文科數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》期末考試卷

1、文科數(shù)學(xué)線性代數(shù)期末考試卷一、計(jì)算題(每題6分，4題共24分)：1. 設(shè)人= 2設(shè)二階方陣4滿足方程* -3a + 2e = o, 求，的所有可能的特征值.3. 計(jì)算行列式1 + a11111 + q11111 + q11111 + q4.設(shè)階向量 a =(工,0,.,0,x)7 , 矩陣 a - e-aa'，且妃=£*+xaa ,，求 實(shí)數(shù)x.1.設(shè)人=2.二、解答題(4題共60分，每題15分),且人(a) = 2, x 滿足 ax + e = a2x9 求。和 x.<2-22-2、(1 a =25-a-4,b =2< -2-45"就方程組您=人無解、

2、有唯一解、有無窮多解諸情形，對(duì)人值進(jìn)行 討論，并在有無窮多解時(shí)，求出其通解.3、設(shè)二次型f(x,x?,x.) = x：+x? -2xfx9 -2x?x. -2x.x,(1) .求出二次型/的矩陣a及其秩；(2) .求出矩陣a的全部特征值；(3) .求可逆矩陣p,使map成為對(duì)角陣.4、設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣刀的特征值為6, 3, 3,且與特征值6對(duì) 應(yīng)的特征向量為p| = （1,1,1），,求a.三、證明題（2題共16分）：1. （8分）設(shè)a是,階實(shí)方陣，當(dāng).為奇數(shù)且及國(guó)=1時(shí)，證明： ew=°.2. （8 分）假設(shè)0=b（2q+2% 任）,a =#（2% - +2%）,隊(duì)=#0 -2%

3、 2%）, k 是 非零實(shí)數(shù)，給出向量組缶屬也線性無關(guān)的一個(gè)充要條件，并證明之.（2005-2006 ±文科54學(xué)時(shí)）線性代數(shù)a卷參考解答一、計(jì)算題：(-1 1 11 -1 -1；2、4=1, 2=2； 3、1 + q1.11 +。. 1 1. .1 1 -1 -1. /11 1 +。 = cz( + 6z)；1、(-3)44、二l二、解答題：1、解：0 = 1,由|a 耳。0,因此丑可逆，且2 0 1x =(a-e)'a-e)(a + e)= a + e= 0 3 01 6 22、解：經(jīng)計(jì)算何| = -（人-1）檢 - 10）, 因此方程組有唯一解 u> 何| h 0

4、 人 h 1 且4 =10rank a) = rank a) = 1 < 3, 通解為:2=10 時(shí)，因 rank(a) = 2 , rank a) = 3 , rank a)工 r(a), 即 2=10 時(shí)無解。 人=1時(shí)，因3、解:1)二次型的矩陣為a=1 -1 - t-11-1-1 -1 1秩（a） =3；1e-a =（2+1）（22）2 ,所以力的全部特征值為：人1 =4 3 = 22）1,3）o對(duì)1，解得根底解系為氣=（1,1,1）,； 工1t-2'20+灼1+灼0 0 0 1 g 技 ea)-12=a.2對(duì)人2 =人3=2，解得根底解系為= (1,1,0) , %=(一 1,0,"1 -1 -1 令lio,那么 p-1ap=1 01 4 1 1、4、a= 1 4 1 ;j 1' 4,三、證明題1、證明： 阡牛應(yīng)-牛區(qū)-功十|四-牛1傾-町|,、=|4-句=|-(/-功| = (-1)*懷-牛-|占-劃，所以 e-a = 0.2、證明：如果舛=0,即%,%,%線性無關(guān)，那么有固=|ac| =|a|c|lo