152以2L為周期的傅氏級數(shù)

1、15.2 15.2 以以2l2l為周期為周期的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù)一、以一、以2l為周期為周期的傅立葉級數(shù)的傅立葉級數(shù)二二 、偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、以一、以2l為周期為周期的傅氏級數(shù)的傅氏級數(shù) 本節(jié)討論以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式ltxtlx或)sincos(2)(10nnnntbntaatf(1) 其中 , 2 , 1 , 0,cos)(1nntdttfan, 2 , 1 , 0,sin)(1nntdttfbn(2) 于是由(1)與(2)式分別得 )sincos(2)(10nnnlxnblxnaatfxf(3) lln

2、ndxlxnxfa, 2 , 1 , 0,cos)(llnndxlxnxfb, 2 , 1 , 0,sin)( (4) 5.sincos22)0()0(10nnnlxnblxnaaxfxf式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)展展開開定定理理的的條條件件滿滿足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2xfl定理定理),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,s

3、in)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1 , 0( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zflzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zf),sincos(2)(10nzbnzaazfnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzfbnzdzzfann其中其中.sin)(1,cos)(

4、1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzflxz k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達式為上的表達式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù).解解., 2 滿足狄氏充分條件滿足狄氏充分條件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當當當當)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4,

5、2, 0;( xx na), 2 , 1( n例例 2 2 將函數(shù)將函數(shù) 15510)( xxxf展開成傅展開成傅氏級數(shù)氏級數(shù).解解,10 xz作變量代換作變量代換155 x, 55 z)10()( zfxf),(zfz ,)55()(的定義的定義補充函數(shù)補充函數(shù) zzzf, 5)5( f令令)10()( tzf作周期延拓作周期延拓然后將然后將,收收斂斂定定理理的的條條件件這這拓拓廣廣的的周周期期函函數(shù)數(shù)滿滿足足).()5, 5(zf內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于且展開式在且展開式在 x)(zfy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn)

6、, 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzf)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n:. 1定義、 設(shè)設(shè) 是以是以 為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù),或是定義在或是定義在fl 2 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù),

7、則稱則稱,l l 10cos2 nnlxnaaf為為 的余弦級數(shù)的余弦級數(shù),其中其中l(wèi)nndxlxnxfla0., 2 , 1 , 0,cos)(2 若若 是以是以 為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù),或是定義在或是定義在 上的上的,l l fl 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù),則稱則稱1sin nnlxnb為為 的正弦級數(shù)的正弦級數(shù),其中其中flnndxlxnxflb0., 2 , 1,sin)(2二二 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級數(shù):2奇偶延拓、 若將定義在若將定義在 (或或 )上的函數(shù)上的函數(shù) 展成余弦展成余弦級數(shù)或正弦級數(shù)級數(shù)或正弦級數(shù),先把定義在先把定義在 (或或 )上的函數(shù)作

8、上的函數(shù)作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )f, 0 , 0 l, 0 , 0 l,l l yxoyxo偶式延拓奇式延拓:3例,sin)(xxxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f 求求 的的fourier級數(shù)展開式級數(shù)展開式.:解f 是是 上的偶函級上的偶函級,其周期延拓后其周期延拓后(如下圖如下圖),23xyo23f 由于由于 是按段光滑函數(shù)是按段光滑函數(shù),故可展開成余弦級數(shù)故可展開成余弦級數(shù).因為因為00,4sin2xdxa01, 0cossin2xdxxa., 4 , 2,114, 5 , 3, 0cossin220nnnnxdxxan所以所以122cos14412sinmmxmx

9、12.,142cos21 2mxmmx把把 在在 內(nèi)展成內(nèi)展成 xxf)() 2 , 0(:4例(i) 正弦級數(shù)正弦級數(shù); (ii) 余弦級數(shù)余弦級數(shù).:解(i) 為了把為了把 展成正弦級數(shù)展成正弦級數(shù),對對 作奇式周期延拓作奇式周期延拓ffxyo22則則., 2 , 1,) 1(42sin22b 120nnndxxnxn所以當所以當 時時,由收斂定理由收斂定理 得得) 2 , 0 (x112sin) 1(4)(nnxnnxxf (ii) 為了把為了把 展成余弦級數(shù)展成余弦級數(shù),對對 作偶式作偶式周期延拓如下圖周期延拓如下圖:ffxyo26624848則則, 2a 200 xdx, 2 , 1,1) 1(42cos22a 2220nnndxxnxn)., 2 , 1(0,) 12(8a 2221 -2kkakk三、小結(jié)三、小結(jié)利用變量代換求傅氏展開式利用變量代換