)錐體

23、，稱(chēng)為摩擦錐。摩擦錐。 4.4.自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 全約束力作用線落在摩擦錐內(nèi)的這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖自鎖。自鎖的條件應(yīng)為：全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角。即mFR三、考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題三、考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題 求解考慮摩擦?xí)r構(gòu)件的平衡問(wèn)題，除列出平衡方程外，還需列出補(bǔ)充方程FfsFN。在臨界狀態(tài)，補(bǔ)充方程Ff=Ffmax=sFN ，故所得結(jié)果也將是平衡范圍的極限值。解：解：1.取AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖 例例3-11 3-11 圖示重G的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不計(jì)，B端摩擦因數(shù)為s，試求維持梯子不致滑倒的最小min角。 lABGlABGFBFfFA:0)(FMBsincos02AlFlG:0 xF0f FFA:0yF0GFB 2.建立坐標(biāo)列平衡方程fFFAGFB 3.列補(bǔ)充方程GFFsBsf 4.聯(lián)立求解sincos2AlFlGfsincos2GFsincos2sGGs21tanmin1arctan2s 解：解：1.分別取鼓輪、制動(dòng)桿AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。 例例3-12 3-12 圖示為一制動(dòng)裝置的平面力學(xué)簡(jiǎn)圖。已知作用于鼓輪上的轉(zhuǎn)矩為，鼓輪與制動(dòng)片間的靜摩擦因數(shù)為s，輪徑為r，制動(dòng)桿尺寸為a、b、c。試求維持制動(dòng)靜止所需的最小力F。B