第16章 期權(quán)定價(jià)

1、第l6章期權(quán)定價(jià)隨著資本市場(chǎng)的發(fā)展，金融衍生工具越來(lái)越被廣泛應(yīng)用于套期保值、投機(jī)和套利。尤其是l973年期權(quán)定價(jià)公式首次在政治經(jīng)濟(jì)雜志(Journal ofPolitical Economy)發(fā)表之后，芝加哥期權(quán)交易所的交易商們很快將其程序化輸入計(jì)算機(jī)，應(yīng)用于剛剛營(yíng)業(yè)的芝加哥期權(quán)交易所。如今該模型以及它的一些變形已被期權(quán)交易商、投資銀行、金融管理者、保險(xiǎn)人等廣泛使用。161節(jié)股票期權(quán)平價(jià)公式，介紹股票期權(quán)價(jià)格的影響因素，并基于無(wú)套利原理推導(dǎo)了股票期權(quán)的重要性質(zhì)平價(jià)公式。162節(jié)期權(quán)組合交易策略，介紹三種可供投資者選擇的期權(quán)組合交易策略，并給出了不同策略相應(yīng)的交易盈虧圖。分析如何運(yùn)用期權(quán)進(jìn)行套期

2、保值和套利。163節(jié)二項(xiàng)式定價(jià)模型，基于風(fēng)險(xiǎn)中性理論，給出二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型把股票價(jià)格在存續(xù)期內(nèi)看成是離散的，分成許多節(jié)點(diǎn)，模擬股票所有可能的發(fā)展路徑，然后每一路徑上每一節(jié)點(diǎn)用貼現(xiàn)法計(jì)算期權(quán)價(jià)格。164節(jié)布萊克一斯科爾斯公式，布萊克一斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型把股票價(jià)格看做連續(xù)變量、連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程，運(yùn)用偏微分方程計(jì)算出期權(quán)價(jià)格。自從2005年下半年以來(lái)，中國(guó)證券市場(chǎng)中出現(xiàn)了權(quán)證(股票期權(quán))，令人瞠目結(jié)舌的市場(chǎng)數(shù)據(jù)接連出現(xiàn)，寶鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證(看漲期權(quán))上市第一天即漲停，漲幅達(dá)8358，而在其交易截止日的前一天又下跌了8578；武鋼認(rèn)沽權(quán)證(看跌期權(quán))在交易截止日前漲幅最高接近了45

3、0；各種權(quán)證每日的換手率基本上都在100以上。并且相關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在權(quán)證交易過(guò)程中多數(shù)普通投資者大幅虧損，券商、QFII(境外合格機(jī)構(gòu)投資者)、基金和其他機(jī)構(gòu)投資者成為主要贏家。從初衷來(lái)看，設(shè)立權(quán)證主要是為股改服務(wù)，為無(wú)法以股份或現(xiàn)金支付對(duì)價(jià)的上市公司實(shí)施股權(quán)分置改革提供創(chuàng)新工具。但人們多數(shù)“只猜對(duì)了開(kāi)頭，卻猜不到結(jié)局”。權(quán)證固然促進(jìn)了股改，但同時(shí)也帶來(lái)了市場(chǎng)的爆炒和空前的投資氛圍。權(quán)證等衍生工具的出現(xiàn)是市場(chǎng)發(fā)展的必然趨勢(shì)，是對(duì)市場(chǎng)收益和風(fēng)險(xiǎn)的再衡量，巨大的杠桿效應(yīng)為部分風(fēng)險(xiǎn)承受能力較高的投資者提供交易機(jī)會(huì)，同時(shí)也為風(fēng)險(xiǎn)承受能力較低的投資者，提供對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)和套期保值的手段。161股票期權(quán)平價(jià)

4、公式在第12章已經(jīng)就期權(quán)的概念、分類(lèi)以及期權(quán)價(jià)值給出了較為詳細(xì)的介紹。這里僅以股票期權(quán)為例討論影響股票期權(quán)價(jià)格的因素，以及看漲一看跌平價(jià)公式。1611股票期權(quán)價(jià)格的影響因素股票期權(quán)(stock option)是指買(mǎi)方在交付了期權(quán)費(fèi)后，即取得在合約規(guī)定的到期日或到期日以前按協(xié)議價(jià)買(mǎi)入或賣(mài)出一定數(shù)量相關(guān)股票的權(quán)利。股票期權(quán)價(jià)格受到如下6個(gè)基本因素的影響，即股票現(xiàn)行價(jià)格S0、執(zhí)行價(jià)格K、期權(quán)期限、股票價(jià)格的波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和期權(quán)期限內(nèi)預(yù)期發(fā)放的股息(dividend payouts)。1股票現(xiàn)行價(jià)格S0隨著股票現(xiàn)行價(jià)格S0上升，看漲期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)的可能性越來(lái)越大，因此，看漲期權(quán)價(jià)格也將隨之上升，

5、即股票現(xiàn)行價(jià)格S0與看漲期權(quán)價(jià)格呈正相關(guān)關(guān)系。對(duì)于看跌期權(quán)造成的影響正好相反，股票現(xiàn)行價(jià)格s0與看跌期權(quán)價(jià)格呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，股票現(xiàn)行價(jià)格上升時(shí)，看跌期權(quán)價(jià)格下降。如圖l6-1所示。2。執(zhí)行價(jià)格K如果看漲期權(quán)在將來(lái)某一時(shí)刻行權(quán)，期權(quán)收益等于股票價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格的差額，即ST一K0執(zhí)行價(jià)格越高，期權(quán)收益越小，看漲期權(quán)的價(jià)格越小，也就是說(shuō)，看漲期權(quán)價(jià)格將隨著執(zhí)行價(jià)格上升而下降。對(duì)于看跌期權(quán)而言，產(chǎn)生的作用是正好相反的?？吹跈?quán)的價(jià)格將隨著執(zhí)行價(jià)格的上升而上升。如圖l6-2所示。3期權(quán)期限T一般而言，看漲和看跌期權(quán)都會(huì)從期權(quán)期限的增加中獲益。因?yàn)樵诟L(zhǎng)的時(shí)間周期內(nèi)股價(jià)將會(huì)有更強(qiáng)的波動(dòng)。但這一結(jié)論并非總是成

6、立。隨著期權(quán)期限的增加，執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值下降。這將增加看漲期權(quán)的價(jià)值，減少看跌期權(quán)的價(jià)值。此外，隨著到期時(shí)間的增加，有更多的時(shí)間出現(xiàn)股票價(jià)格因發(fā)放現(xiàn)金股利而下降的情況。這減少了看漲期權(quán)的價(jià)值，但增加了看跌期權(quán)的價(jià)值，如圖16-3所示。4股票價(jià)格波動(dòng)率隨著標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率增加，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格都將增加，因?yàn)檫@表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格區(qū)間將擴(kuò)大，使得期權(quán)可執(zhí)行程度增高。期權(quán)買(mǎi)方將得到有利結(jié)果的全部收益，并且可以避免不利結(jié)果(期權(quán)虛值較小)，如圖16-4所示。5無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率不會(huì)單方面影響期權(quán)價(jià)格。當(dāng)整個(gè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境利率增加時(shí)，投資者所要求的股票預(yù)期收益也會(huì)增加。同時(shí)，期權(quán)持有者將來(lái)所收到現(xiàn)金流的貼

7、現(xiàn)值會(huì)有所降低。在以上兩種效應(yīng)的共同作用下，看漲期權(quán)價(jià)格會(huì)增加，看跌期權(quán)價(jià)格會(huì)降低(見(jiàn)圖l6-5)。6期權(quán)期限內(nèi)預(yù)期發(fā)放的股息股息將使股票在除息13的價(jià)格降低。對(duì)于看漲期權(quán)，這是一個(gè)壞消息；但對(duì)于看跌期權(quán)，這卻是一個(gè)好消息。因此，看漲期權(quán)價(jià)值與預(yù)期股息的大小呈反向關(guān)系；看跌期權(quán)的價(jià)值與預(yù)期股息的大小呈正向關(guān)系。歸納起來(lái)，這6種因素對(duì)股票期權(quán)價(jià)格的影響可用表l6-1表示。1612看漲一看跌平價(jià)公式1假設(shè)及記號(hào)看漲一看跌平價(jià)公式的基本假設(shè)：a市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)；b市場(chǎng)無(wú)摩擦，即證券交易不支付交易費(fèi)用；c無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)；d貸款和存款利率相等，并且均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；e市場(chǎng)中允許賣(mài)空；f.標(biāo)的股票不支

8、付紅利行文中將采用以下記號(hào)：s0股票的當(dāng)前價(jià)格；c買(mǎi)入一只股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格；STT時(shí)刻股票的價(jià)格；p買(mǎi)入一只股票的美式看跌期權(quán)的價(jià)格；K一期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；c買(mǎi)入一只股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格；T期權(quán)的期限；P買(mǎi)入一只股票的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格；r在T時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資的收益V期權(quán)的價(jià)值；率，即無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(連續(xù)利率)；投資組合2無(wú)套利原理如果在進(jìn)行交易的時(shí)間段內(nèi)，投資人在決定投資組合以后，沒(méi)有加入新資金，也沒(méi)有資金被消耗或抽走，那么稱(chēng)整個(gè)交易過(guò)程為自融資，或者該投資組合是自融資。如果在交易過(guò)程中，有資金抽走或消耗出現(xiàn)，那么該市場(chǎng)存在摩擦，如交易要交納交易費(fèi)或傭金。如果在時(shí)間(0，T內(nèi)存在一

9、個(gè)時(shí)問(wèn)點(diǎn)T*，使得當(dāng)V0()=0時(shí)，有VT*()0，且ProbVT*()>0>0，稱(chēng)自融資組合在0，T內(nèi)存在套利機(jī)會(huì)。無(wú)套利原理I如果金融市場(chǎng)在0，T期限內(nèi)，對(duì)任意兩個(gè)投資組合1，2，如果VT(1)VT(2)且ProbVT(1)>VT(2)>0，那么，對(duì)0，T)中的任意時(shí)間t，都有VT(1)>VT(2)則稱(chēng)無(wú)套利。無(wú)套利原理如果金融市場(chǎng)在0，T期限內(nèi)，對(duì)任意兩個(gè)投資組合1，2，如果VT(1)=VT(2)那么，對(duì)0，T中的任意時(shí)間t，都有VT(1)=VT(2)則市場(chǎng)是無(wú)套利的。3期權(quán)價(jià)格的上限與下限(1)期權(quán)價(jià)格的上限?？礉q期權(quán)給予其持有者以某指定價(jià)格買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)的

10、權(quán)利，如果期權(quán)的價(jià)格超過(guò)本身標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，那么將不會(huì)有人購(gòu)買(mǎi)期權(quán)。因此期權(quán)價(jià)格的上限只能是標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，即cS0與CS0如果看漲期權(quán)以上的不等式不成立，那么一個(gè)套利者可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)股票并同時(shí)出售期權(quán)來(lái)獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)盈利?？吹跈?quán)的持有者有權(quán)以?xún)r(jià)格K賣(mài)出一只股票。無(wú)論股票價(jià)格下降多少，期權(quán)的價(jià)格都不會(huì)高于執(zhí)行價(jià)格，即pK與PK在T時(shí)刻，歐式期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過(guò)K。因此，當(dāng)前期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過(guò)K的貼現(xiàn)值，即PKe-rT如果看跌期權(quán)以上不等式不成立，那么一個(gè)套利者可以賣(mài)出一個(gè)期權(quán)，同時(shí)將賣(mài)出期權(quán)所得費(fèi)用以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，將獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。(2)無(wú)股息股票的看漲期權(quán)的下限?？紤]以下兩個(gè)交易組合：組合A

11、：一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上數(shù)量為Ke-rT的現(xiàn)金；組合8：一只股票。在組合A中，如果將現(xiàn)金按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，在T時(shí)刻將變?yōu)镵。在時(shí)間T，如果ST> K，投資者行使看漲期權(quán)，組合A價(jià)值為ST，。如果ST<K，期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0，這時(shí)組合A的價(jià)值為K。因此在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值為max(ST，K)組合B在T時(shí)刻的價(jià)格為sT。因此在T時(shí)刻組合A的價(jià)值不會(huì)低于組合B的價(jià)值。因此，在無(wú)套利的條件下，有c+Ke-rTS0對(duì)于一個(gè)看漲期權(quán)而言，最差的情況是期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0。因此，期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)值，即C0。因此Cmax(S0-Ke-rT，0)(3)無(wú)股息股票的歐式看跌期權(quán)下限?？紤]以下兩個(gè)交易

12、組合：組合c：一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上一只股票；組合D：金額為Ke-rT的現(xiàn)金。如果Sr<K，投資者在到期時(shí)執(zhí)行組合C中的歐式看跌期權(quán)，組合C的價(jià)值變?yōu)镵；如果 ST>K，在到期時(shí)，期權(quán)價(jià)值為0，組合C的價(jià)值為ST，因此在T時(shí)刻組合C的價(jià)值為max(ST，K)將現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，在T時(shí)刻組合D的價(jià)值為K。因此在T時(shí)刻組合C的價(jià)值總是不低于組合D的價(jià)值。在無(wú)套利條件下，組合C的價(jià)值不會(huì)低于組合D在今天的價(jià)值，即P+S0Ke-rT對(duì)于一個(gè)看跌期權(quán)而言，最差的情況是期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0，期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)值，因此，Pmax(Ke-rT-S0，0)4看漲一看跌平價(jià)公式考慮以下兩個(gè)組合。組合A：

13、一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上數(shù)量為Ke-rT的現(xiàn)金；組合C：一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上一只股票。這兩個(gè)組合期權(quán)在到期時(shí)價(jià)值均為max(ST，K)由于組合A和C中的期權(quán)均為歐式期權(quán)，在到期日之前不能提前執(zhí)行，因此它們?cè)诋?dāng)前必須有相同的價(jià)值，這意味著c+Ke-rT=P+S0(16-1)這一關(guān)系式就是看漲一看跌平價(jià)公式(put-call parity)。此公式表明具有歐式看漲期權(quán)的價(jià)值可由一個(gè)具有相同執(zhí)行價(jià)格和到期日的看跌期權(quán)價(jià)值推導(dǎo)出來(lái)，這一結(jié)論反之亦然。5看漲看跌平價(jià)公式擴(kuò)展雖然看漲一看跌平價(jià)公式只對(duì)歐式期權(quán)成立，但也可以從中類(lèi)推美式期權(quán)服從的關(guān)系式。當(dāng)沒(méi)有股息時(shí)，S0KC-PS0-Ke-rT(16-2)看漲

14、一看跌平價(jià)公式：c+Ke-rT=p+S0，只有在無(wú)股利發(fā)放、到期執(zhí)行的前提下才成立?，F(xiàn)在放松這兩條假設(shè)，可以有以下結(jié)論。無(wú)股息的美式看漲期權(quán)不會(huì)被提前行使。因?yàn)?，擁有期?quán)而不是股票時(shí)，持有者擁有價(jià)格保險(xiǎn)，也就是說(shuō)，擁有期權(quán)能保證持有者最低損失僅為期權(quán)費(fèi)。一旦期權(quán)被行使后，執(zhí)行價(jià)格同股票互換，保險(xiǎn)會(huì)因此消失，再者，對(duì)期權(quán)持有者而言，支付執(zhí)行價(jià)格越遲越好，這與貨幣的時(shí)間價(jià)值有關(guān)。在期權(quán)期限內(nèi)任意給定的時(shí)刻，如果期權(quán)的實(shí)值程度足夠大，那么就應(yīng)該提前行使期權(quán)。與看漲期權(quán)類(lèi)似，一個(gè)看跌期權(quán)也可以看做是一種保險(xiǎn)，當(dāng)同時(shí)持有股票和看跌期權(quán)時(shí)，看跌期權(quán)可以為期權(quán)持有者在股票價(jià)格下跌到一定水平時(shí)提供保險(xiǎn)。但與看

15、漲期權(quán)不同的是，放棄這一保險(xiǎn)，而提前行使期權(quán)從而立即實(shí)現(xiàn)執(zhí)行價(jià)格可能為最優(yōu)的策略。因此，無(wú)股息的美式看跌期權(quán)可能會(huì)被提前行使。接下來(lái)，放松沒(méi)有紅利支付的假設(shè)，考慮一下股息對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。在美國(guó)，交易所交易的大部分期權(quán)期限小于l年，因此可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)在期權(quán)期限內(nèi)股息的支付時(shí)間及數(shù)量。用 D來(lái)表示期權(quán)期限內(nèi)股息的貼現(xiàn)值。在計(jì)算D時(shí)，假定股息在除息日付出。當(dāng)存在股息時(shí)，公式(16-1)所表達(dá)的看跌一看漲平價(jià)公式變?yōu)閏+D+Ke-rT=P+S0 (16-3)股息會(huì)使公式(16-2)變?yōu)镾0-D-KC-PS0-Ke-rT(16-4)例如，一個(gè)美式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為20美元，期限為5個(gè)月，期權(quán)價(jià)格

16、為l5美元。假定當(dāng)前股票價(jià)格為19美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10，由公式(16-2)得出，19-20C-P19-20e-0.1x5/12即1P-C018上式顯示P-C介于0181美元之間。由于C為15美元，P必須介于l68250美元。也就是說(shuō)，與美式看漲期權(quán)具有相同執(zhí)行價(jià)格及期限的美式看跌期權(quán)價(jià)格的上下限分別為250美元及168美元。162期權(quán)組合交易策略在第12章中，討論了由單個(gè)期權(quán)所帶來(lái)的盈利形式。本節(jié)將以股票期權(quán)為例，討論期權(quán)組合的交易策略。對(duì)于其他標(biāo)的資產(chǎn)，如股指期貨、期貨等，可以得到類(lèi)似的結(jié)果。為了簡(jiǎn)化，討論中所采用的期權(quán)為歐式期權(quán)，并在所列舉的交易策略收益圖表中都忽略貨幣的時(shí)間價(jià)值，圖

17、中所表示的盈利為最終收益減去初始費(fèi)用(理論上講，盈利應(yīng)等于最終受益的貼現(xiàn)值減去初始費(fèi)用)。1621單一期權(quán)和股票的策略包括單一期權(quán)和股票的策略有多種形式。這些策略的盈虧狀況如圖16-6所示。在圖16-6中，虛線代表組合中單個(gè)證券的盈利與股票價(jià)格的關(guān)系，實(shí)線代表整個(gè)組合的盈利和股票價(jià)格之間的關(guān)系。圖16-6a中，交易組合是由一個(gè)股票多頭與一個(gè)看漲期權(quán)空頭組成。這種交易策略被稱(chēng)為“出售受保護(hù)的看漲期權(quán)”(writing covered call)，這里的股票多頭可以保護(hù)投資者，使其免遭股票價(jià)格急劇上漲帶來(lái)的損失。圖l6-6b中，交易組合是由一個(gè)股票空頭加上一個(gè)看漲期權(quán)多頭組合而成，其盈利狀態(tài)與出售

18、受保護(hù)的看漲期權(quán)的盈利狀態(tài)相反。圖16-6c中，交易組合包括一個(gè)看跌期權(quán)多頭及股票多頭，這一交易策略被稱(chēng)為“購(gòu)買(mǎi)受保護(hù)的看跌期權(quán)”(protective put)。圖166d中，交易組合是由一個(gè)看跌期權(quán)空頭和一個(gè)股票空頭組成，這一交易策略的盈利狀態(tài)與受保護(hù)的看跌期權(quán)的盈利狀態(tài)相反。圖16-6中的盈虧狀態(tài)與第l2章中討論的看跌期權(quán)空頭、看跌期權(quán)多頭、看漲期權(quán)多頭及看漲期權(quán)空頭的盈利狀態(tài)相似。由看漲一看跌平價(jià)公式，以理解為何如此。由公式(16-1)可知c=P+S0-Ke-rT (16-5)公式(16-5)表明，一個(gè)看漲期權(quán)多頭的盈利狀況與用Ke-rT的現(xiàn)金購(gòu)買(mǎi)看跌期權(quán)和股票的盈利狀況是一樣的，所以

19、圖l6-6c的盈利狀況圖與看漲期權(quán)多頭的盈虧圖相似。對(duì)公式(16-1)進(jìn)行變換，-P=S0-c-Ke-rT表示用Ke-rT購(gòu)買(mǎi)一只股票并賣(mài)出一個(gè)看漲期權(quán)的盈利狀況與出售看跌期權(quán)的盈利狀況相類(lèi)似，這就是為什么圖16-6a與看跌期權(quán)空頭盈虧圖類(lèi)似的原因。也就是說(shuō)，任何基本的期權(quán)交易策略都可以通過(guò)單一股票期權(quán)和股票的組合進(jìn)行替代。1622價(jià)差期權(quán)交易策略1牛市價(jià)差期權(quán)價(jià)差期權(quán)交易策略是持有相同類(lèi)型的兩個(gè)或多個(gè)期權(quán)頭寸，通過(guò)不同的執(zhí)行價(jià)格買(mǎi)進(jìn)賣(mài)出，從而進(jìn)行套利的策略。價(jià)差期權(quán)在不同的證券市場(chǎng)狀態(tài)下，會(huì)有不同的策略，由此分為牛市價(jià)差期權(quán)、熊市價(jià)差期權(quán)、盒式價(jià)差期權(quán)、蝶式價(jià)差期權(quán)、日歷價(jià)差期權(quán)和對(duì)角價(jià)差期

20、權(quán)等。下面就主要的價(jià)差期權(quán)一一展開(kāi)說(shuō)明。牛市價(jià)差期權(quán)(bull spread)既可以利用看漲期權(quán)組合構(gòu)成，也可以通過(guò)看跌期權(quán)組合構(gòu)成。如圖l6-7所示，此牛市價(jià)差期權(quán)是，買(mǎi)入一個(gè)具有某一確定執(zhí)行價(jià)格(K1)的股票看漲期權(quán)的同時(shí)，賣(mài)出一個(gè)標(biāo)的相同但具有較高執(zhí)行價(jià)格(K2)的股票看漲期權(quán)，兩個(gè)看漲期權(quán)的期限相同。從圖l6-7中可以看到，牛市價(jià)差期權(quán)在不同情況下可以實(shí)現(xiàn)的總收益。如果股票價(jià)格表現(xiàn)良好，即價(jià)格上漲高于K2時(shí)，此時(shí)收益為兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格的差(K2-K1)；如果在到期日股票價(jià)格介于K1與K2之間，牛市價(jià)差的收益為ST- K1；如果在到期日，股票價(jià)格低于K1，牛市價(jià)差的收益為0。歸納如表16-2

21、所示：牛市價(jià)差限制了投資者收益的同時(shí)也控制了損失的風(fēng)險(xiǎn)。這一策略可以表達(dá)為：投資者擁有一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K1的期權(quán)，同時(shí)賣(mài)出執(zhí)行價(jià)格為K2(K2>K1)的期權(quán)而放棄了股票上升的潛在收益。作為對(duì)放棄潛在收益的補(bǔ)償，投資者獲得了執(zhí)行價(jià)格為K2的期權(quán)費(fèi)用。牛市價(jià)差期權(quán)還可以通過(guò)看跌期權(quán)組合構(gòu)成，其構(gòu)成原理與看漲期權(quán)構(gòu)成的牛市價(jià)差類(lèi)似，即買(mǎi)入具有較低執(zhí)行價(jià)格看跌期權(quán)的同時(shí)，賣(mài)出具有較高執(zhí)行價(jià)格的看跌期權(quán)，如圖168所示。與采用看漲期權(quán)構(gòu)造牛市價(jià)差不同的是，用看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市價(jià)差會(huì)給投資者在最初帶來(lái)一個(gè)正的現(xiàn)金流(忽略保證金的要求)。2熊市價(jià)差期權(quán)與牛市價(jià)差期權(quán)相似，熊市價(jià)差期權(quán)(bear spre

22、ad)可以由看漲期權(quán)組合構(gòu)成也可以通過(guò)看跌期權(quán)組合構(gòu)成。但熊市價(jià)差期權(quán)投資者希望股票價(jià)格下跌，因?yàn)橹挥泄善眱r(jià)格下跌時(shí)，才有利可獲。首先，看看利用看跌期權(quán)構(gòu)造的熊市價(jià)差期權(quán)。由看跌期權(quán)構(gòu)成的熊市價(jià)差期權(quán)是，在買(mǎi)入某一具有較高執(zhí)行價(jià)格(K2)的看跌期權(quán)的同時(shí)，賣(mài)出具有較低執(zhí)行價(jià)格(K1)的看跌期權(quán)，兩個(gè)看跌期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)和期限相同。圖l6-9中，盈利由實(shí)線表示。從圖l6-9中可以看出，當(dāng)股票價(jià)格低于K1時(shí)，此時(shí)價(jià)差收益為兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格的差(K2-K1)；如果在到期日股票價(jià)格介于K1與K2之間，熊市價(jià)差期權(quán)的收益為K2-ST；如果在到期日，股票價(jià)格高于K2，熊市價(jià)差的收益為0。歸納如表16-3所示。與

23、牛市價(jià)差類(lèi)似，熊市價(jià)差限定了盈利的上限，同時(shí)也控制了損失。由看跌期權(quán)構(gòu)造的熊市價(jià)差期權(quán)在最初會(huì)有一個(gè)正的現(xiàn)金流出，這是因?yàn)橹Ц兜钠跈?quán)費(fèi)小于收到期權(quán)費(fèi)(賣(mài)出期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格小于買(mǎi)入期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格)。熊市價(jià)差不僅能用看跌期權(quán)組合而成，也可以用看漲期權(quán)組合而成，交易策略如圖l6-10所示。投資者可以通過(guò)買(mǎi)入具有較高執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)，賣(mài)出具有較低執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)的策略構(gòu)造熊市價(jià)差期權(quán)。3盒式期權(quán)盒式期權(quán)(box spread)是牛市價(jià)差和熊市價(jià)差的組合，兩個(gè)價(jià)差都是由執(zhí)行價(jià)格為K1和 K2的看漲期權(quán)構(gòu)成。如表l6-4所示，一個(gè)盒式價(jià)差的收益為K2K1，因此盒式價(jià)差的貼現(xiàn)值為(K2-K1)e-rT。如

24、果其貼現(xiàn)值與這一數(shù)值有所不同，就會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)。如果盒式價(jià)差的市場(chǎng)價(jià)格過(guò)低，套利者可以通過(guò)買(mǎi)入盒式來(lái)盈利。這時(shí)套利策略為：買(mǎi)人一個(gè)具有執(zhí)行價(jià)格K1的看漲期權(quán)，買(mǎi)人一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K2的看跌期權(quán)，賣(mài)出一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K2的看漲期權(quán)及賣(mài)出一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K1的看跌期權(quán)。如果盒式價(jià)差的市場(chǎng)價(jià)格過(guò)高，套利者可以利用賣(mài)出盒式價(jià)差來(lái)盈烈。套利策略為買(mǎi)人執(zhí)行價(jià)格為K2的看漲期權(quán)，買(mǎi)入一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K1的看跌期權(quán)，賣(mài)出一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K的看漲期權(quán)并賣(mài)出一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為K2的看跌期權(quán)。4蝶式期權(quán)蝶式期權(quán)(butterfly spread)策略由3種具有不同執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)構(gòu)成。其構(gòu)造方式為：買(mǎi)人一個(gè)具有較低執(zhí)行價(jià)格K1的看

25、漲期權(quán)，買(mǎi)入一個(gè)具有較高執(zhí)行價(jià)格K3的看跌期權(quán)，以及賣(mài)出兩個(gè)具有執(zhí)行價(jià)格為K2的看漲期權(quán)，其中K2為K1與K3中間的某個(gè)值。一般來(lái)講，K2接近于當(dāng)前股票價(jià)格。這一交易策略的盈利如圖l6-11所示。如果股票價(jià)格保持在K2附近，蝶式價(jià)差會(huì)產(chǎn)生盈利，但如果股票價(jià)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離K2，蝶式價(jià)差會(huì)有小量的損失。因此蝶式價(jià)差對(duì)于那些認(rèn)為股票價(jià)格不會(huì)有較大波動(dòng)的投資者而言會(huì)非常合理。該策略需要少量的初始投資。表l6-5給出了蝶式價(jià)差的收益。蝶式期權(quán)也可以由看跌期權(quán)構(gòu)成。投資者可以買(mǎi)人一個(gè)具有較低執(zhí)行價(jià)格及一個(gè)具有較高執(zhí)行價(jià)格的兩個(gè)看跌期權(quán)，同時(shí)賣(mài)出兩個(gè)具有中問(wèn)執(zhí)行價(jià)格的兩個(gè)看跌期權(quán)，如圖16-12所示。1623組

26、合期權(quán)交易策略組合期權(quán)是針對(duì)同一標(biāo)的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的交易策略。下面將要考慮的組合期權(quán)包括條式期權(quán)(strip)和帶式期權(quán)(strap)、寬跨式期權(quán)(straddle)。1條式期權(quán)和帶式期權(quán)條式期權(quán)是具有相同執(zhí)行價(jià)格和相同期限的一個(gè)看漲期權(quán)和兩個(gè)看跌期權(quán)的組合。帶式期權(quán)是由具有相同執(zhí)行價(jià)格和相同期限的兩個(gè)看漲期權(quán)和一個(gè)看跌期權(quán)的組合。圖l6-13顯示了條式期權(quán)和帶式期權(quán)的盈利形式。條式期權(quán)中投資者認(rèn)為，股票價(jià)格會(huì)有較大的變動(dòng)，同時(shí)價(jià)格下降的可能性要大于價(jià)格上升的可能性。而在帶式組合中，投資者也認(rèn)為股票價(jià)格有較大的變動(dòng)，但價(jià)格上升的可能性大于價(jià)格下降的可能性。2寬跨式期權(quán)寬跨式期權(quán)是投資者買(mǎi)入

27、具有相同期限但具有不同執(zhí)行價(jià)格的看跌及看漲期權(quán)。圖l6-14顯示了其盈利狀況。寬跨式期權(quán)所取得的盈利與執(zhí)行價(jià)格之間的距離有關(guān)。距離越遠(yuǎn)，潛在損失越小，但為了獲取盈利，價(jià)格也需要有一定的浮動(dòng)。16.3二項(xiàng)式定價(jià)模型1973年，布萊克和斯科爾斯(Black and Scholes)提出了BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型，對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從正態(tài)分布的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。隨后，羅斯開(kāi)始研究標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從非正態(tài)分布的期權(quán)定價(jià)理論。1976年，羅斯和約翰·考科斯(John Carrington Cox)在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上發(fā)表論文“基于另類(lèi)隨機(jī)過(guò)程的期權(quán)定價(jià)”，提出了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論。1979

28、年，羅斯、考科斯和馬克·魯賓斯坦(Mark Rubinstein)在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上發(fā)表論文“期權(quán)定價(jià)：一種簡(jiǎn)單的方法”，該文提出了一種簡(jiǎn)單的對(duì)離散時(shí)間的期權(quán)定價(jià)的方法，被稱(chēng)為CoxRossRubinstein二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型和布萊克一斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型，是兩種相互補(bǔ)充的方法。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)比較簡(jiǎn)單，更適合說(shuō)明期權(quán)定價(jià)的基本概念。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，證券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡(jiǎn)單，但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間單位，因而二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的

29、期權(quán)。1631風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)(risk neutral pricing theory)又稱(chēng)風(fēng)險(xiǎn)中性理論，是指在市場(chǎng)不存在任何套利可能性的條件下，如果衍生證券的價(jià)格仍然依賴(lài)于可交易的基礎(chǔ)證券，那么這個(gè)衍生證券的價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為衍生證券定價(jià)的微分方程中并不包含有受投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變量，尤其是期望收益率。風(fēng)險(xiǎn)中性?xún)r(jià)原理是約翰·考科斯和斯蒂芬·羅斯(Stephen ARoss)于1976年推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式時(shí)建立的。由于這種定價(jià)原理與投資者的風(fēng)險(xiǎn)制度無(wú)關(guān)，從而推廣到對(duì)任何衍生證券都適用，所以在以后的衍生證券的定價(jià)推導(dǎo)中，都接受了這樣的前提條

30、件，就是所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，或者是在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中決定價(jià)格，并且這個(gè)價(jià)格的決定，又是適用于任何一種風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資者。關(guān)于這個(gè)原理，有著一些不同的解釋?zhuān)瑥亩逦搜苌C券定價(jià)的分析過(guò)程。首先，在風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，投資者并不要求任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，所以基礎(chǔ)證券與衍生證券的期望收益率都恰好等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；其次，正由于不存在任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，市場(chǎng)的貼現(xiàn)率也恰好等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，所以基礎(chǔ)證券或衍生證券的任何盈虧經(jīng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)就是它們的現(xiàn)值；最后，利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過(guò)程是鞅(martingale)?；蛘攥F(xiàn)值的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法是鞅定價(jià)方法(martinga

31、le Pricing Technique)。由于這種定價(jià)原理與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)，從而對(duì)任何衍生證券都適用，所以一般的衍生證券定價(jià)推導(dǎo)中，都接受了這樣的前提條件：風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者不以自己的偏好進(jìn)行資產(chǎn)選擇，僅以風(fēng)險(xiǎn)和收益作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)。風(fēng)險(xiǎn)中性方法打開(kāi)了利用二叉樹(shù)對(duì)期貨資產(chǎn)價(jià)值建模的期權(quán)定價(jià)技術(shù)之門(mén)。1632二項(xiàng)式期權(quán)模型二項(xiàng)式期權(quán)模型(binomial model)也稱(chēng)為二叉樹(shù)模型(binomial tree)或CRR模型，二叉樹(shù)是模擬股票價(jià)格在期權(quán)期限內(nèi)變動(dòng)路徑的圖形。通常認(rèn)為股票價(jià)格服從隨機(jī)游走，這源于有效市場(chǎng)理論。無(wú)限期的二叉樹(shù)模型將趨向隨機(jī)游走，因此成為能夠反映股票價(jià)格變動(dòng)的有效模型

32、。二叉樹(shù)模型僅假設(shè)股票價(jià)格向上和向下兩個(gè)方向的變動(dòng)，事實(shí)上也存在股票價(jià)格多方向變動(dòng)，如三下面從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子人手。假設(shè)一個(gè)股票的當(dāng)前價(jià)格為l0元，并且已知在3個(gè)月后股票的價(jià)格將會(huì)變?yōu)閘2元或8元。希望找出3個(gè)月后能夠以ll元買(mǎi)人股票的期權(quán)價(jià)格。這個(gè)期權(quán)在3個(gè)月后將具有以下兩個(gè)價(jià)格中的一個(gè)：如果股票價(jià)格變?yōu)?2元，期權(quán)價(jià)格為1元；如果股票價(jià)格為8元，期權(quán)價(jià)格為0，如圖16-15所示。這里可以采用一種比較簡(jiǎn)單的方式來(lái)對(duì)此例中的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。定價(jià)過(guò)程中唯一需要的假設(shè)是市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，并使得這一組合在3個(gè)月后具有確定的收益。由于該組合具有確定收益率，因此沒(méi)有任何風(fēng)險(xiǎn)，按照

33、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，這一利率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。這樣得出構(gòu)造這一交易組合的成本，并獲得期權(quán)的價(jià)格。因?yàn)檫@里有兩種證券(股票與股票期權(quán))，并且股票價(jià)格僅有向上和向下兩個(gè)可能性，因此總是可以構(gòu)造出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合?？紤]一個(gè)有只股票的多頭頭寸和一份看漲期權(quán)空頭頭寸構(gòu)成的交易組合。下面將求出交易組合具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的。當(dāng)股票價(jià)格由l0元變?yōu)?2元時(shí)，所持股票的價(jià)值變?yōu)閘2元，期權(quán)價(jià)格變?yōu)閘元，證券組合的整體價(jià)值為l2一1；當(dāng)股票的的價(jià)格由10元變?yōu)?元時(shí)，所持股票的價(jià)值變?yōu)?元，期權(quán)的價(jià)值為0，證券組合的整體價(jià)值為8元。如果證券組合在以上兩個(gè)時(shí)點(diǎn)價(jià)值相等時(shí)，則該組合不具有任何風(fēng)險(xiǎn)，這意味著12-1=8即=0

34、25因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)交易組合為：多頭頭寸：025只股票；空頭頭寸：1份期權(quán)。如果股票價(jià)格上漲為l2元，組合價(jià)值為12 x 025-1=2元如果股票價(jià)格下跌到8元，組合價(jià)值為8 X 025=2元無(wú)論股票價(jià)格是上漲還是下跌，在期權(quán)到期時(shí)交易組合的價(jià)值總是2元。假設(shè)這時(shí)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年12，那么該交易組合今天的價(jià)值應(yīng)為2元的貼現(xiàn)值，即2e-0.l2x3/12=l941股票今天的價(jià)格為l0元，如果期權(quán)的價(jià)格記為，那么交易組合在今天的價(jià)值是：10×025-f=25-f因此25-f=1941解得f=0559元以上討論說(shuō)明，在無(wú)套利的前提下，期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為0559元。如果期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格高于0559

35、元，那么構(gòu)造交易組合的費(fèi)用就會(huì)低于1941元，而交易組合的收益率就會(huì)高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；如果期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格低于0559元，那么賣(mài)空這一交易組合，同時(shí)購(gòu)買(mǎi)這一交易組合將產(chǎn)生高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的收益。將以上的結(jié)論一般化。假設(shè)股票的價(jià)格為S0，股票上一個(gè)期權(quán)的價(jià)格為f0，期權(quán)到期期限為 T0。在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者會(huì)由S0上漲到S0u，或者會(huì)由S0下跌到S0d，其中u>1，d<1。當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，其增長(zhǎng)的比率為u-1。當(dāng)股票下跌時(shí)，其下跌的比率為1-d。與前面例子相同考慮一個(gè)由只股票的長(zhǎng)頭寸及一份期權(quán)的短頭寸所組成的交易組合。投資者可以找到一個(gè)使得交易組合收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，即在風(fēng)險(xiǎn)中

36、性條件下不具有風(fēng)險(xiǎn)。如果股票價(jià)格上漲，在期權(quán)到期時(shí)交易組合的價(jià)值為S0u-fu如果股票價(jià)格下跌，期權(quán)到期時(shí)組合的價(jià)值為S0d-fd因假設(shè)該組合在未來(lái)具有確定的收益，因此無(wú)論在何種情況下，組合的價(jià)值一定，以上兩個(gè)值相等，即S0u=fu=S0d-fd得出在假定股票收益確定的前提下，該資產(chǎn)組合具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，由公式(16-6)看出，當(dāng)股票僅有兩種變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，為期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化的比率。如果將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率記為r，那么交易組合的貼現(xiàn)值為(S0u-fu)e-rT而構(gòu)造交易組合的起始成本為S0-f所以S0-f=(S0u-fu)e-rT即f=S0(1-ue-rT)+fue-rT將公式(16-6)中的代

37、人上式并簡(jiǎn)化，得出f=e-rTpfu+(1-p)fd(16-7)其中當(dāng)股票價(jià)格由一步二叉樹(shù)給出時(shí)，公式(16-7)及公式(16-8)可以用來(lái)給期權(quán)定價(jià)。這個(gè)公式需要的唯一假設(shè)是市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)。值得注意的是，公式(16-7)中沒(méi)有涉及股票價(jià)格上漲或下跌的概率。這里直接使用股票價(jià)格作為計(jì)算一步二叉樹(shù)期權(quán)的價(jià)格，主要假定市場(chǎng)有效，未來(lái)股票價(jià)格上漲與下跌的概率已經(jīng)包括在它的價(jià)格之中。因此，當(dāng)根據(jù)股票價(jià)格對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)，無(wú)須再次考慮股票上漲或下跌的概率。定義參數(shù)為衡量基礎(chǔ)合約價(jià)格變動(dòng)所造成期權(quán)價(jià)值變動(dòng)的指標(biāo)，它是由期權(quán)價(jià)格對(duì)基礎(chǔ)合約的偏導(dǎo)數(shù)給出，它代表一個(gè)對(duì)沖比率，或者說(shuō)，它是為了獲得一個(gè)具有無(wú)

38、風(fēng)險(xiǎn)收益率組合，購(gòu)買(mǎi)或出售期權(quán)時(shí)需要賣(mài)出或買(mǎi)人基礎(chǔ)合約的份數(shù)。以上分析了一步二叉樹(shù)的解析過(guò)程下面由簡(jiǎn)到難，把期權(quán)的期限區(qū)間平均分割成許多等長(zhǎng)度為t的小區(qū)間，分析多步二叉樹(shù)。如下圖l6-16所示。圖16-16表示了二叉樹(shù)模型下四步股票價(jià)格變動(dòng)圖。在時(shí)點(diǎn)0，股票價(jià)格S0為已知條件。在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間后有兩個(gè)可能的股票價(jià)格，S0u和S0d；在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間后有三種可能的股票價(jià)格，S0u2，S0ud和S0d2，依次類(lèi)推，一般地，在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)度為it的時(shí)間區(qū)間后有i+1種可能的股票價(jià)格，S0ui-jdj，j=0，i。在這里，股票價(jià)格上升的概率假定為P，下降的概率為1-P。在二叉樹(shù)模型中，風(fēng)險(xiǎn)中

39、立假設(shè)下的定價(jià)原理可以被用來(lái)確定P、u和d的值。對(duì)應(yīng)于時(shí)間間隔t內(nèi)股票價(jià)格變化的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，參數(shù)P、u和d都有對(duì)應(yīng)的值。上圖顯示了股票價(jià)格在時(shí)間區(qū)間t段末，期末的期望股票價(jià)格是pS0u+(1-P)S0d另一方面，由于假定市場(chǎng)處在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中立的世界里，股票的期望報(bào)酬率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。于是，在期末這個(gè)時(shí)點(diǎn)上的股票期望價(jià)格為S0ert。它遵循S0ert=pS0u+(1-P)S0d(16-9)解式(16-9)，得到這個(gè)結(jié)果與公式(16-8)一致。在二叉樹(shù)模型中，股票回報(bào)率的方差為ES-E(S)=E(S2)-E(S)2=pu2+(1-p)d2-pu+(1-P)d2于是pu2+(1-P)d2-pu+(1

40、-P)d2=2t忽略了t或者假設(shè)t很小時(shí)，下面的等式成立一般地，使用二叉樹(shù)模型估計(jì)的歐式期權(quán)價(jià)值為fi,j=e-rtpfi+1,j+(1-p)fi+1,j+1i=9，N-1 andj=0，i(16-11)164布萊克一斯科爾斯公式1997年10月10日，第29屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了兩位美國(guó)學(xué)者，哈佛商學(xué)院教授羅伯特·默頓(Robert Merton)和斯坦福大學(xué)教授邁倫·斯科爾斯(Myron Scholes)。他們創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克一斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型(Black Scholes option pricing model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場(chǎng)

41、的各種以市價(jià)價(jià)格變動(dòng)定價(jià)的衍生金融工具的合理定價(jià)奠定了基礎(chǔ)。斯科爾斯與他的同事，已故數(shù)學(xué)家費(fèi)雪·布萊克(Fischer Black)，在20世紀(jì)70年代初合作研究出了一個(gè)期權(quán)定價(jià)的復(fù)雜公式。與此同時(shí)，默頓也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式及許多其他有關(guān)期權(quán)的有用結(jié)論。結(jié)果，兩篇論文幾乎同時(shí)在不同刊物上發(fā)表。所以，布萊克一斯科爾斯定價(jià)模型亦可稱(chēng)為布萊克一斯科爾斯一默頓定價(jià)模型。默頓擴(kuò)展了原模型的內(nèi)涵，使之同樣運(yùn)用于許多其他形式的金融交易。瑞士皇家科學(xué)協(xié)會(huì)(The Royal Swedish Academy of Sciences)贊譽(yù)他們?cè)谄跈?quán)定價(jià)方面的研究成果是今后25年經(jīng)濟(jì)科學(xué)中的最杰出貢獻(xiàn)。16

42、41歐式期權(quán)定價(jià)公式Fischer Black和Myron Scholes(1973)發(fā)表了突破性論文，第一次成功提出了以不支付股利或者其他分配的股票為標(biāo)的的歐式期權(quán)定價(jià)公式。布萊克一斯科爾斯模型的主要假設(shè)如下：a.股價(jià)遵循預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程；b允許使用全部所得賣(mài)空衍生證券；C沒(méi)有交易費(fèi)用或稅金，且所有證券高度可分；d在衍生證券的有效期內(nèi)沒(méi)有支付紅利；e不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)；f.證券交易是連續(xù)的，股票價(jià)格連續(xù)平滑變動(dòng)；g無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)，能夠用同一利率借入或貸出資金；h只能在交割日?qǐng)?zhí)行期權(quán)。假設(shè)a體現(xiàn)了有效市場(chǎng)理論對(duì)股票價(jià)格的論斷，即股票價(jià)格應(yīng)該服從隨機(jī)游走過(guò)程，并

43、且無(wú)趨勢(shì)可言；假設(shè)b構(gòu)建了一個(gè)可以使得市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)中性成立的條件，因?yàn)檫@里允許“賣(mài)空”行為的存在；假設(shè)c近似描繪了完美無(wú)摩擦市場(chǎng)，證券高度可分使得證券交易不受交易量的限制；假設(shè) c、d、e、f、g、h則進(jìn)一步限定了市場(chǎng)環(huán)境。設(shè)定ln代表自然對(duì)數(shù)，S0為股票的現(xiàn)行價(jià)格，k為執(zhí)行價(jià)格，r代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利，T代表以年計(jì)量的期權(quán)期限，代表標(biāo)的股票的波動(dòng)率，N指的是累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。那么，看漲期權(quán)價(jià)格C和看跌期權(quán)價(jià)格P可以由下式得到c=S0N(d1)-ke-rTN(d2) (16-12) P=ke-rTN(-d2)-S0N(-d1) (16-13)式中，例如，一種還有六個(gè)月的有效期的期權(quán)，股票的現(xiàn)價(jià)為

44、42美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年l0，波動(dòng)率為20，即S=42，k=40，r=01，=02，T=05得又查表，得N(07693)=07791，N(-07693)=02209N(06278)=07349，N(-06278)=02651將上述數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得C=S·N(d1)-ke-rT·N(d2)=476P=ke-rT·N(-d2)一S·N(-d1)=081在布萊克一斯科爾斯定價(jià)公式中，股票價(jià)格的波動(dòng)率并不能直接觀察得到。通常在計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)，投資者使用股價(jià)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)得到的波動(dòng)率。觀察股價(jià)的時(shí)間間隔通常固定(例如每天、每周或每月)

45、。定義如下：n+1表示觀察次數(shù)Si：第i個(gè)時(shí)間間隔末的股票價(jià)格：以年為單位的時(shí)間間隔的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度因?yàn)镾i=Si-1ei，i為第i個(gè)時(shí)間間隔后的連續(xù)復(fù)利收益(并不是以年為單位)； ui的標(biāo)準(zhǔn)差s的通常估計(jì)值為式中，是i的均值。而由方程可知i的標(biāo)準(zhǔn)差為因此變量s是拘估計(jì)值。從而可以作為的估計(jì)值。1642布萊克一斯科爾斯微分方程股價(jià)S遵循馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程dS=SdT+Sdz其離散形式為S=ST+Sz(16-14)又假設(shè)廠是依賴(lài)于S的衍生證券的價(jià)格，則變量f一定是S和t的某一函數(shù)。由上式方程可得其離散形式為由于f是S與t的函數(shù)，所以方程(16-14)與方程(16-16)應(yīng)遵循相同的維納過(guò)程，即相同。為

46、了消除這一隨機(jī)變量的影響，可以通過(guò)構(gòu)造該股票和衍生證券的組合來(lái)消除?？梢詷?gòu)造這樣的投資組合：(1)賣(mài)出一份衍生證券(2)買(mǎi)入份股票則該證券組合的價(jià)值為t時(shí)間后，該證券組合的價(jià)值變化將方程(1614)和方程(1616)代入上式，得因?yàn)檫@個(gè)方程不含有z，經(jīng)過(guò)t時(shí)間后證券組合收益都可以由確定的變量進(jìn)行表示，因此不存在不確定性。該證券組合的瞬時(shí)收益率一定與其他短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率相同。否則，將存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。所以式中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。將方程(16-17)和方程(16-18)代人上式可得化簡(jiǎn)得這就布萊克一斯科爾斯微分方程。對(duì)應(yīng)于不同基礎(chǔ)證券s定義的不同衍生證券，方程(16-21)有不同的解。解方程時(shí)得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為f=max(ST-X，0)對(duì)歐式看跌期權(quán)，邊界條件為f=max(X-Sr，0)一個(gè)非常重要的現(xiàn)象是，期權(quán)微分方程推導(dǎo)過(guò)程中并不涉