高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征課件 新人教B版必修2

1、1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征第一章1.1空間幾何體學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的多面體.2.認(rèn)識(shí)和把握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征.3.了解多面體可按哪些不同的標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，可以分成哪些類(lèi)別題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考知識(shí)點(diǎn)一多面體多面體是如何定義的？能指出它們的側(cè)面、底面、側(cè)棱、頂點(diǎn)嗎？答案答案答案多面體是由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱和棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)多面體的有關(guān)概念(1)多面體：由若干個(gè) 所圍成的幾何體(2)多面體的相關(guān)概念面：圍成多面體的 棱：相鄰的兩個(gè)面的 頂點(diǎn)：棱

2、和棱的 梳理梳理平面多邊形各個(gè)多邊形公共邊公共點(diǎn)對(duì)角線(xiàn)：連接 的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段截面：一個(gè)幾何體和一個(gè)平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)(3)凸多面體：把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面 ，則這樣的多面體就叫做凸多面體不在同一個(gè)面上都在這個(gè)平面的同一側(cè)思考知識(shí)點(diǎn)二棱柱觀(guān)察下列兩個(gè)棱柱，你認(rèn)為棱柱應(yīng)具有怎樣的共同特征？如何表示這兩個(gè)棱柱？答案答案答案共同特征：有兩個(gè)面互相平行；夾在這兩個(gè)平行平面間的每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都互相平行表示方法：(1)棱柱abcdeabcde.(2)棱柱abcdabcd.梳理梳理(1)棱柱的定義及表示名稱(chēng)棱柱特征性質(zhì)或定義條件：有兩個(gè) 的面；夾在這兩個(gè)

3、平行平面間的 都互相平行互相平行每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)圖形表示及相關(guān)名稱(chēng)棱柱 (或棱柱 )abcdeabcdeac(2)棱柱的分類(lèi)按底面多邊形的邊數(shù)按側(cè)棱與底面是否垂直特殊的四棱柱思考知識(shí)點(diǎn)三棱錐觀(guān)察下列多面體，有什么共同特點(diǎn)？答案答案答案(1)有一個(gè)面是多邊形；(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形梳理梳理(1)棱錐的定義及表示名稱(chēng)棱錐特征性質(zhì)或定義條件：有一個(gè)面是 ；其余各面都是 的三角形多邊形有一個(gè)公共頂點(diǎn)圖形表示及相關(guān)名稱(chēng)棱錐 (或棱錐 )sabcdsac(2)棱錐的分類(lèi)按底面多邊形的邊數(shù)特殊的棱錐正棱錐底面是 ,頂點(diǎn)在 的直線(xiàn)上過(guò)底面中心，且與底面垂直正多邊形知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái)思考觀(guān)察下列多

4、面體，分析其與棱錐有何區(qū)別與聯(lián)系？答案答案(1)區(qū)別：有兩個(gè)面相互平行(2)聯(lián)系：用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，其底面和截面之間的部分即為該幾何體答案梳理梳理(1)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及分類(lèi)名稱(chēng)定義圖形及表示相關(guān)概念分類(lèi)棱臺(tái)棱錐被_ 所截，截面和底面間的部分叫做棱臺(tái)如圖可記作：棱臺(tái) 或棱臺(tái)_上底面：原棱錐的 下底面：原棱錐的 側(cè)面：其他各面?zhèn)壤猓合噜弮蓚?cè)面的公共邊高：兩底面間的距離由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)底面的平面平行于abcdabcdac截面底面(2)特殊的棱臺(tái)正棱臺(tái)：由 截得的棱臺(tái)正棱錐題型探究例例1 (1)下列命題中正確的是a.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面

5、互相平行b.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面c.在平行六面體中，任意兩個(gè)相對(duì)的面均互相平行，但平行六面體的任 意兩個(gè)相對(duì)的面不一定可當(dāng)作它的底面d.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形類(lèi)型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)概念答案解解析析正四棱柱中兩個(gè)相對(duì)側(cè)面互相平行，故b錯(cuò)；平行六面體的任意兩個(gè)相對(duì)面可作底面，故c錯(cuò)；棱柱的底面可以是平行四邊形，故d錯(cuò).解析(2)下列說(shuō)法正確的序號(hào)是_.棱錐的側(cè)面不一定是三角形；棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)一定相等；棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)；有兩個(gè)面互相平行且相似，其余各面都是梯形，則此幾何體是棱臺(tái).解解析析棱錐的側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形，但是各側(cè)棱不一

6、定相等，故不正確；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐底面得到的，故各個(gè)側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)一定交于一點(diǎn)，正確；棱臺(tái)的各條側(cè)棱必須交于一點(diǎn)，故不正確.解析答案棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有兩個(gè)面互相平行，二是各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形.(2)棱錐有兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：一是有一個(gè)面是多邊形，二是其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.(3)棱臺(tái)的上、下底面平行且相似，各側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題：各側(cè)面為矩形的棱柱是長(zhǎng)方體；直四棱柱是長(zhǎng)方體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱；各側(cè)面是矩形的直四棱柱為正四棱柱.其中正確的是_.(填序號(hào))答案解解

7、析析中一定為直棱柱但不一定是長(zhǎng)方體；直四棱柱的底面可以是任意的四邊形，不一定是矩形；符合直棱柱的定義；中的棱柱為一般直棱柱，它的底面不一定為正方形.解析(2)下列命題：各個(gè)側(cè)面是等腰三角形的四棱錐是正四棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；棱錐的所有側(cè)面可以都是直角三角形；四棱錐的側(cè)面中最多有四個(gè)直角三角形；棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.其中正確的命題有_.(填序號(hào))答案解析解解析析在四棱錐pabcd中，papbpcpd，底面abcd為矩形，但不一定是正方形，這樣的棱錐就不是正四棱錐，因此錯(cuò)誤；底面是正多邊形，但側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，這樣的棱錐也不一定是正棱錐，故錯(cuò)誤；在三棱錐pabc中，pa垂直于平面ab

8、c，abc90，則此三棱錐的所有側(cè)面都是直角三角形，故正確；在四棱錐pabcd中，pa垂直于平面abcd，四邊形abcd為矩形，故正確；棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)不一定都相等，故錯(cuò)誤.例例2正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為2 ，求正三棱錐的高.類(lèi)型二簡(jiǎn)單幾何體中的計(jì)算問(wèn)題解答解解作出正三棱錐如圖，so為其高，連接ao，作odab于點(diǎn)d，則點(diǎn)d為ab的中點(diǎn).在rtado中解答解解作出正三棱錐如圖，取ab的中點(diǎn)e，連接se，引申探究引申探究1.若本例條件不變，求正三棱錐的斜高.解答解解如圖，在正四棱錐sabcd中，abbccdda3，2.若將本例中“正三棱錐”改為“正四棱錐”，其他條件不變，求正四棱錐的高.(1

9、)正棱錐中直角三角形的應(yīng)用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高為po，底面為正方形，作pecd于點(diǎn)e，則pe為斜高.斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角三角形，如圖中rtpec；斜高、高構(gòu)成直角三角形，如圖中rtpoe；側(cè)棱、高構(gòu)成直角三角形，如圖中rtpoc.反思與感悟(2)正棱臺(tái)中直角梯形的應(yīng)用已知正棱臺(tái)如圖(以正四棱臺(tái)為例)，o1，o分別為上，下底面中心，作o1e1b1c1于點(diǎn)e1，oebc于點(diǎn)e，則e1e為斜高.斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形e1ecc1；斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形o1e1eo；高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形o1occ1.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2已知正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為

10、4、16，一側(cè)面面積為12，分別求該棱臺(tái)的斜高、高、側(cè)棱長(zhǎng).解答解解如圖，設(shè)o，o分別為上、下底面的中心，即oo為正四棱臺(tái)的高，e，f分別為bc，bc的中點(diǎn)，efbc，即ef為斜高.由上底面面積為4，上底面為正方形，可得 bc2；同理，bc4.四邊形bccb的面積為12, 過(guò)b作bhbc交bc于h，則bhbfbe211，bhef4.例例3如圖，在側(cè)棱長(zhǎng)為2 的正三棱錐vabc中，avbbvccva40，過(guò)點(diǎn)a作截面aef，求截面aef周長(zhǎng)的最小值.類(lèi)型三多面體的展開(kāi)圖解答解解沿著側(cè)棱va把正三棱錐vabc展開(kāi)在一個(gè)平面內(nèi)，如圖.則aa的長(zhǎng)即為截面aef周長(zhǎng)的最小值，且ava340120.故截面

11、aef周長(zhǎng)的最小值為6.求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離(1)將幾何體沿著某棱剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面展開(kāi)圖.(2)將所求曲線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線(xiàn)段問(wèn)題.(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正三棱柱abca1b1c1中，ab2，aa12，由頂點(diǎn)b沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過(guò)棱aa1)到達(dá)頂點(diǎn)c1，與aa1的交點(diǎn)記為m，則從點(diǎn)b經(jīng)點(diǎn)m到c1的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為解析答案解解析析沿側(cè)棱bb1將正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)矩形bb1b1b(如圖).由側(cè)面展開(kāi)圖可知，當(dāng)b，m，c1三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，從點(diǎn)b經(jīng)過(guò)m到達(dá)c1的路線(xiàn)最短.當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列說(shuō)法中正確的是a.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形b

12、.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)c.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高d.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形答案23451解析23451解解析析a正確；由棱臺(tái)的定義知其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)，故b錯(cuò)；立在一起的一摞書(shū)可以看成一個(gè)四棱柱，當(dāng)把這摞書(shū)推傾斜時(shí)，它的側(cè)棱就不是棱柱的高，故c錯(cuò)；由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形.但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故d錯(cuò).2.下列說(shuō)法中，正確的是a.有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這 些面所圍成的幾何體是棱錐b.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)c.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而

13、底面不是平行四邊形d.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形答案23451解解析析b錯(cuò)，截面與底面平行時(shí)才能得棱臺(tái)；c錯(cuò)，棱柱底面可能是平行四邊形；d錯(cuò)，棱柱側(cè)面的平行四邊形不一定全等，如長(zhǎng)方體.解析3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是a.多面體至少有四個(gè)面b.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形c.長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱d.三棱柱的側(cè)面為三角形答案23451解解析析由于三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，故d錯(cuò).解析4.正四棱錐sabcd的所有棱長(zhǎng)都等于a，過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱作截面sac，則截面面積為_(kāi).答案23451解析則有sa2sc2ac2，asc90.5.對(duì)棱柱而言，下列說(shuō)法正確的是_.(填序號(hào))有

14、兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形；所有的棱長(zhǎng)都相等；棱柱中至少有2個(gè)面的形狀完全相同；相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)叫做側(cè)棱.解析解析解析正確，根據(jù)棱柱的定義可知；錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面上棱長(zhǎng)不一定相等；正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個(gè)底面一定是全等的，棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；錯(cuò)誤，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面的交線(xiàn)不是側(cè)棱.23451答案規(guī)律與方法1.在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀.2.(1)各種棱柱之間的關(guān)系棱柱的分類(lèi)常見(jiàn)的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見(jiàn)下表：名稱(chēng)底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€(gè)多邊形平行四邊形平行且相等 與底面全等直棱柱平行且全等的兩個(gè)多邊形矩形平行、相