導數(shù)與微分的MATLAB求解ppt課件

1、第7章 導數(shù)與微分的MATLAB求解編者 Outlinen7.1 7.1 導數(shù)概念導數(shù)概念n7.2 7.2 導數(shù)的導數(shù)的MATLABMATLAB符號求解符號求解n7.3 7.3 函數(shù)的微分函數(shù)的微分n7.4 7.4 微分中值定理微分中值定理n7.5 7.5 洛必達法那么洛必達法那么n7.6 7.6 泰勒公式泰勒公式n7.7 7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性n7.8 7.8 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值n7.9 7.9 曲線的漸近線曲線的漸近線n7.10 7.10 曲率曲率n7.11 7.11 方程的近似解方程的近似解n7.12 7.12 導數(shù)的數(shù)值求解導數(shù)的數(shù)值

2、求解7.1 導數(shù)概念1.1.導數(shù)的定義導數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量 在在 處獲得增處獲得增量量 假設(shè)點假設(shè)點 仍在該鄰域內(nèi)時，相應的函數(shù)獲得增量仍在該鄰域內(nèi)時，相應的函數(shù)獲得增量 ；假設(shè)；假設(shè) 與與 之比當之比當 時的極限存在，那么稱函數(shù)時的極限存在，那么稱函數(shù) 在點在點 處處可導，并稱這個極限為函數(shù)可導，并稱這個極限為函數(shù) 在點在點 處的導數(shù)，記為處的導數(shù)，記為 ，即，即也可記作也可記作 或或 。 將上面導數(shù)的定義式中的將上面導數(shù)的定義式中的 換為換為 即可得到導函數(shù)的定義式即可得到導函數(shù)的定義式 根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù) 在點在點 處

3、的導數(shù)處的導數(shù) 的定義，導數(shù)的定義，導數(shù)是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因是一個極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此此 存在即存在即 在點在點 處可導的充分必要條件是左、右極限處可導的充分必要條件是左、右極限 及及 都存在且相等。這兩個極限分別稱為函數(shù)都存在且相等。這兩個極限分別稱為函數(shù) 在點在點 處的左導數(shù)和右處的左導數(shù)和右導數(shù)，記作導數(shù)，記作 及及 ，即，即 如今可以說，函數(shù)如今可以說，函數(shù) 在點在點 處可導的充分必要條件是左導數(shù)處可導的充分必要條件是左導數(shù) 和右導數(shù)和右導數(shù) 都存在且相等。都存在且相等。2.2.導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何

4、意義 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處的導數(shù)處的導數(shù) 在幾何上表示曲線在幾何上表示曲線 在點在點 處的切線的斜率，即處的切線的斜率，即 其中其中 是切線的傾角。是切線的傾角。 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在點在點 處的導數(shù)為無窮大，這時曲線處的導數(shù)為無窮大，這時曲線 的割的割線以垂直于線以垂直于 軸的直線軸的直線 為極限位置，即曲線為極限位置，即曲線 在點在點 處處具有垂直于具有垂直于 軸的切線軸的切線 。7.2 導數(shù)的MATLAB符號求解1.1.函數(shù)的導數(shù)與高階導數(shù)函數(shù)的導數(shù)與高階導數(shù) MATLAB MATLAB符號工具箱中提供了函數(shù)符號工具箱中提供了函數(shù)diffdiff來求取普通函數(shù)的導數(shù)以及高階導來求取普通

5、函數(shù)的導數(shù)以及高階導數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：D=diff(fx,x,n)D=diff(fx,x,n)運轉(zhuǎn)結(jié)果如下圖。運轉(zhuǎn)結(jié)果如下圖。 圖圖 函數(shù)導數(shù)的圖形直觀表示函數(shù)導數(shù)的圖形直觀表示2.2.隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù) 方程方程 表示一個函數(shù)，由于當自變量表示一個函數(shù)，由于當自變量 在在 內(nèi)取值時，變量內(nèi)取值時，變量 有確定的值與之對應。例如，當有確定的值與之對應。例如，當 時，時， ；當；當 時，時， ，等等，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。，等等，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。 普通的，假設(shè)變量普通的，假設(shè)變量 和和 滿足一個方程滿足一個方程 ，在一，在一定條件下，當定條件下，當

6、取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應的總有滿足這方程的獨一取某區(qū)間內(nèi)的任一值時，相應的總有滿足這方程的獨一的的 值存在，那么就說方程值存在，那么就說方程 在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)。在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)。 隱函數(shù)求導的普通采用如下步驟：隱函數(shù)求導的普通采用如下步驟：方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導，這里應留意求導，這里應留意 ；整理求得整理求得 的表達式，即為隱函數(shù)的導數(shù)。的表達式，即為隱函數(shù)的導數(shù)。3.3.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 假設(shè)知參數(shù)方程假設(shè)知參數(shù)方程 ，那么，那么 可以由如下遞推公可以由如下遞推公式求出：式求出：7.3 函數(shù)的微分n微分的定義微分的定義

7、n 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，在某區(qū)間內(nèi)有定義， 及及 在該區(qū)間內(nèi)，假設(shè)在該區(qū)間內(nèi)，假設(shè)增量增量n可表示為可表示為n 其中其中 是不依賴于是不依賴于 的常數(shù)，那么稱函數(shù)的常數(shù)，那么稱函數(shù) 在點在點 是可微是可微的，而的，而 叫做函數(shù)叫做函數(shù) 在點在點 相應于自變量增量相應于自變量增量 的微分，記作的微分，記作 ，即即n 下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù)下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù) 在點在點 可微，那么由可微，那么由 兩邊同時除以兩邊同時除以 ，得，得n 于是，當于是，當 時，由上式就可得到時，由上式就可得到n 因此，假設(shè)函數(shù)因此，假設(shè)函數(shù) 在點在點 可微，那么可微，那么 在點在點 也一定

8、可導也一定可導即即 存在，且存在，且 n 反之，假設(shè)反之，假設(shè) 在點在點 可導，即可導，即 n 存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成n 其中其中 ，由此又有，由此又有n 因因 ，且，且 不依賴于不依賴于 ，故，故 所以函數(shù)所以函數(shù) 在點在點 也是可微的。也是可微的。n 通常把自變量通常把自變量 的增量的增量 稱為自變量的微分，記作稱為自變量的微分，記作 ，即，即 。于是，函數(shù)。于是，函數(shù) 的微分又可記作的微分又可記作n n 從而有從而有 ，這就是說，函數(shù)的微分，這就是說，函數(shù)的微分 與自變量的微分與自變量的微分 之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做

9、之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做“微商。微商。2.2.微分的幾何意義微分的幾何意義 在直角坐標系中，函數(shù)在直角坐標系中，函數(shù) 的圖形是一條曲線。對于某一固定的的圖形是一條曲線。對于某一固定的 值，曲線上有一個確定點值，曲線上有一個確定點 ，當自變量，當自變量 有微小增量有微小增量 時，就得時，就得到曲線上另一點到曲線上另一點 ，由，由圖可知：圖可知： 過點過點 作曲線的切線作曲線的切線 ，它的傾角為，它的傾角為 ，那么，那么 即即 。 微分的幾何意義微分的幾何意義7.4 微分中值定理1. 1. 羅爾定理羅爾定理 為更好地了解羅爾定理，先引見費馬引理：設(shè)函數(shù)為更好地了解羅爾定理，先引見費馬

10、引理：設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰的某鄰域域 內(nèi)有定義，并且在內(nèi)有定義，并且在 處可導，假設(shè)對恣意的處可導，假設(shè)對恣意的 ，有，有那么那么 。 引見羅爾定理，假設(shè)函數(shù)引見羅爾定理，假設(shè)函數(shù) 滿足：滿足：在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上延續(xù)；上延續(xù)；在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導；內(nèi)可導；在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即 。那么在。那么在 內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得 。羅爾定理的直觀演示如下圖。羅爾定理的直觀演示如下圖。 圖圖 羅爾定理圖形直觀表示羅爾定理圖形直觀表示 2.2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 羅爾定理中羅爾定理中 這個條件是相當特殊的，它使羅爾定理的運用遭這個條件

11、是相當特殊的，它使羅爾定理的運用遭到限制。假設(shè)把到限制。假設(shè)把 這個條件取消，但仍保管其他兩個條件，并相應的改動結(jié)論，這個條件取消，但仍保管其他兩個條件，并相應的改動結(jié)論，那么就得到微分學中非常重要的拉格朗日中值定理。那么就得到微分學中非常重要的拉格朗日中值定理。 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 滿足：滿足：在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上延續(xù)；上延續(xù)；在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導；內(nèi)可導；那么在那么在 內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得 成立。成立。 關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅引見該定理的幾何關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅引見該定理的幾何意義，如下圖。由于上式可以改寫為意義，如下圖。由于上

12、式可以改寫為且且 為弦為弦 的斜率，而的斜率，而 為曲線在點為曲線在點 處的切線的斜率。因此處的切線的斜率。因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：假設(shè)延續(xù)曲線拉格朗日中值定理的幾何意義是：假設(shè)延續(xù)曲線 的弧的弧 上除端點上除端點外處處具有不垂直于外處處具有不垂直于 軸的切線，那么該弧上至少有一點軸的切線，那么該弧上至少有一點 ，使曲線在，使曲線在 點處的切線平行于弦點處的切線平行于弦 。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形。種特殊情形。 拉格朗日中值定理圖形直觀表示拉格朗日中值定理圖形直觀表示( , )a b( , )a b3.柯西中值定理柯

13、西中值定理 前面曾經(jīng)指出，假設(shè)延續(xù)曲線弧前面曾經(jīng)指出，假設(shè)延續(xù)曲線弧 上除端點外處處具有不垂直于橫軸上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點的切線，那么這段弧上至少有一點 ，使曲線在點，使曲線在點 處的切線平行于弦處的切線平行于弦 。設(shè)。設(shè) 由參數(shù)方程由參數(shù)方程表示，如下圖。其中表示，如下圖。其中 為參數(shù)，那么曲線上點為參數(shù)，那么曲線上點 處的切線的斜率為處的切線的斜率為弦弦 的斜率為的斜率為 假定點假定點 對應于參數(shù)對應于參數(shù) ，那么曲線上點，那么曲線上點 處的切線平行于弦處的切線平行于弦 ，可表示，可表示為為 柯西中值定理圖柯西中值定理圖形直觀表示形直觀表示7.5 洛必

14、達法那么 1. 1. 型洛必達法那么型洛必達法那么假設(shè)當假設(shè)當 時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù) 與與 都區(qū)域零或趨于無窮大，那都區(qū)域零或趨于無窮大，那么極限么極限能夠存在，也能夠不存在。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為能夠存在，也能夠不存在。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為 或或 。關(guān)于未定式極限我們通常運用洛必達法。關(guān)于未定式極限我們通常運用洛必達法LHospitalLHospital那么求解那么求解，本小節(jié)先引見，本小節(jié)先引見 和和 時的時的 型未定式的求解方法。型未定式的求解方法。這里不加證明的給出如下兩個定理：這里不加證明的給出如下兩個定理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與與 滿足：滿足：當當

15、時，函數(shù)時，函數(shù) 與與 都趨于無窮大；都趨于無窮大；在點在點 的某去心鄰域內(nèi)，的某去心鄰域內(nèi)， 與與 都存在且都存在且 ； 存在或為無窮大，存在或為無窮大，那么那么2. 2. 型洛必達法那么型洛必達法那么 下面我們著重引見下面我們著重引見 型的洛必達法那么，現(xiàn)實上，這種方式的型的洛必達法那么，現(xiàn)實上，這種方式的洛必達法那么在實踐中用的洛必達法那么在實踐中用的 較多，而且較多，而且 型也可以由型也可以由 型變換得到，關(guān)于該種類型的洛必達法那型變換得到，關(guān)于該種類型的洛必達法那么同樣有以下兩個定理：么同樣有以下兩個定理： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與與 滿足：滿足：當當 時，函數(shù)時，函數(shù) 與與 都趨于零；都趨

16、于零；在點在點 的某去心鄰域內(nèi)，的某去心鄰域內(nèi)， 與與 都存在且都存在且 ； 存在或為無窮大，存在或為無窮大，那么那么7.6 泰勒公式 泰勒Taylor中值定理：假設(shè)函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階的導數(shù)，那么對任一 ，有 其中這里 是 與 之間的某個值。 多項式 稱為函數(shù) 按 的冪展開的 次泰勒多項式，上述公式稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項的 階泰勒公式，而 稱為拉格朗日型余項。7.7 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性n函數(shù)單調(diào)性的斷定法函數(shù)單調(diào)性的斷定法n 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上延續(xù)，在上延續(xù)，在 內(nèi)可導，在內(nèi)可導，在 上任取兩點上任取兩點 ，運用拉格朗日中值定理，得到，運用拉

17、格朗日中值定理，得到n由于由于 ，因此，假設(shè)在，因此，假設(shè)在 內(nèi)導數(shù)內(nèi)導數(shù) 堅持正號，即堅持正號，即 ，那么也有那么也有 。n于是于是 n即即n闡明函數(shù)闡明函數(shù) 在在 上單調(diào)添加。同理，假設(shè)在上單調(diào)添加。同理，假設(shè)在 內(nèi)導數(shù)內(nèi)導數(shù) 堅持負號，即堅持負號，即 ，那么也有，那么也有 。于是。于是 ，即，即 ，闡明函數(shù)，闡明函數(shù) 在在 上單調(diào)減少。上單調(diào)減少。n 歸納以上討論，即得以下定理：設(shè)函數(shù)歸納以上討論，即得以下定理：設(shè)函數(shù) 在在 上延續(xù)，在上延續(xù)，在 內(nèi)可導，內(nèi)可導，n假設(shè)在假設(shè)在 內(nèi)內(nèi) ，那么函數(shù)，那么函數(shù) 在在 上單調(diào)添加；上單調(diào)添加；n假設(shè)在假設(shè)在 內(nèi)內(nèi) ，那么函數(shù)，那么函數(shù) 在在 上

18、單調(diào)減少。上單調(diào)減少。2.2.曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與拐點 我們從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，假設(shè)任取兩點，那么我們從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，假設(shè)任取兩點，那么結(jié)合這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有的曲線弧，那么結(jié)合這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有的曲線弧，那么正好相反。曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以正好相反。曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用結(jié)合曲線弧上恣意兩點的弦的中點與曲線弧上相應點即具有一樣橫用結(jié)合曲線弧上恣意兩點的弦的中點與曲線弧上相應點即具有一樣橫坐標的點的位置關(guān)系來描畫，下面給出曲線凹凸性的定義。

19、坐標的點的位置關(guān)系來描畫，下面給出曲線凹凸性的定義。 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)，假設(shè)對上延續(xù)，假設(shè)對 上恣意兩點上恣意兩點 ，恒有，恒有那么稱那么稱 在在 上的圖形是向上凹的或凹?。患僭O(shè)恒有上的圖形是向上凹的或凹??；假設(shè)恒有那么稱那么稱 在在 上的圖形是向上凸的或凸弧。上的圖形是向上凸的或凸弧。 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)具有二階導數(shù)，那么可以利用二內(nèi)具有二階導數(shù)，那么可以利用二階導數(shù)的符號來斷定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的斷定定階導數(shù)的符號來斷定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的斷定定理。這里僅就理。這里僅就 為閉區(qū)間的情形來表達曲線凹凸性的斷定定理，當為閉區(qū)間的情形

20、來表達曲線凹凸性的斷定定理，當 不是閉區(qū)間時，定理類同。不是閉區(qū)間時，定理類同。 設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)，在上延續(xù)，在 內(nèi)具有一階和二階內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么導數(shù)，那么假設(shè)在假設(shè)在 內(nèi)內(nèi) ，那么，那么 在在 上的圖形上的圖形是凹的；是凹的；假設(shè)在假設(shè)在 內(nèi)內(nèi) ，那么，那么 在在 上的圖形上的圖形是凸的。是凸的。 普通的，設(shè)普通的，設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)，上延續(xù)， 是是 的的內(nèi)點，假設(shè)曲線內(nèi)點，假設(shè)曲線 在經(jīng)過點在經(jīng)過點 時，曲線的凹時，曲線的凹凸性改動了，那么就稱點凸性改動了，那么就稱點 為曲線的拐點。為曲線的拐點。7.8 函數(shù)的極值與最值1.1.函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法

21、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)有定義，假設(shè)對于去心鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)對于去心鄰域 內(nèi)的任一內(nèi)的任一 ，有，有那么就稱那么就稱 是函數(shù)是函數(shù) 的一個極大值或極小值。的一個極大值或極小值。 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)獲得極值的點稱函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)獲得極值的點稱為極值點。下面給出可導函數(shù)獲得極值的必要條件和充分條件：為極值點。下面給出可導函數(shù)獲得極值的必要條件和充分條件：必要條件：設(shè)函數(shù)必要條件：設(shè)函數(shù) 在點在點 處可導，且在處可導，且在 處獲得極值，那么處獲得極值，那么 。第一充分條件：設(shè)函數(shù)第一充分條件：設(shè)函數(shù) 在點在點 處延續(xù)，且在

22、處延續(xù)，且在 的某去心鄰域的某去心鄰域 內(nèi)可導，內(nèi)可導，假設(shè)假設(shè) 時，時， ，而在，而在 時，時， ，那么，那么 在點在點 處獲得極大值；處獲得極大值；假設(shè)假設(shè) 時，時， ，而在，而在 時，時， ，那么，那么 在點在點 處獲得極小值；處獲得極小值；假設(shè)假設(shè) 時，時， 的符號堅持不變，那么的符號堅持不變，那么 在在 處沒有極值。處沒有極值。 第二充分條件：設(shè)函數(shù)第二充分條件：設(shè)函數(shù) 在點在點 處具有二階導數(shù)，且處具有二階導數(shù)，且 ， ，那么，那么當當 時，函數(shù)時，函數(shù) 在在 處獲得極大值；處獲得極大值；當當 時，函數(shù)時，函數(shù) 在在 處獲得極小值。處獲得極小值。2.2.最大值最小值問題最大值最小值

23、問題 在求函數(shù)的最大值或最小值時，特別值得指出的是下述情：在求函數(shù)的最大值或最小值時，特別值得指出的是下述情： 在一個區(qū)間有限或無限、開或閉內(nèi)可導且只需一個駐點，并在一個區(qū)間有限或無限、開或閉內(nèi)可導且只需一個駐點，并且這個駐點且這個駐點 是函數(shù)是函數(shù) 的極值點，那么，當?shù)臉O值點，那么，當 是極大值時，是極大值時， 就是就是 在該區(qū)間上的最大值；當在該區(qū)間上的最大值；當 是極小值時，是極小值時， 就是就是 在該在該區(qū)間上的最小值。區(qū)間上的最小值。7.9 曲線的漸近線 假設(shè)存在直線 ，使得當 時，曲線 上的動點 到直線 的間隔 ，那么稱 為曲線 的漸近線。 漸近線通常有以下三種：程度漸近線：假設(shè)函

24、數(shù) 的定義域是無限區(qū)間，且 ，其中 為常數(shù)，那么直線 為曲線 的程度漸近線；垂直漸近線：假設(shè)存在常數(shù) ，使得 ，那么稱直線 為曲線 的垂直漸近線；斜漸近線：假設(shè) 成立，那么稱 是曲線 的斜漸近線，可以證明： 7.10 曲率1.1.弧微分弧微分 函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)具有延續(xù)導數(shù)。在曲線內(nèi)具有延續(xù)導數(shù)。在曲線 上取固定點上取固定點 作為度量弧長的基點如下圖，并規(guī)定依作為度量弧長的基點如下圖，并規(guī)定依 增大的方向作為曲線的正增大的方向作為曲線的正向。對曲線上任一點向。對曲線上任一點 ，規(guī)定有向弧段，規(guī)定有向弧段 的值的值 簡稱為弧簡稱為弧 如如下：下： 的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的絕

25、對值等于這弧段的長度，當有向弧段 的方向與曲線的正向的方向與曲線的正向一致時一致時 ，相反時，相反時 。顯然，弧。顯然，弧 與與 存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系 ，而且，而且 為為 的單調(diào)添加函數(shù)。而且我們可以求得的單調(diào)添加函數(shù)。而且我們可以求得 這就是弧微這就是弧微分公式。分公式。 圖圖 弧微分求解表示圖弧微分求解表示圖2.2.曲率及其計算公式曲率及其計算公式 在實踐中，我們通常運用曲率來描畫曲線的彎曲程度。在實踐中，我們通常運用曲率來描畫曲線的彎曲程度。 設(shè)曲線設(shè)曲線 是光滑的，在曲線是光滑的，在曲線 上選定一點上選定一點 作為度量弧作為度量弧 的基點。的基點。設(shè)曲線上點設(shè)曲線上點 對應于弧對應

26、于弧 ，在點，在點 處切線的傾角為處切線的傾角為 這里假定曲線這里假定曲線 所所在的平面上已設(shè)定了在的平面上已設(shè)定了 坐標系，曲線上另外一點坐標系，曲線上另外一點 對應于弧對應于弧 ，在點在點 處切線的傾角為處切線的傾角為 ，如下圖，那么，弧段，如下圖，那么，弧段 的長度為的長度為 ，當動點從，當動點從 挪動到挪動到 時切線轉(zhuǎn)過的角度為時切線轉(zhuǎn)過的角度為 。 我們用比值我們用比值 ，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段 的平均彎曲程度的平均彎曲程度，把該比值叫做弧段，把該比值叫做弧段 的平均曲率，并記作的平均曲率，并記作 ，即，即 當當 時即時

27、即 時，上述平均曲率的極限叫做曲線時，上述平均曲率的極限叫做曲線 在點在點 處的曲率，記作處的曲率，記作 ，即，即 曲率推導表示圖曲率推導表示圖 對于直線來說，切線與直線本身重合，當點沿直線挪動時，切線的傾角 不變， ，從而 。這就是說，直線上恣意點 處的曲率都等于零，這與我 們直覺認識到的“直線不彎曲一致。 對于半徑為 的圓，其上點 、 處的切線所夾的角 等于中心角 為圓心，又 ，于是 從而 ，即圓上各點處的曲率都等于半徑 的倒數(shù) ，這就是說，圓的彎曲程度四處一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲得越厲害。 下面不加證明地給出曲線 上恣意點的實踐計算曲率的公式，如下：假設(shè)曲線由參數(shù)方程給出，那么

28、可利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法，求出 及 ，代入曲率公式有3222( )( )( )( )( )( )ttttKtt3.3.曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線設(shè)曲線 在點在點 處的曲率為處的曲率為 ，在點，在點 處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點一點 ，使，使 ，以，以 為圓心，為圓心， 為半徑作圓，如圖為半徑作圓，如圖1 1所示，這個圓叫做曲線在點所示，這個圓叫做曲線在點 處的曲率圓，曲率圓的圓心處的曲率圓，曲率圓的圓心 叫做曲線在點叫做曲線在點 處的曲率中心，曲率處的曲率中心，曲率圓的半徑圓的半徑 叫做曲線在點叫做曲線在點 處的曲率半徑。處的曲率半徑

29、。 圖圖1 1 曲率圓表示圖曲率圓表示圖 設(shè)知曲線的方程是設(shè)知曲線的方程是 ，且其二階導數(shù)，且其二階導數(shù) 在點在點 不為零，那么曲不為零，那么曲線在對應點線在對應點 的曲率中心的曲率中心 的的坐標為的的坐標為 當點 沿曲線 挪動時，相應的曲率中心 的軌跡曲線 稱為曲線 的漸屈線，而曲線 稱為曲線 的漸伸線，如圖2所示。所以曲線 的漸屈線的參數(shù)方程為 其中 ， 為參數(shù)，直角坐標系 與 坐標系重合。 圖2 曲線的漸屈線表示圖7.11 方程的近似解1.1.隔根區(qū)間隔根區(qū)間 在用近似方法求方程的根時，需求知道方程的根所在的區(qū)間。假設(shè)在用近似方法求方程的根時，需求知道方程的根所在的區(qū)間。假設(shè)在區(qū)間在區(qū)間

30、 內(nèi)只需函數(shù)內(nèi)只需函數(shù) 的一個零點，那么稱區(qū)間的一個零點，那么稱區(qū)間 為方程為方程 的的一個隔根區(qū)間。通常我們可以用逐漸掃描法來尋覓方程一個隔根區(qū)間。通常我們可以用逐漸掃描法來尋覓方程 的隔根區(qū)的隔根區(qū)間。逐漸掃描法的普通執(zhí)行流程如下圖。間。逐漸掃描法的普通執(zhí)行流程如下圖。 圖圖 隔根區(qū)間的搜索流程隔根區(qū)間的搜索流程2.二分法及其二分法及其MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn) 在求方程近似根的一切方法中，二分法是非線性方程求解最直觀、最在求方程近似根的一切方法中，二分法是非線性方程求解最直觀、最簡單的方法。它是經(jīng)過將非線性方程簡單的方法。它是經(jīng)過將非線性方程 的零點所在小區(qū)間逐次收縮一半的零點所在小區(qū)間逐次收

31、縮一半，使區(qū)間的兩個端點逐漸逼近函數(shù)的零點，以求得函數(shù)零點的近似值的，使區(qū)間的兩個端點逐漸逼近函數(shù)的零點，以求得函數(shù)零點的近似值的方法。二分法是以延續(xù)函數(shù)的介值定理為根底建立的。由介值定理可知方法。二分法是以延續(xù)函數(shù)的介值定理為根底建立的。由介值定理可知，假設(shè)函數(shù)，假設(shè)函數(shù) 在在 上延續(xù)且上延續(xù)且 ，在方程，在方程 在在 上必有一根上必有一根 。 為表達方便，記為表達方便，記 ，用中點，用中點 將區(qū)間將區(qū)間 分成分成2個小區(qū)間個小區(qū)間 和和 ，計算，計算 。假設(shè)。假設(shè) ，那么，那么 就是方程的解；否那么，就是方程的解；否那么， 與與 有且僅有且僅有一式成立，假設(shè)有一式成立，假設(shè) ，令，令 ，

32、；假設(shè)；假設(shè) ，那么令，那么令 。于。于是有是有 ，因此，因此 為新的有根區(qū)間且為新的有根區(qū)間且 的長度為的長度為 長度的一半，對新的區(qū)長度的一半，對新的區(qū)間執(zhí)行一樣的操作可以得到一系列有根區(qū)間間執(zhí)行一樣的操作可以得到一系列有根區(qū)間 圖圖1給出了二分法的幾何意義。給出了二分法的幾何意義。 圖圖1 二分法幾何意義二分法幾何意義 由圖1可知，二分法每一步執(zhí)行的操作就是將有根區(qū)間一分為二，直至所求得的根到達所要求的精度為止，其執(zhí)行流程如圖2所示。 圖2 二分法執(zhí)行流程3. 3. 牛頓法及其牛頓法及其MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn) 對于方程對于方程 ，假設(shè)，假設(shè) 是線性函數(shù)，那么它的求根是容易的。是線性函數(shù)，那么它的求根是容易的。牛頓法本質(zhì)上就是一種線性化方法，其根本思想是將非線性方程牛頓法本質(zhì)上就是一種線性化方法，其根本思想是將非線性方程 逐漸歸結(jié)為某種線性方程來求解。逐漸歸結(jié)為某種線性方程來求解。 設(shè)方程設(shè)方程 有近似根有近似根 ，將函數(shù)，將函數(shù) 在點在點 處展開，那么有處展