重慶大學(xué)數(shù)學(xué)實驗微分方程模型求解及穩(wěn)定性分析參考答案

1、開課學(xué)院、試驗室 ：ds1401試驗時間 ：2021 年 4 月 10 日課程數(shù)學(xué)試驗試驗項目名稱名稱指導(dǎo)何仁斌成績老師微分方程模型、求解及穩(wěn)固性分析試驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他試驗?zāi)康? 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程 組 的基本原理和方法；2 把握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會用圖形觀看解的形狀和進(jìn)行解的定性分析；3 熟識 matlab軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求解全過程；基礎(chǔ)試驗一、試驗內(nèi)容1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3 直接使用matlab命令對微分方程 組 進(jìn)行求解 包括解析解、數(shù)值解

2、 ；4 利用圖形對解的特點作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并明白建立數(shù)學(xué)模型的全過程；二、試驗過程 （一般應(yīng)包括試驗原理或問題分析，算法設(shè)計、程序、運算、圖表等，試驗結(jié)果及分析）1求微分方程的解析解,并畫出它們的圖形，y= y + 2 x,y0 = 1, 0<x<1;解： 1）求解析解的程序設(shè)計：y=dsolve'dy=y+2*x', 'y0=1', 'x' prettyy% 按手寫方式輸出得解析式為：-2 - 2 x + 3 expx2畫圖程序： x=0:.1:1;y=-2-2*x+3*expx; plotx,yxlab

3、el'x',ylabel'y',title'y=-2 - 2 x + 3 expx'% 標(biāo)注圖形：y=-2 - 2 x + 3 expx4.543.53y2.521.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy+ycos x = 0,y0=1,y0=0;解： 1）求解析解的程序設(shè)計：y=dsolve'd2y+y*cosx=0', 'y0=1,dy0=0', 'x' prettyy%按手寫方式輸出得解析式為：mathieuc0, -2, 1/2 x2畫圖程序：2用向前歐拉公式和改

4、進(jìn)的歐拉公式求方程y= y - 2x/ y,y0 = 1 0x 1,h = 0.1的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的運算結(jié)果，說明白什么問題？解： 1）程序： x11=0;y11=1;y21=1;h=0.1;fork=1:10 x1k+1=x1k+h;y1k+1=y1k+h*y1k-2*x1k/y1k;%向前歐拉y2k+1=y2k+h/2*y2k-2*x1k/y2k+y2k+h*y2k-2*x1k/y2k-2*x1k+1/ y2k+h*y2k-2*x1k/y2k;%改進(jìn)歐拉end x1,y1,y2 x=0:0.1:1;y=1+2*x.1/2%解析解plotx,y,x1,y1,'g

5、-',x1,y2,'r-'legend'.a.a. ú .', '. ò .° .·à -. ú .,.''. ·à -. ú .' xlabel'x',ylabel'y'gridon結(jié)果：x1 =%在自變量的取值00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y1 =%向前歐拉的值1.00001.10001.19181.2774

6、1.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y2 =%改進(jìn)向前歐拉1.00001.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61651.67821.7379y =%解析解的值1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321圖像 :1.81.7解 析 解 曲 線向 前 歐 拉 曲 線改 進(jìn) 歐 拉 曲 線1.61.5y1.41.31.21.1100.10.20.30.40.50.60.70.80.91x說明：改進(jìn)歐拉法的解比向前歐拉

7、得到的解更加接近于解析解（即精確解）；3rossler微分方程組：x'yy'xz'bz ayz xc當(dāng)固定參數(shù)b=2, c=4 時，試爭論隨參數(shù)a 由小到大變化（如a0,0.65而方程解的變化情形，并且畫出空間曲線圖形，觀看空間曲線是否形成混沌狀？解：編寫解方程組程序：（ 1） a=0x （紅），y （綠），z （藍(lán)）隨t 變化情況相圖0.60.40.80.20-0.20.6z0.4-0.40.2-0.6-0.8-1050100150200t00-0.5y0-1-0.5x0.5（2 ） a=0.05x （ 紅 ） ， y （ 綠 ） ， z （ 藍(lán) ） 隨 t 變 化

8、情 況相 圖0.60.40.20-0.20.80.6z0.40.2-0.4-0.6-0.8-1（ 3） a=0.1050100150200t00-0.5y0-1-0.5x0.5x （紅 ） ，y （綠 ） ，z （ 藍(lán)） 隨 t 變 化 情況相圖0.60.40.20-0.20.80.6z0.4-0.40.2-0.6-0.8-1050100150200t00-0.5y0-1-0.510.5x（ 4） a=0.15x （ 紅） ， y （ 綠 ）， z （ 藍(lán) ）隨 t 變 化情 況相 圖21.510.50-0.510.80.6z0.40.2-1-1.5-2-2.5050100150200t020

9、2-20y-4-2x（ 5） a=0.2x （紅），y （綠），z （藍(lán)）隨t 變化情況相圖43221.51z100.5-1-2-3-4050100150200t0250-20y-4-5x（ 6） a=0.25x （ 紅） ， y （ 綠 ）， z （ 藍(lán) ）隨 t 變 化情 況相 圖432.52211.5z01-10.5-2-3-4050100150200t05500y-5-5x（ 7） a=0.3x （ 紅） ， y （ 綠 ）， z （ 藍(lán) ）隨 t 變 化情 況相 圖54332.5221z1.501-10.5-20-3-4-5050100150200t5500y-5-5x（ 8） a=

10、0.35x （ 紅） ， y （ 綠 ）， z （ 藍(lán) ）隨 t 變 化情 況相 圖54352413z02-11-2-3-4-5（ 9） a=0.4050100150200t05500y-5-5xx （ 紅 ） ， y （ 綠 ） ， z （ 藍(lán) ） 隨 t 變 化 情 況相 圖646524z302-2-4-6050100150200t1050105-50y-10-5x（ 10） a=0.45x （ 紅 ） ， y （ 綠 ） ， z （ 藍(lán) ） 隨 t 變 化 情 況相 圖108106846z2402-2-4-6050100150200t050105-50y-10-5x（ 11） a=0.5

11、x （紅），y （綠），z （藍(lán)）隨t 變化情況相圖121012810684z62402-20-45-6-8050100150200t1005-50y-10-5x（ 12） a=0.55x （ 紅） ， y （ 綠 ）， z （ 藍(lán) ）隨 t 變 化情 況相 圖2015201015z10550-5-10050100150200t050105-50y-10-5x當(dāng) a=0.05 時， x， y，z 分別收斂于0 ，-0.5 ， 0.5當(dāng) a=0.1 時，仍舊收斂于上述三個值當(dāng) a>0.15 時, 可以看到圖像逐步發(fā)散，并且隨著a 值的變大，顯現(xiàn)周期性的振蕩；從右邊的相圖可以觀察，當(dāng)a 增大

12、時，單個極限環(huán)的穩(wěn)固性逐步失去，進(jìn)入其次周期極限環(huán)，當(dāng)a 值連續(xù)變大時， 其次周期的極限環(huán)的穩(wěn)固性也失去，當(dāng) a 始終變大時， 任意周期的極限環(huán)都將失去其穩(wěn)固性， 這就是產(chǎn)生混沌的必要條件；4.apollo衛(wèi)星的運動軌跡的繪制x2yx1 x xr 3r 31 ,y2xy12,1 yy33r1r21/ 82.45,11,rx2y2 ,rx2y2121x01.2, x00, y00, y01.049357514. 解：第一創(chuàng)建一個m文件如下：然后，繪圖程序如下：functiondx=appollot,x mu=1/82.45;mustar=1-mu; r1=sqrtx1+mu2+x32;r2=sq

13、rtx1-mustar2+x32; dx=x22*x4+x1-mustar*x1+mu/r13-mu*x1-mustar/r23 x4-2*x2+x3-mustar*x3/r13-mu*x3/r23;x0=1.2;0;0;-1.04935751;%x0i 對應(yīng)于 xi 的初值 %options=odeset'reltol',1e-8; tict,y=ode45appollo,0,20,x0,options;%t 是時間點， y 的第 i列對應(yīng) xi 的值， t 與y 行數(shù)相同 %tocploty:,1,y:,3% 繪制 x1 與x3 ，即 x 和y 圖形 % title 

14、9;appollo衛(wèi)星運動軌跡 'xlabel 'x' ylabel 'y' elapsed timeis 0.597879seconds最終得到如下軌跡圖形年appollo衛(wèi) 星 運 動 軌 跡0.80.60.40.2y0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.5-1-0.500.511.5x應(yīng)用試驗（或綜合試驗）一、試驗內(nèi)容鹽水的混合問題一個圓柱形的容器，內(nèi)裝350 升的勻稱混合的鹽水溶液；假如純水以每秒14 升的速度淡定器頂部流入，同時，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5 升的速度淡定器底部流出；開頭時，容器內(nèi)鹽的含量為7 千克；求經(jīng)過時間t 后容器內(nèi)鹽的含量；二、問題分析由于容器的容積相對于單位時間內(nèi)水的體積變化來說很大，所以可以忽視溶質(zhì)鹽在在不同濃度的水內(nèi)擴(kuò)散至勻稱的時間；依據(jù)在每個微小的時間段內(nèi)，削減的鹽加上容器內(nèi)剩余的鹽等于開頭的鹽量建立方程；三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解 一般應(yīng)包括模型、求解步驟或思路，程序放在后面的附錄中假設(shè)容器內(nèi)鹽的含量在每一時刻都是勻稱的，記