淺談四種數(shù)列遞推公式求通項公式的方法

1、淺談四種數(shù)列遞推公式求通項公式的方法摘要：木文是介紹數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列性質(zhì)的關(guān)鍵，對數(shù)列的單調(diào)性，數(shù) 列的最人項，最小項，數(shù)列的求和等都有重大作用，通過構(gòu)造等比數(shù)列將四種數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化為等 比數(shù)列，先有等比數(shù)列的通項公式再求所求數(shù)列的通項公式。關(guān)鍵詞：等比數(shù)列遞推公式通項公式數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的i種表示方法，它反映的是數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系式，如果要研究某個數(shù) 列的性質(zhì)，我們就要確定其通項公式。木文就介紹了四種根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式的方法。一、數(shù)列 q “ 中，已知 5 = a, ah = pan_+q , ( > 1, n g n ) p h 1,

2、g h 0 ,求數(shù)列a n 的通項公式。解析：可以設(shè) + x= p(ai + x),化簡得 = pa 一 + (p - l)x比較系數(shù)得到("-l)x = q，即兀=p 一 1所以數(shù)列 a n滿足：+丄p - 1+即數(shù)列?！?+是以首項為dp 一 1右，公比為。的等比數(shù)列?！纠?】設(shè)數(shù)列a”滿足5 = l,a” =+ 2,(7? > 1,” g n ) 求數(shù)列a“的通項公式。解：根據(jù)a” = 3a”+ 2可以得到a” + 1 = 3(d”“ + 1)即數(shù)列g(shù) 4- 1是以a】+ 1 = 2為首項，公比為3的等比數(shù)列。所以 + 1 = 2 3“"即 a” = 2 -1二

3、、數(shù)列 a “ 中，已知仇、=a , a n = pa + qn + r , (n > 1, h e + ),p h l,a工(),g工0,r e r，求數(shù)列 a ti的通項公式。解析：可以設(shè) + xn + y = p a n_x + % (n - 1 ) + y , 口 j 以得到pa n_l + (px - x )z? 一 px + py - y ,比較系數(shù)門j得即數(shù)列an +勸+ y是以a + x + y為首項，公比為p的等比數(shù)列。所以+勸+ y = (a +兀+ y )八一】，把上述解得的兀，y帶入下面(1)式可得數(shù)列 a n的通項公式為：an = (6/ + x +- xn -

4、 y , (n > i, n e n + ) (1 )【例 2數(shù)列 a “ 滿足 d = l, a“ = 3d“_ + 2m + 2, (/? > 1, n g + ),求數(shù)列 an的通項公式。解：根據(jù) d” = 3d 】+ 2 + 2 ,可得 a“ + n + |- = 3an_ + (n - 1)+ |-559即數(shù)列g(shù) + n + 是以首項為1 + 1 + =,公比為3的等比數(shù)列。222所以 «+ ,1 + = 3/,_,即 j = 3 +1 -"22"22三、數(shù)列 q 中，a = a , a n = pa n_ + q ,l + r , (n &

5、gt; 1, /? g + ), h 1,q h 0, h 0, p h g ,求數(shù)列 a “ 的通項公式。解析：可以設(shè) q “ + xq n + y = p (a n_ + xq n_, + y),化簡得/ 、a “ = pa歸+ 丄x - x qn 4- (p - 1 )y比較系數(shù)可以得到，即數(shù)列 a fi + xg " + y 是以d + xq + y為首項，公比為p等比數(shù)列。所以+ xq ” + y = (a + xq + y)”""，把上述解得的x, y帶入下而(2)式可得數(shù)列 a n的通項公式為 a n 二(a + xg + y )p一 旳"

6、一 y , (n > 1,7? g + )(2 )【例3】數(shù)列 j 滿足5 = 1, g = 3d”+ 2" + 2 , (h > 1, h e 7v + ),求數(shù)列ah的通項公式。解：根據(jù)+ 2” + 2 可以得到 a” + 2 2" + 1 = 3(q“+ 2 2” “ + 1)即數(shù)列afl + 22" + 1是以1 +4+1=6為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以a” + 2 2" + 1 = 6 即=2 3” - 2"i - 1四、數(shù)列?！?中，a = a f a 2 = b , an = pa+ qa ，(n > 2,

7、n w n j 其中ho,gho,2 + 4go,求數(shù)列的通項公式。解析：可以設(shè)a” + xa = y（j_ + xa n_2）f （3 ）解出，即 a n = （y - x）a n- + xya n-2 比較系數(shù)可以得到，y - x = p , xyp + y/p2 + 4q所以數(shù)列an + xcz 一 |是以b + xa為首項，公比為y的等比數(shù)列。即 q “ + xa 一 = (b +同樣我們將（3）式寫成°”w n-lx(an-l - ya n-2 )形式所以數(shù)列 a n 一 ya n _）是以b - ya為首項，公比為-x的等比數(shù)列。即 an - ya n- =(b - ya x- x)n2 根據(jù)式可得數(shù)列 a n的通項公式為（4）(b + xa ) y " *-(/?- ya x- x )""x + y把上述解得的兀，y的一組值帶入（4）式就可以，因為另一組值帶入的結(jié)果是一樣的?！纠?4】數(shù)列 a ” 滿足 a ! = 3,。2 = 4 , a n = 3。一一 2 n _ 2 , (n > 2 , n e n j ,求數(shù)列dj的通項公式。解：根據(jù) an =- 2af2 可得，a fl - an = 2(an_ - an_2) 所以數(shù)列an - an是以4 - 3 = 1為首項，公比為2的等比數(shù)列。即 d”