第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 第一章第一章 , : 21uuu變變量量1. 增量的定義增量的定義增量可正可負(fù)增量可正可負(fù): , 0時時當(dāng)當(dāng) u , 121是增大的是增大的變到變到從從變量變量uuuuu , 0時時當(dāng)當(dāng) u 一、函數(shù)連續(xù)性的定義一、函數(shù)連續(xù)性的定義 . 121是減小的是減小的變到變到從從變量變量uuuuu . : 12uuuu 的的增增量量變變量量xy0 , : ),( 00 xxxxxfy 自變量自變量函數(shù)函數(shù)0 xxx 0)(xfy x y 從幾何上觀察從幾何上觀察:).(

2、)(00 xfxxfy , )( )( : 00 xxfxfy 函數(shù)值函數(shù)值函數(shù)增量函數(shù)增量: :).()(lim 00 xfxfxx . )( , )( 00連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)那那么么就就稱稱如如果果有有定定義義的的某某一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfyxxfy , 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()( 0 xfxfy 則則yxfxf )()( 0 0lim0 yx定義定義1.定義定義2:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(

3、0連續(xù)連續(xù)在在xxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)若若xy0f (x)0 x 0 x 0 xaxfxx )(lim0問題問題：函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0 0連續(xù)與連續(xù)與存在極限的區(qū)別存在極限的區(qū)別？1. x = x0必須取到必須取到2. a = f (x0)f (x0)f (x0)+ f (x0) 并且并且 a= f (x0)f (x)在在x0連續(xù)連續(xù) )()(lim00 xfxfxx )(0連續(xù)連續(xù)在在xxf函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 連續(xù)連續(xù),存在存在;有定義有定義,存在存在;必須具備

4、下列條件必須具備下列條件: :說明說明: :. 0 , 0, 0, 0,1sin)( 處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例例1.證證: , 01sinlim)(lim 00 xxxfxx,0)0( f又又.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim 0fxfx 3. 單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)(1) 左連續(xù)左連續(xù) . )( ),( )(lim)( 0000左連續(xù)左連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)如果如果xxfxfxfxfxx (2) 右連續(xù)右連續(xù) . )( ),()(lim)( 0000右連續(xù)右連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)如果如果xxfxfxfxfxx )()(lim )(000 xfx

5、fxxfxx 處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù))()()( 000 xfxfxf .00, 20, 2)(2的連續(xù)性的連續(xù)性處處在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例例2.解解:)2(lim)(lim)0( 00 xxffxx2 )2(lim)(lim)0(200 xxffxx2 .0)(處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf)0()0( ff)0(f .00,0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa例例3. .解解:xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0( af )0()0()0(fff 要使要使

6、,1時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上在區(qū)間上每一點(diǎn)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該或者說函數(shù)在該區(qū)間區(qū)間上連續(xù)上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)并并且且在在左左端端內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線是一條連續(xù)而不間斷的曲線.xy0)(xfy ab ;),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)

7、的有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間例例4. 有關(guān)有理函數(shù)的討論有關(guān)有理函數(shù)的討論.:)( )( )1(多項式多項式有理整函數(shù)有理整函數(shù)xf,r0 x ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有:)()( )( )2(xqxpxf 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù) , 0)( 0時時當(dāng)當(dāng) xq ),()(lim 00 xfxfxx 都有都有故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)故有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù).例例5.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證:),( xxxxysin)sin( 2sin)2cos(2xxx , 1| )2cos(| xx|2sin|2 | x

8、y )r( | sin . 0lim 0 yx故故.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy.),(cos 連續(xù)連續(xù)對任意對任意函數(shù)函數(shù) xxy. |2|2xx 同理同理,在在在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在

9、點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無定義無定義 ;例例6. . 1 11 2處處在在函數(shù)函數(shù) xxxy , 11 1 2無定義無定義處函數(shù)處函數(shù)在在 xxyx 11lim 21xxx但但, 2)1(lim1 xx. 1 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)故故 xxoy11. 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) (極限存在的間斷點(diǎn)極限存在的間斷點(diǎn)). 1 是是函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x例例7.00, 10, 0, 0, 1)(處處在在函數(shù)函數(shù) xxxxxxxf . 0 為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x2. 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) (單側(cè)極限存在但不相等的間斷

10、點(diǎn)單側(cè)極限存在但不相等的間斷點(diǎn))(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )0()0( ffoxy-113. 無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) (極限為無窮大的間斷點(diǎn)極限為無窮大的間斷點(diǎn))例例8. . 2 tan 處處在在正切函數(shù)正切函數(shù) xxyxxtanlim 2 , , tan 2 , 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是故故函函數(shù)數(shù)在在此此無無定定義義xx . tan 2 的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是xx xytan 2 xyo例例9.01sin)(處處在在函數(shù)函數(shù) xxxfxy1sin ,0)(處處沒沒有有定定義義在在 xxf).11(1sinlim0之間來

11、回振蕩之間來回振蕩和和在在不存在不存在且且 xx.0為為振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x4. 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): :)(0 xf及及)(0 xf中至少有一個不存在中至少有一個不存在 ,稱稱0 x若其中有一個為振蕩若其中有一個為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個為若其中有一個為, 為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn);為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).為為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn);為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn).,)1(1)( 2并并

12、判判斷斷其其類類型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)找找出出函函數(shù)數(shù) xxxxf例例10., 1 , 0)( 處處沒沒有有定定義義在在 xxf01)1(lim 20 xxxx. 1 , 0 均均為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x解解: : )1(1 lim 20 xxxx )1(1lim 21xxxxxxx1lim1 , 2 . 1 ,0 為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存

13、在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個不存在個不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價形式連續(xù)的等價形式1. f (x) . e11)( 1的間斷點(diǎn)的類型的間斷點(diǎn)的類型確定函數(shù)確定函數(shù)xxxf 1.解解: : . 1 ,0 xx間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)為)(lim0 xfx因為因為, ; 0為無窮間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn)所以所以 x, , . 1 為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)所以所以 x xxx1lim 1因為因為, 0)(lim 1 xfx所以所以 xxx1lim 1因為因為, 1)(lim 1 xfx所以所以思考題思考題: . , ),( 1lim)( 2212baxbxaxxxfnnn和和試確定常數(shù)試確定常數(shù)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 2解解: : , 1 時時當(dāng)當(dāng) x1lim)(2212 nn