第2章平穩(wěn)過程習題答案

1、第二章平穩(wěn)過程1指出下面所給的習題中，哪些是平穩(wěn)過程，哪些不是平穩(wěn)過程？(1)設隨機過程 X(t) re"，t>0，其中X具有在區(qū)間(0,T)中的均勻分布 解：該隨機過程的數學期望為T xt 11xt T1Ttm<(t) = EX(t) = e»tdx = _ e»tT = _心一1式 const4 TTtTt該隨機過程不是平穩(wěn)過程。(2)設隨機過程X(t),-二：；：在每一時刻的狀態(tài)只取 0或1數值，而在不同時 刻的狀態(tài)是相互獨立的，且對任意固定的t有PX(t)=1=p PX(t)=0 =1 _p 其中 0：；p：1解：該隨機過程的數學期望為mx(t

2、)二 EX(t) =1 PX(t) =10 PX(t) =0 = p (常數)該隨機過程的自相關函數為：Rx(t,t)二 EX(t)X(t ) =1 PX(t)X(t ) =1 0 PX(t)X(t ) =0結果與t無關= PX(t) =1PX(t ) =1 = p2該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程。(3 )設Xn, n _1是獨立同分布的隨機序列，其中X j的分布列為Xj1-1,j=1,2,P1212n定義 Yn =7 Xj，試對隨機序列Yn, n 一1，討論其平穩(wěn)性。解:EXj=1 PXj =1(-1)PX j11=_1 -1 1 022nnEYn 二 E(v Xj) EXj =0 (常數) j#

3、jm又因為隨機序列Yn的自相關函數。nn "mRY(n,n m) =EY(n)Y(n m) =E ' xXkm為自然數9rp=E EI U/ nm佇XjZ Xj+ Z Xkk蘭卑)_I-nmXj +E XjZ Xk=EJj4k空申=Env Xj j丄m' EXj EXkn+ E £ Xj Xj kM二 EYn2 二 DYn (EX)2 二 DYnj 4 k 1DYn廣n=D 送 Xjn八DXjj 4nn'EX 2 一 (EXj)2EX； - npj 4j 二即 Ry( n, n m) = np =仏(m)該隨機過程不是平穩(wěn)過程。(4) 設隨機過程 X

4、(t) = Acos(，0t亠處)，-:t ：: :，其中0為正常數，A,©是相互獨立 的隨機變量，且 A服從在區(qū)間0，1上均勻分布，而 門服從在區(qū)間0, 2二上的均勻分布。12兀1解：mx(t) =EX(t) =EAcos(，0t 亠處)=i 1dacos(0tJd：護=0 (常數)乜乜2兀而自相關函數為：2 1Rx(t,t ) = EX(t)X(t J = EA cos( pt i)cos( 0(t .)亠判cos o6 該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程。1 1(5) 設隨機過程 X (t) =coscot, zvt v咼，其中在區(qū)間(灼0Ao)0+A)中服從均勻2 ' 2分布。

5、工 11 .1 . co 匸(co 0 co 0 + 也) 解：隨機變量的概率密度為f(，)( 0 2 , 02 )0其它0 y"'：；.-：o 2 :1(t=0)a + 心1.mxt =EX(t) 孑.cos；rtdsin ;譏L'.e -勺t2 tsin( )cos；：0t不是常數M 2該隨機過程不是平穩(wěn)過程。:一 2(6) 設有隨機過程 X(t)二X Yt,-： ：t ： :，而隨機向量(X,Y) 的協(xié)旗陣為'1解：mx(t)二 EX(t) =E(X Yt)二 EX t E Y當t =0時mx(t)不是常數該隨機過程不是平穩(wěn)隨機過程。(7) 設有隨機過程

6、 X(t)=X YtZt2,_： :：: U -:，其中X , Y , Z是相互獨立的隨機變 量，各自的數學期望為0,方差為1。解： mx(t)二 EX(t)二 EX Yt Zt2=EX tEY t2EZ=0 (常數)&(t,t ) =EX(t)X(t J =E(X Yt Zt)(X Y(t ) Z(t)2)2 2 2 2= EX2 (t)2XZ (t )XY XY t t(t )Y2 t(t )2YZtXZ (t)YZ t(t .)2z22 2 2 2 2 二EX2 t(t .)EY2 t(t )2EZ2 =1 t(t .) t(t .)2自相關函數Rx(t,t.) = Rx() 該

7、隨機過程不是平穩(wěn)隨機過程。(8) 設有隨機過程 X(t)=X (隨機變量)，貝U EX二a, DX =；2。解：.mx(t) = EX(t) = EX = a (常數)Rx(t,t.)二EX(t)X(t .)二EX2 二 DX (EX)2 -；. 2 a2 二Rx( ) 該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程。2.設隨機過程 X(t)二SinUt，其中U是在0, 2n 上均勻分布的隨機變量。試證(1) 若 r T，而 T =：1,2, ，而X(t),t =d,2J 是平穩(wěn)過程；(2) 若r T，而T =0,；)，而X(t),t _0不是平穩(wěn)過程。證明：(1)v 該隨機過程X(t) sinUt的數學期望為M

8、x(t)二 EX (t)sin vtdv - cosvt02兀2強2-cos2：t-1=0(常數)Rx(t,t m) =EX(t)X(t m) =Esi nVtsi nV(t m)二 EcosmV - cos(2Vt vm)2E cos mV2-Ecos(2Vt Vm)21 2二- 1 2二-2。- cosmvd 0 嚴(2t m)vdv112 兀sin m v0 4兀m14:sin(2t +m)v 2 応=02t +m X(t),t =1,2, 是平穩(wěn)隨機過程。(2)vX(t),t 0, ；)的數學期望為mx(t)=EX(t) =EsinVt sinvtdv - cosvt 0 cosZt

9、不是常數o2兀2兀t2兀t X(t),t0, ；不是平穩(wěn)過程。3 設隨機過程X (t) = Acos( .0t f: t : :其中o是常數，A與是獨立隨機變量。 服從在區(qū)間（0, 2 n）中的均勻分布。A服從瑞利分布，其密度為x 1 2二 1 . . 1 cos 0cos(2 pt 02 )d cos 0 2 0 2二 2f (x) =x _Ox 0x 尹e 2；-2設隨機過程Y（t）二Bcos.0tCsin ，0t, -： :t ,其中B與C是相互獨立正態(tài)變量，且 都具有分布N （0，；_-2）。（1）試證X（t）是平穩(wěn)過程證明：對于隨機過程 X二Acos（ -01亠住）的數學期望為mx(

10、t) =EX(t) =EAcos(0 亠)=EA Ecos( 0t 亠“左)-Hex2e 藥dxf 1cos( 0t i；)d =0（常數）自相關函數Rx(t,t .) =EX(t)X(t .) =EA2 cos(，0t Y、)cos( 0t 亠心0 處)=EA2 Ecos( 0t 亠處)cos( 0t，0"亠處)1Ecos( 0t 亠乍)cos(，0t 亠心i) Ecos o” 亠 cos(2 0t 亠 f 亠 2)211E(cos 0 ) Ecos(2 0t .2)o2AE一 2ed2X22222 1 2Rx(t,t 亠)=2二COS o = . cos0.2該隨機過程為平穩(wěn)隨機

11、過程。(2)用本章例4說明Y(t)是平穩(wěn)過程證明： E(B)二E(c)=0 DB二DC=； i = lim S(ti)dt i：2I丄0根據例4，隨機過程Y(t)是平穩(wěn)隨機過程。4設S(t)是周期為T的周期函數，而 門是在區(qū)間(0, T)上的均勻分布的隨機變量, 隨機過程X (t) = S(t 亠),-：:t ：稱為隨機相位周期過程。試問X(t)是否為平穩(wěn)過程，又問它是否具有各態(tài)歷經性T 11 t書1 T解： mx(t) =EX(t)=S(t+®)d申tuS(u)du =(S(u)du(周期函數性質)1 T二 mx(t)S(u)du 二常數又 Rx(t,t .)二EX(t)X(t .

12、)二 ES(t 亠處)S(t 亠處-)T 11 t TS(t JS(t 汕吋)dS(u)S(u )d.0 TT 4 S(t)S(t 門)的周期也為T。1 HT1 T Mt'S(皿用節(jié),(皿 ” Rx( ) X (t) =S(t亠住)是平穩(wěn)隨機過程。再討論隨機過程X(t)的各態(tài)歷經性1丿1 J：X(t)*limX(t)dt = lim X(t)dtitR 21 Jit鈕 21 *_l:t ： ；是隨機相位周期過程,是區(qū)間(0, T )上的均勻分布，求5.設X(t),：和振幅a都是常數，相位t0解：根據上圖，得廠8a(t -t°)/T,X(t) =<8a(t 1°

13、 -T/4)/T,0,它的一個樣本函數 X(t)如下圖所示。周期TEX(t)t。臥：:t。- T8t0- -t : t°-84t°汛：:t° T4EX(t)二0 8丄8a(t t°)/Tdt0t0Tf*(T)8a(t1° +)/Tdt°t0 sT4Tt -to 二U8£udu T-8a( -T) 丄 du 二？0 T(T sin '0T cos 0 2To；4 T280444136 .隨機過程X (t)二 Acos(，0t 亠從)其中A和是相互獨立的隨機變量，而 有各態(tài)歷經性在區(qū)間(0, 2n )上均勻分布，試問X(

14、t)是否具解：EX 二 EAcos( .ot 亠處)=EA Ecos(0t 亠事)2応11=EA訃矗成 +P) 一 d®=EA sin(嘰“®)'評=0 (常數)2:Rx(t,t ) = EX (t)X (t .) = E Acos( ot 亠療)Acos( ot ：:譏”亠住)= EA2Ecos( ot 亠處)cos( ot 0 住)2=EA2=EA21 ,Ecos(2 ot d2： J) cos -o 21 d 、 一 'Ecos(2，ot 亠心0 ” 亠 2) cos - 0. ?2二 EA21 2二 12 -cos(2 ot“o. 2 :)d 丄 c

15、os 0.2=EA2111- 丄sin(20t十爪十2申)22兀22 - 10 cos -0.21 2 cos EARx(.)22TRx( )-m、2T丿x(丿2T1cos。.2T 2EA2d2T1 22T 12T.cos o d.i1 一cos 0 d .=EA2cos 0 .dt -0. 2T02_'o02T0 0一 EA22To2tid sio1 EA221 sin 2T 0>o1(. sin ,2T o2T2 二-(sincoo7t) JEA2 sin2oTFl1 1丄 EA2 sin2.oT2o_0丄仃 sin 0T cos2 0T2Toi)02T1。)2 1 1EA

16、-|sin2 ,0T _ sin 0T _ cos2 0T|22T 012 '02Rx ( ) -mxd .sin 0T cos2 0T2T該平穩(wěn)過程具有數學期望各態(tài)歷經性。下面討論相應函數的各態(tài)歷經性。令Y(t) =X(t)X(t .) (固定.)由于A與:.：相互獨立，則有B(.1)=EY(t)Y(t .1)=EX(t)X(t)X(t 1)X(t .J =E A4 cos(0t 亠處)cos( .0t p 處)cos(0t 0 “ it)cos(0t 0空 0. -)=EA4 丄Ecos，0£ -cos(2 pt 0殳2”)cos p戈"cos(2 0t2 01

17、 心 一2”)4二E "cos2 '0 . * bos(2 0t - 2址)cos2(，0t * r0"亠述)1cos2(，0t ，0"亠為)cos2(，0t，0. ，01 亠卩)21 ,co' 0 1 co 2(2 pt 0 0.12”)= EA1 cos,. 1cos2.0-1421 2T；lim 01-并 B( J - RX( )d 1=limt八T1 2T=limj-'T石 EAI2T丿4!cos-,. Icos2.0.12； EA42cos 0EA4cos2 -0-12 2旦丄cos2。2 2(EA )42COS C0oE di-

18、(EA2)24EA4cos4 2 2丄 2；()EA (EA ) T 0 2T2cos o d 1 =4 2 2EA -(EA2)2cos2 0 丄T2T(-±)d.12TEA4-(EA2)2cos4；|0TEA4-(Ea2)2cos2EA4-(Ea2)2cos2s41 2t i、EA4門 1 EA(1)cos2 0 id . iT 0 2T 8T 81、EA4 2Tj(1) cos2；： o ：id . i02T1 EA41,2T 12Tsin 2 .0|1 cos2，0 d “T 8 J 2- .002T '0丄空嚴伽T_丄2；dsi門？肌JT 82 磯4 個 0、0EA

19、4 sin 4 pT18, 0 4T 02T 2T(哥 sinZcdoS |0 sin t1dt1)EA4 sin4，0T0 IL T1 12 (2Tsin 4 0Tcos24T22 02TL)ea4sin 4 o0Tsi n4 o0T1,十-cos4gj0T2T 8T2，0EA4 4sin GO0T2T1 12cos4o0T +2)8T o08T o02EA4B(G-R；dT 2 2-(EA2)22cos ，04該平穩(wěn)過程不具備自相關函數各態(tài)經性7.隨機過程X(t) =Asint +Bcost, 比 ct 亦其中A和B號均值為零不相關的隨機變量，且EA2 =EB2。試證明X (t)具有數學期

20、望各態(tài)歷經性，而無相關函數各態(tài)歷經性。解： mX (t)二 EX(t) = E As in Bcost二 EA si nt EB cost = 0 (常數)RX(t,t ) =EX(t)X(t) =E(As int Bcost)(Asi n(tJ Bcos(t )=E A2 si nt si n(t) AB si ntcos(t ) AB cost si n( t ) B2costcos(t)二 EA2sin tsin(t) EB2 costcos(t ) E(AB)sin t cos(t) cossin(t)= EA2cos(t-t) EA EBsin(t t ) = EA2 cos 二 R

21、x ()該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程?，F證數學期望各態(tài)歷經性1 2T2T1 -2T2EA cos. )d .T2EA2 2TEAlsin.2T 1 2T2TEA21T2T.cos dsin 2T (. sinsin d .)T I2Tbb/二匹 sin 2T丄(si nTcosT |L2T i邑 sin 2T -丄(cos2T -1)IL2 2T V丿= Ea2 sinlsimrco ,IL T2 2 2T2 該平衡過程具有數學期望各態(tài)歷經性：X(t)X(t .) glim 2T ：X(t)X(t )dtT T2T 二im丄t；-'2T 'JT(Asint Bcost)Asin(t

22、 亠 ”)Bcos(t 亠 “)dt1 T 22=Jim 2丁 JA sin t sin(t.) ABsintcos(t ) AB cost sin(t) B cost cos(t . )dt=丿邛迂詳'A21【cosit cos(2t + 0 +ABsin(2t + ° + B2£cos(2t+i) +cos“ptim 1TY-'4T u:A2cos t cos(2t .) 2 AB sin(2t.) B2cos.cos(2t .) dtI A2coscos(2t )dt=A2 2Tcos+(2t£1二A22Tcos . - (sin(2T) s

23、in(2T -)22 1 1二A22Tcossin(2TJ sin(2T -)2 2T2ABsin(2t)dt - -ABcos(2t )T|=ABcos(2t - )-cos(2T )T 221TL B cos £ +cos(2t + T) dt = B 2T co- sin(2t +1) |j二B2 2Tcos -sin(2T )】sin(2T - ) IL 22二 vX(t)X(t +巧 x lim 1t_.4t丄A |2Tcost 1 sin(2T 1 sin(2T 巧 +AB2 2cos(2t-.)_cos(2t .) B22Tcos. sin(2T .)sin(2T _

24、.)2 2"a2a2 sin(2T +t)A2 sin(2T i) * AB cos(2T 巧 AB cos(2T+0iim cos，T_.o 28 T8 T4 T4 TB2 B2 si n2T ) B2 si n?T -) cos28 T8 TA22i2cos. =EA(利用均方極限的性質 4)49即自相關函數無各態(tài)歷經性&設平穩(wěn)過程?X(t),-： ：:的相關函數Rx ()=A(1 a | . |)ea|j，其中A， a都是正常數；而EX(t)=O，試問X(t)對數學期望 是否具存各態(tài)歷經性。解:Iim RX ()A(1 a |.|)ea| 12=0 =(EX(t)(L

25、' hospital 法則)即平穩(wěn)隨機過程 X(t)具有l(wèi)im Rx( )二mX平穩(wěn)隨機過程關于數學期望具有各態(tài)歷經性。9設X(t)和Y(t)是相互獨立的平穩(wěn)隨機過程，證明Z(t) =X(t)Y(t)也是平穩(wěn)隨機過程。證明：mZ(t)二EZ(t)二EX(t)Y(t)二EX(t) EY(t)二mX mY(常數)Rz(t,t)=EZ(t)Z(t)=EX(t)Y(t)X(t)Y(t )=EX(t)X(t .)Y(t)Y(t.)二 EX(t)X(t ) EY(t)Y(t ) =Rx( )Ry()與 t 無關隨機過程Z(t) =X(t)Y(t)也是平穩(wěn)隨機過程。10設平穩(wěn)過程 X(t)和Y(t)

26、相互獨立。令 Z(tZ(t) Y(t)，試求Z(t)的自相關函數。解：RZ(t,t)二EZ(t)Z(t .)二EX(t) Y(t)Z(t J Y(t )=EX(t)X(t ) X(t)Y(t Y(t)X(t J Y(t)Y(t J=EX(t)X(t ) EX(t) EY(t ) EY(t) EX(t ) EY(t)Y(t )/ X(t),Y(t)都是平穩(wěn)過程- EX(t)=mx (常數)，EY(t)=mY (常數)EX (t)Y(t ) = Rx ( ), EY(t)Y(t ) = Ry ()RZ(t,t) =Rx( ) Ry( ) 2mx 叫11 平穩(wěn)過程X(t),： ：:t ： ；的相關函

27、數為 Rx () =4ecos二cos 度求均方值2EX (t)解：根據平穩(wěn)過程自相關函數的性質有EX2（t） =RX （0） =513設有隨機過程X （t） = Acos（ ，t 亠），一:t :其中A,®是相互獨立隨機變量，而 A的均值為2，旗為4;述在（-二，二）上服從均勻分 布；.在（-5，5）上服從均勻分布，試求 X（t）的自相關函數，并問 X（t）是否平穩(wěn)以及是否 具有各態(tài)歷經性。解： mX (t) = EX t = EAcos( t ) = EA E cos( t 亠:;)=EA Ecos cos -sin ，t sin = 2E cos t E cos - Esin

28、t E sin i1sin d :L-n2 兀5 1 二 1 5 1=2 cos t dL i cos dsi ntd s 10-二2 二r 105 1 1 sin 甲巴一0 (cos®)102兀JL、7= 2fsin tji匚2二d H0 (常數)Rx(t,t) = EX(t)X(t .)= EAc o s(t ) Aco s(t亠")1=EA2 E cos(；： t) cos(；-：t 亠心"亠")=8 Ecos、 cos(2：亠 c 亠 2 J2=4 E cos E cos(2 t 亠八"亠 2 )= 4Ecos， 4Ecos(2t )

29、cos2 -sin(2t )，sin2 5151二 1.=4 cos d 4 cos(2t ) d cos2 :d :T0-510_二 2 二51 二1-4 sin(2t.)，dsin 2 d 10 -二2 二81sin -100sin5“ 4sin5“ - Rx()105該隨機過程具有平穩(wěn)性。又 Rx（ ）4如工=0:-.'5 該平穩(wěn)過程關于數學期望具有各態(tài)歷經性。1 T又： X（t）X（t ）=円二亓 v X（t）X（t .）dt二丿計二* jAcosC）Acos（7 ：沁 ：'：）dtA 1 tTlimcos（2 t：2 ） cos（ ）dtt 2T 2 工=丿邛乂彩盤s

30、in（2価+2©）Lr+cos時e 2TA sin(2coT + 祖 +2©) sin( 2T + 眈 + 2) A lim -p cos -.T 8 TT2Acos、 Rx()2 該隨機過程不具有相關函數各態(tài)歷經性。14:設有隨機過程Z(t)二VX(t)Y(t),-： :：: t :其中平穩(wěn)過程 X(t)和Y(t)僅隨機變量V三者相互獨立，且 mx=0,my=0RX ( ) = 2e° : cos 0.,Ry( )=9 e",又 EV=2，DV =9試求Z(t)的數學期望，和相關函數。解： Rx ( ) =2e日：cos 0 , Ry ( ) =9 e

31、"- EX2 二 RX(0) =2 EY2 = 9 1=10 DX -EX2 -(EX)2 =EX2 -mX -2DY 二 EY2 _(EY)2 二 EY2 _mY =10 mz二 EZ(t)二 EVX(t)丫二 EV EX(t)EY(t) = 2 0 0 = 0DZ (t)= D(VX(t)Y(t)二 EV2X2(t)Y2(t)EX(t)Y(t)V2 二 EV2 EX2 EY= EV2 20DV =EV2 -(EV)2 EV2 =13 DZ(t)=13 20 = 260RZ(t,t) =EZ(t)Z(t )=EVX(t)Y(t) VX(t )Y(t )二 EV2X(t)X(t)Y(

32、t)Y(t )二 EV2 EX(t)X(t ) EY(t)Y(t )= 13Rx( )Ry( ) =26e*cos o (9 e“)15：設X (t)是雷達的發(fā)射信號，遇到目標的回波信號為aX(t- r),a： 1 , 1是信號返回時間，回波信號必然伴有噪聲，記為N(t),于是接收機收到的全信號為Y(t) =aX(t - J N(t)假定X (t)和N (t)平穩(wěn)相關。(1)求互相函數Rxy( )；(2)若N (t)的數學期望為零，且與X (t)相互獨立，求Rxy ()。解：(1 )先求互相關函數 RxyC)Rxy()二 EX(t)Y(t .)二 EX(t)aX(t . 一 .J N(t )=

33、 EaX(t)X(t - .J X(t)N(t )二 aRx ( - J EX(t)N(t .)二 aRx ( - 1) Rxn ()(2)T X (t)與 N (t)相互獨立，且 EN(t) =0二 Rxy ()二 aRX ( 一 J EX(t) EN(t) =aRX ( - J16:設有兩個平穩(wěn)過程X t 二 acos 0t 亠，Y t 二 bsin 0t 亠處，一10 ： t ：:其中 a,b, 0 為常數，而是在(0, 2n )上均勻分布的隨機變量，試求Rxy -與Ryx - °解： RXY()二 EX(t)Y(t )二 Eabcos( 0t 亠)sin( 0t亠)11=ab

34、 E s i n20t +國0e + 26) + s i n 肛】2ab 2二 1-0ab1si n2J0t +0i +2®"® + si n0i =absi n0T222Rx( ) = EY(t)X(t )二 E absi n (0t 亠述)co s(0t 0 亠住)1ab2 E si n2； yt-02") -si n °ab 21 , ab .ab .f si n2；®0t +co0i +2甲)d甲一si n0t = 一一2 02二 2 2si n 0.17設：X(t),：:：t < -是獨立同分布隨機過程，且E(X)t

35、=0, DX (t)=1，試問X(t)是否為平穩(wěn)過程？又 X(t)是否均方連續(xù)解：打 mx(t)二 EX(t) =0 (常數)RX(t,t)二 EX(t)X(t )二EX2 =DX =1, i =0時 iEX(t) EX(t+i)= 0川式 0這與t無關該隨機過程是平穩(wěn)隨機過程又因為Rx ()在.=0點不連續(xù)，根據定理 x(t)不均勻連續(xù)。1&設 妝，-:：:t ”此昇是平穩(wěn)過程(1)若存在T>0使得Rx(T) =Rx(0)，則對固定的t有丄j1 DXX(t T)=X(t),as (提示：P'.X-EX2 )z證明：根據概率論中的契比雪夫不等式有PX(t .) X(t)

36、EX(t .) X(t)lDX(t J X 1z/X(t)是平穩(wěn)過程故 EX(t .)-X(t)l - 0D X(t +n) X(t)】=E|X(t +兀)一X(t)|2PX(t T) X(T) - J乞E|X(t+T)_X(t)| 二 2底(0)-Rx(T)】存在T>0,使得RX (T) = RX (0)，則對上式T>0.P'X(t T) X(t)=0X(t T)=X(t), a.S證畢(0)(3)若X(t)可導，則X (t)是平穩(wěn)過程，且它的相關函數(2)若 X(t)可導，則 EX(t)X (t)二 Rx(0)EX (t)Rx()證明： X(t)是平穩(wěn)過程，故 mx(t

37、)=mx (常數)，Rx(t,t JnRxC)二 mx(t) =0(常數)又-Rx (t,t ) =EX (t)X (t )X(t+3JX(t)X(t+At2)X(t+i)=E l.j.m l.i.mlim lim RxM + 加2 - Ab) - Rx(w -也tj - RxG +加2)+ Rx (w) -110 理：0.1| Rx(£ - 也 1+At2 ) - Rx (三-也ti )Rx(2+ At?)Rx (l)=lim lim 2-'At2At2dRx()ddRx()d=d2Rx(i)19 設fX(t),：:t八；：二和Y(t),：:t1；是平穩(wěn)相關隨機過程。若X(

38、t)和Y(t)滿足微分方程Y (t) aY(t) = X(t)其中a是非零常數，則它們的數學期望滿足：1 mYmxa證明：兩邊同時取數學期望有：E丫 aY(t)二 EX(t)即 EY (t) aY(t) = EX (t)m丫 (t) am丫 (t) = mx(t)因為X (t)， Y(t)是平衡隨機過程，則mX(t)二mX (常數)，mY(t) = mY (常數)10 anv(t)二 mx(t)即 mYmxa20設1x(t),：:t ： 門是平穩(wěn)過程，且EX(t)=1, RC) =1 e引，試求隨機變量1S二x(t) dt的數學期望和方差°01 1 1解： ES 二 E °

39、x(t)dt EX (t)dt 1dt =1/ 1 ¥ 1 1DS 二ES2 -(ES)2 二E .0X(t)dt -1 二E.0X(t)dt.0XC)d、-11 1 1 10 .0EX(t)X( )dtd' -仁.0 .0R、.( -t)dtd、-1=1 11 eTdtd、-1 二 1 外Tdtd、二e召Tdtd 亠 iieJMdtd'0 0 0 0 - D1 D2=fevdv j¥2tdt +e七冷+ /edt =1e2t +；約(一丄疋亠；dv2 0 02 '11e2d. - "id.-o2 o丄,0 12 21414丄丄2 2 2寸

40、1 e2)21 設復隨機過程Z(t) = ei( °t 'J，-: : t ：" ：；3其中門是在(0,2二)上均勻分布的隨機變量，而0常數，試求Z(t)的相關函數，并討論其平穩(wěn)性。解： mz(tr EZ(tr Ee(0t1 e(0t)d，10ted0 2兀2兀0=eJW0t 1)eJ ；：2】ew0te力-1= 1 eiw0tcos2二 - i sin 2二 -1 = 0 (常數)2 二i2二 i2二 iRz(t,tJ 二 EZ(t)Z(t J 二 Ee叫)_d(w0t W0) =eW0, Rx( )隨機過程Z(t) = ei(w0t 2-： t ：-是平穩(wěn)過程。

41、222設X (t)是數學期望為零的平穩(wěn)正態(tài)過程，又Y(t) = X (t)，求證RyC)二 RX (0) 2RX()證明：顯然 EY(t)H EX2(t) =RX(0) =：；2FY(t,t - )= EY(t)Y(t - )= EX2(t )X2(t)1 亠云匚/y exp12；(1 -r2)(x22_2rxy y )dxdy其中r =Rx()Rx (0)12=2 J - r2心 2 亠_2-= 2x e - dx . exp(r -rx)22二 2(1 -r2)dyu22 2 2 匚(1 _ r )x edxx2e2/dx (rx 二 1-r2u)2e 2 duq3© q?2_

42、42 r匚1 _r V2n:crx4eJ Q4/26x= 2r4二4 = 2RXc)RX(O) = Ry()上面的證明同時也說明Y(t) = X 2(t)是平穩(wěn)隨機過程。證畢23.( 1)下列函數哪些是功率譜密度，哪些不是？為什么?293( )22(仙 +4)(國 +1)S3C H /'4 32解：根據功率譜密度的性質,功率譜密度是實的，非負的偶函數，所以S1()，Sb( ),S4()不是功率譜密度，而 S2 ()是功率譜密度。(2)對上面的正確功率譜密度表達式計算自相關函數和均方值解：T S2 (；：；)-2 +1('22)( 23)自相關函數為Rx(J=f&壬 F=

43、2F2丁31 1 2 +(73)2 2也22 1呼2 ( 2)2 2、2而均方值為EX2(t)二 Rx(O)12“2-2| J12、224.已知平均過程X(t)的功率譜密度為2Sx()=盧求X(t)的均方值解:21 咼卄EX (t) = EX(t)X(t) = Rx(0) = RxK)= Sx(co)eXd嚴和2 31 -cdS( )d，丄 a (a-.2)d-.2a33 二a丄仏2二 025 試說明下圖所示函數不可能是某個平穩(wěn)過程的自相關函數。解：如果自相關函數 Rx( )在.=0連續(xù)，則它必在 T上連續(xù)，但在該題中自相關函數Rx()在.=0連續(xù)，但它并不在( 心,+ R)上連續(xù)。故該圖所示

44、的函數不可能是某個平 穩(wěn)過程的自相關函數。26已知下列平穩(wěn)過程 X(t)的自相關函數，試求 X(t)的功率譜密度。(1) Rx( ) He1 cos 0 (a 0)解: Sx( J =FRx(.) =Fe*cos 0.二：eJ-be e，cos 0 cos d 口cos 0 e d = e 1 cos 0 cos d=2bee J cos(二亠心 0)cos(-；-； 0) do e cos( 20v) d o e* cos(0) de cos( 0)d1 !Ljcos( 0) de-31+a0)0，e sin(；： ： ；.-: 0). (；. ： :0)d -1 10-1 '- &

45、#39; ' 0)( ) 0 a _asin(八；：；0) de"丄+亠中亦(汕a a20-( 一0)0e“ cos(； ： :0)-® F)2 1+ Lecos(；： ：0) d 1e cos(0) d ：a咼 a_ e cos(心亠心0) d .'a + (灼 +co0)同理:Lj _gecos(；.-;；.-;0).d.=飛2-（；： 0）Sx( ) = a+2 20)（2）Rxd1丄1T0-T其它解： SxC H FRx(.) =RxC)ed.二T .=2 0 1 - 丁 cos血 d2T oSin TrL_'eJ d :TT)d sin ，

46、TL sin©Tdi2 TJ 0(1-.JT0sin d1a2 22 cos T -121_cos T二0 TT -(3) Rx()=4ecos二 cos3:解： SX ( ) =FRX ( ) = F4e_ ' cos，亠 cos3二=4F'e" cos二Fcos3二d亠、（3二）丄心（心亠3:） ）2(4) RxC) 乂 2e川(cosbi -ab-1 sinb計) 其中 a>0解： Sx ()=FRX (i) = Fcr 2e 同丈(cosbiab_s in bi)=F 2e cosbi oab'e-9' sin b e *2Fe

47、 紹cosb - ；2ab 4Fe ; sinbh|c2a2 r -b)2 a2：b)2U/sin b"-be斑而 Fea|sinb| |p . .e' 'sinb e d 二-be0 e"sinb cos db +ba2 (b = )2e sin(b ) d .b ba2 (b =)2Sx()a 2 |a(=b)2ab2 b 2|a(b w)27:已知下列平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度，試分別求X(t)的自相關函數1(1) Sx®)=0| | - 0其它解:(2)1 1 ： ： i 1RX () = F SX ( )Sx ( )ei d2 - -1

48、 Sx&屮®戶2010丿阿乞100,其它解:RSx打.Sx e1 de空 dB = si nBo2 - 0 二.1 -：86 何JedB |*"O1 10+ f 20 1 一二cos砂 dB =7：010* 1 -(3) Sx 何)=0%0,其它解：Rx = F 4 Sx 丄亠Sx ei dcos d2sin(4) Sx()1(1 )2解：論Sy()=1 則ry仆尹1=j "e - si n(b). sin (b - ) d .ax1axoeax sin bxd = 2 eax(asin bx -bcosbx) cr； ae sirb( = ).d.=二2

49、(b w)a +(b+w)Sx()”2、2(1 )=Sy (：-7 ) $ = Sy(3 )Sy ()Rx( ) = F JSy( ) Sy( )= Ry( )* Ry (.)二Ry( )Ry(. 一 )d = 1 ' e4|e4'd43當._ 0時Rx(.)= 0 e4|ek_| - -eeUd4 匸：4 o=1 ° e e«-怙 1e_eJ-怙 1' e"d = 1 (ee)4 士4o4.4、/由于Rx()是偶函數1二 Rx =-e +1 e | e“-血 < I c 論n(5) Sx(w)八4,其中 a0,k =1,2, ,n k 4 wbk2解：Rx( )*Sx = F；akJ 2心 +bk21 n=11kTakFn=zk 1ak_nk| |2bk心2bk(6) Sx(w)二b20a <| 口 2a其它解：；Rx()/ 1二 F Sx( )Sxei d2 二b2e%Ba- g斑 I： + - ej癒=L_sj raw+si i2a可JIT2 二 j2a 2 二 ia -28：記隨機過程Y(t) = X(t)cos( ot )，-： ： t :其中x(t)是平穩(wěn)過程，G為區(qū)間(0, 2n)上均勻分布的隨機變量， 0為常數, 且x(t)和門是相互獨