復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級(jí)數(shù)

1、天才？請(qǐng)你看看我的臂肘吧。 印度數(shù)學(xué)家拉瑪努揚(yáng)第四章第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法 本章介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的概念本章介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的概念, ,重點(diǎn)重點(diǎn)是是taylor級(jí)數(shù)、級(jí)數(shù)、laurent級(jí)數(shù)及其展開(kāi)級(jí)數(shù)及其展開(kāi). .1 1 復(fù)數(shù)序列復(fù)數(shù)序列2 2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.14.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3 3 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4 4 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)5 5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)4.1.1 4.1.1 復(fù)數(shù)序列復(fù)數(shù)序列稱稱 為復(fù)數(shù)列為復(fù)數(shù)列, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 (1,2,3,)nnnaibn 為數(shù)列為數(shù)列, 記為記為 .n 定義定義4.1設(shè)設(shè) 是數(shù)列，是數(shù)列，

2、是常數(shù)是常數(shù). n aib 如果如果 e e 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)n, 使得當(dāng)使得當(dāng)nn 時(shí)時(shí), 不等式不等式 n e e 成立成立, 則稱當(dāng)則稱當(dāng)n時(shí)時(shí), 收斂于收斂于 na, 或稱或稱 是是 的極限的極限, 記作記作 n lim,nn 或或 .nn 復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系.lim,limbbaannnn 定理定理4.1 limnn 的充分必要條件是的充分必要條件是 該結(jié)論說(shuō)明該結(jié)論說(shuō)明: : 判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性. .4.1.2 4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) nnn 21

3、1為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). .稱稱nnkkns 211為該級(jí)數(shù)的前為該級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)項(xiàng)部分和部分和.設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)列是復(fù)數(shù)列, 則稱則稱 nnnaib 級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義定義4.2如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) nnn 211的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 收斂于復(fù)數(shù)收斂于復(fù)數(shù) s, 則稱則稱級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, ns這時(shí)稱這時(shí)稱s為為級(jí)數(shù)的和級(jí)數(shù)的和, 并記做并記做 1.nns 如果如果 不收斂，則稱不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. ns復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系定理定理4.2 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂的充要收斂的充要11()nnnnnaib 條件是條件是 都

4、收斂都收斂, 并且并且 11, nnnnab111.nnnnnnaib 說(shuō)明說(shuō)明 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題解解 因?yàn)榧?jí)數(shù)因?yàn)榧?jí)數(shù)2111 nnnbn 收斂收斂, 所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散. 練習(xí)練習(xí) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 是否收斂是否收斂?111ninn 111nnnan 發(fā)散發(fā)散, 而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件lim0.nn 推論推論4.1如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂收斂, 則則 1nn 重要結(jié)論重要結(jié)論: : 發(fā)散發(fā)散. .1lim0nnnn 于是在判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)于是在判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察可先考

5、察lim0.nn ?非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù)條件收斂級(jí)數(shù). .定義定義4.3設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果正項(xiàng)如果正項(xiàng)1nn 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂, 則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 1nn 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理定理4.3若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 則它收斂則它收斂, 1nn 并且并且11.nnnn 補(bǔ)充補(bǔ)充 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以22,nnnnnabab 221111.nnnnkkkkkkkkkabab 綜上可得綜上可得: :因此因此, 如果如果 和和 都絕對(duì)收斂時(shí)都絕對(duì)收斂時(shí), 也也 1nna 1nnb 1nn 絕

6、對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 1nn 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 和和 都絕對(duì)收斂都絕對(duì)收斂. 1nna 1nnb 都收斂都收斂, 故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂. 但是級(jí)數(shù)但是級(jí)數(shù)條件收斂條件收斂, 所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂, 是條件收斂的是條件收斂的.解解 因?yàn)橐驗(yàn)槔?.1 4.1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂是否絕對(duì)收斂? ? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn 1. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義(2) 稱稱 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 g 內(nèi)內(nèi) )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 稱稱 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 g 內(nèi)的內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列復(fù)變函數(shù)序列。,2,1

7、)( nnzf定義定義 設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 g 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，)(zfn的的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為. )( zfn4.1.3 4.1.3 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義(1) 稱稱 為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù) 的的部分和部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定義定義 設(shè)設(shè) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 g 內(nèi)的內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)， )(zfn稱級(jí)數(shù)稱級(jí)數(shù) 在在 點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂。 )(zfnz0則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在區(qū)域如果

8、存在區(qū)域 d g ， 有有 ,dz 此時(shí)，稱此時(shí)，稱)(zs, )()(lim00zszsnn (2) 如果對(duì)如果對(duì) g 內(nèi)的某一點(diǎn)內(nèi)的某一點(diǎn) ，有，有z0則則為為和函數(shù)和函數(shù)，d 為為收斂域收斂域。4.1.3 4.1.3 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 1 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念2 2 冪級(jí)數(shù)的斂散性冪級(jí)數(shù)的斂散性3 3 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)4.1.4 4.1.4 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)(1) 下面主要是對(duì)下面主要是對(duì) 型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論( () )注注1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念其中，其中， 為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。aan,定義定義 稱由下式給出的復(fù)

9、變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)：,)()()(22100 azaazaaazannn( ( i i ) )特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)有時(shí)有0 a.22100 zazaazannn( () )只需將只需將 換成換成 即可應(yīng)用到即可應(yīng)用到 型冪級(jí)數(shù)。型冪級(jí)數(shù)。( ( i i ) )(az z(2) 對(duì)于對(duì)于 型冪級(jí)數(shù)，在型冪級(jí)數(shù)，在 點(diǎn)肯定收斂。點(diǎn)肯定收斂。0 z( () )定理定理4.6 (abel定理定理)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 在在 0nnnc z 10z 處收斂，則當(dāng)處收斂，則當(dāng) 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂; 0nnnc z 1zz 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 在在 處發(fā)散，則當(dāng)處

10、發(fā)散，則當(dāng) 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 發(fā)散發(fā)散. 2. 冪級(jí)數(shù)的斂散性冪級(jí)數(shù)的斂散性(1) 對(duì)所有的復(fù)數(shù)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂都收斂.由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂. .由由 , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 收斂情況有三種收斂情況有三種:0nnnc z (2) 除除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.此時(shí)此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0外處處發(fā)散外處處發(fā)散. (3)存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)z10,使級(jí)數(shù)收斂使級(jí)數(shù)收斂(此時(shí)此時(shí),根據(jù)根據(jù)阿貝爾定理知阿貝爾定理知,它必在圓周它必在圓周|z|=|z1|內(nèi)部絕對(duì)收內(nèi)部絕對(duì)收斂斂),

11、 另外又存在一點(diǎn)另外又存在一點(diǎn)z2,使級(jí)數(shù)發(fā)散使級(jí)數(shù)發(fā)散.(肯定肯定|z2|z1|);根據(jù)阿貝爾定理的推論知根據(jù)阿貝爾定理的推論知,它它必在圓周必在圓周|z|=|z2|外部發(fā)散外部發(fā)散.)如下圖如下圖xyo1z.2z.r收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑收斂圓周收斂圓周 在這種情況下在這種情況下,可以證明可以證明,存在一個(gè)有限正存在一個(gè)有限正數(shù)數(shù)r,使得級(jí)數(shù)在圓周使得級(jí)數(shù)在圓周|z|=r內(nèi)部絕對(duì)收斂?jī)?nèi)部絕對(duì)收斂,在圓周在圓周|z|=r外部發(fā)散外部發(fā)散.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂的收斂范圍是范圍是以原點(diǎn)以原點(diǎn)為中心為中心的圓域的圓域動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)00()nnnczz 的收斂范圍是的收斂范圍是因

12、此，因此，事實(shí)上事實(shí)上, 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問(wèn)題：?jiǎn)栴}：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以以 為中心的圓域?yàn)橹行牡膱A域.0zz 收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別分別, 0, . r規(guī)定為規(guī)定為論比較復(fù)雜論比較復(fù)雜, 沒(méi)有一般的結(jié)論沒(méi)有一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析進(jìn)行具體分析.例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zr收斂圓周收斂圓周均為均為收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn)收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);,1在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點(diǎn)點(diǎn) z在收斂圓周上處處

13、收斂在收斂圓周上處處收斂.解解2111(1).1nnnzszzzzz 1 z1lim1nnsz 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 且有且有在在 內(nèi)內(nèi), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1z 0nnz例例4.24.2 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑的和函數(shù)與收斂半徑.0nnz 所以收斂半徑所以收斂半徑1,r 11.1nnzz 收斂半徑的計(jì)算方法收斂半徑的計(jì)算方法( (一一) )(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 .1 r0 1lim,nnncc ;r (1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 0 0;r (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 定理定理

14、4.7 (比值法比值法)設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 如果如果0.nnnc z 則則收斂半徑的計(jì)算方法收斂半徑的計(jì)算方法( (二二) )(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 .1 r0 lim,nnnc ;r (1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 0 0;r (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂半徑收斂半徑 定理定理4.8 (根值法根值法)設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 如果如果0.nnnc z 則則例例 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂半徑與收斂圓。 02nnnz由由解解221)1(lim|lim nnaannnn,1 收斂圓為收斂圓為.1| z收斂半徑為收斂半徑為,1 r例例 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂

15、半徑與收斂圓。 0!nnnz由由解解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收斂圓為收斂圓為.| z收斂半徑為收斂半徑為, r得得得得例例 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。的收斂半徑與收斂圓。 0)1(112)(nnnzn收斂圓為收斂圓為.1| 1|e z故級(jí)數(shù)的收斂半徑為故級(jí)數(shù)的收斂半徑為,1e r由于由于解解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 1limlim1.1pnnnncncn 練習(xí)練習(xí) 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 1npnnz的收斂半徑的收斂半徑, 其中其中p為正整數(shù)為正整數(shù). .解解 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以1npcn ，于是收斂半徑

16、于是收斂半徑11.r 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令令則在則在 內(nèi)有內(nèi)有rz | 00)(nnnkknkzba1. 冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)p68 4.1.5 4.1.5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2. 冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)即即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收斂圓內(nèi)可以在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分，即即)(zf(1) 函數(shù)函數(shù)在收斂圓在收斂圓 內(nèi)內(nèi)解析解析。rzz |0設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì),|,)()(000rzzzzazfnnn 則則(2) 函

17、數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，得到，)(zfp69 4.1.5 4.1.5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)3. 冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)性質(zhì)性質(zhì) 在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù)又設(shè)函數(shù) 在在 內(nèi)解析，且滿足內(nèi)解析，且滿足)(zgrz |,| )(|rzg 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 在在 內(nèi)收斂，內(nèi)收斂，和函數(shù)和函數(shù)為為性質(zhì)性質(zhì) 0nnnzarz |,)(0 nnnzazf. )( )(0 nnnzgazgf當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有rz |則則4.1.5 4.1.5 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

18、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解解 方法一方法一 利用乘法運(yùn)算性質(zhì)利用乘法運(yùn)算性質(zhì)zzz 1111)1(12)1( )1(22 zzzz,)1(3212 nznzz.1| z方法二方法二 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì))(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z,)()()()()()(11322 nnabazabazabazababazab 111解解)()(11abazbz 其收斂半徑為其收斂半徑為, |abr 收斂圓為收斂圓為. |abaz 一一 taylor定理定理二二 將函數(shù)展開(kāi)成將函數(shù)展開(kāi)成taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)4.2 4.2 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)

19、展開(kāi)成實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開(kāi)成taylor級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)是非常重要的問(wèn)題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)非常重要的問(wèn)題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具. 對(duì)于復(fù)變函數(shù)對(duì)于復(fù)變函數(shù), 我們已經(jīng)知道冪級(jí)數(shù)在收斂我們已經(jīng)知道冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù). 在本節(jié)我們將證明解析在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)在解析點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 這是解析函數(shù)的重要特征這是解析函數(shù)的重要特征. z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf

20、則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有rzz |0定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zfc 為為 d 的邊界，的邊界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，證明證明 ( (略略) ) r.d)()(2110 lnzzzzfil 為為 d 內(nèi)包圍內(nèi)包圍 點(diǎn)的點(diǎn)的z0的任意一條閉曲線。的任意一條閉曲線。 l p70定理定理 4.10 ( (進(jìn)入證明進(jìn)入證明?)?)一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (1) 為什么只能在圓域?yàn)槭裁粗荒茉趫A域 上展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，上展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，rzz |0z0rdc而不是在整個(gè)解析區(qū)域而不是在整個(gè)解

21、析區(qū)域 d 上展開(kāi)？上展開(kāi)？回答回答這是由于受到冪級(jí)數(shù)本身這是由于受到冪級(jí)數(shù)本身的收斂性質(zhì)的限制：的收斂性質(zhì)的限制： 冪級(jí)數(shù)的收斂域必須冪級(jí)數(shù)的收斂域必須是圓域。是圓域。 冪級(jí)數(shù)一旦收斂，其冪級(jí)數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)和函數(shù)一定解析。一定解析。一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (2) 展開(kāi)式中的系數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。還可以用下列方法直接給出。na方法一方法一 101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010 nnnnzzazza, )()(!0)(0)(zpzzanzfnn ,!)(0)(nnanzf . )(!10)(zfnann 一、

22、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (2) 展開(kāi)式中的系數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù) 還可以用下列方法直接給出。還可以用下列方法直接給出。na方法二方法二. )(!1d)()(210)(10zfnzzzzfianlnn 20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10 nnazza nnzzaazf)()(00z0rdcl,020 nai lnzzzzfd)()(10一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (3) 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，用任何方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，用任何方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性。其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性

23、。將函數(shù)將函數(shù) 在在 點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。比如比如zzf 11)(0 z方法一方法一 利用已知的結(jié)果利用已知的結(jié)果( (4.2 ) ):方法二方法二 利用泰勒定理利用泰勒定理 :. )1| (,1112 zzzz方法三方法三 利用長(zhǎng)除法。利用長(zhǎng)除法。.1!)0()( nfann( (長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法) )一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理注注 (4) 對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，能不能在對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，能不能在不具體不具體展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的情況下，就知道其收斂域？的情況下，就知道其收斂域？ 可以知道可以知道。函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，其收斂半徑點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

24、，其收斂半徑)(zf0z結(jié)論結(jié)論等于從等于從 點(diǎn)到點(diǎn)到 的最近一個(gè)奇點(diǎn)的最近一個(gè)奇點(diǎn) 的距離。的距離。0zz)(zf(1) 冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析， 因此奇點(diǎn)因此奇點(diǎn) 不可能不可能理由理由z在收斂圓內(nèi)；在收斂圓內(nèi)；(2) 奇點(diǎn)奇點(diǎn) 也也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑不可能在收斂圓外，不然收斂半徑z還可以擴(kuò)大，還可以擴(kuò)大，故奇點(diǎn)故奇點(diǎn) 只能在收斂圓周上。只能在收斂圓周上。z將函數(shù)展開(kāi)為將函數(shù)展開(kāi)為taylor級(jí)數(shù)的方法級(jí)數(shù)的方法: :1. 直接方法直接方法; 2. 間接方法間接方法.1. 直接方法直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由由taylor定理計(jì)算級(jí)數(shù)

25、的系數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)然后將函數(shù) f (z)在在z0 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例 求求( )zf ze 在在0z 的的taylor展開(kāi)式展開(kāi)式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在所以它在 0z 處的處的taylor級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收斂半徑并且收斂半徑.r 因?yàn)橐驗(yàn)? )zf ze 在復(fù)平面上解析，且在復(fù)平面上解析，且 2. 間接方法間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)

26、運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)逐項(xiàng)積分等積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧和其它的數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的求函數(shù)的taylor展開(kāi)式展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn)間接法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .附附: 常見(jiàn)函數(shù)的常見(jiàn)函數(shù)的taylor展開(kāi)式展開(kāi)式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )

27、1( z)1( z)( z)( z242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例例 求求 21( )(1)f zz 在在0z 點(diǎn)鄰域內(nèi)點(diǎn)鄰域內(nèi) 的的taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 解解11z 是是( )f z的惟一奇點(diǎn)的惟一奇點(diǎn), 且且 101,z 故收斂半徑故收斂半徑1.r 逐項(xiàng)求導(dǎo)，得逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzzn

28、zzz 因?yàn)橐驗(yàn)?111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例例 將函數(shù)將函數(shù) ( )1zf zz 在在01z 處展開(kāi)處展開(kāi) 成成taylor級(jí)數(shù)，并指出該級(jí)數(shù)的收斂范圍級(jí)數(shù)，并指出該級(jí)數(shù)的收斂范圍. 10011(1)( )1( 1)1( 1).222nnnnnnnzzf z 當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí),11,2z 12z .2|1 | ir故收斂半徑故收斂半徑函數(shù)函數(shù) 有奇點(diǎn)有奇點(diǎn)解解)(zf,1 znniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin

29、 .2| iz)()1(1izi 4.3 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”二、羅朗二、羅朗( (laurent) )定理定理三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析引例引例 根據(jù)前面的討論已知，根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)z 110 z展開(kāi)式為展開(kāi)式為. )1| (,1112 zzzz 事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有 一個(gè)奇點(diǎn)，一個(gè)奇點(diǎn)，1 z但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)

30、只能在 內(nèi)展開(kāi)內(nèi)展開(kāi)1| z為為 z 的冪級(jí)數(shù)，的冪級(jí)數(shù)，而在而在 如此廣大的如此廣大的解析區(qū)域解析區(qū)域內(nèi)不能內(nèi)不能1| z展開(kāi)為展開(kāi)為 z 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 有沒(méi)有其它辦法呢？有沒(méi)有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析設(shè)想設(shè)想 這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有由由 ，,1|1 z1| z有有 從而可得從而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪

31、級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析啟示啟示 如果如果不限制不限制一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上展開(kāi)復(fù)平面上展開(kāi)( (除了奇點(diǎn)所在的圓周上除了奇點(diǎn)所在的圓周上) )。 在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”的收斂特性如何呢？的收斂特性如何呢？ 下面將討論下列形式的級(jí)數(shù)下面將討論下列形式的級(jí)數(shù):.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪

32、次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”分析分析2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0將其分為兩部分：將其分為兩部分：正冪次項(xiàng)部分正冪次項(xiàng)部分與與負(fù)冪次項(xiàng)部分負(fù)冪次項(xiàng)部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(a) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(b)(1) 對(duì)于對(duì)于 (a) 式，其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|20rzz (2) 對(duì)于對(duì)于 (b) 式，其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|10rzz 根據(jù)上一節(jié)的討論可知：根據(jù)上一節(jié)的討論可知：nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半

33、徑r收斂收斂時(shí)時(shí),r 101rrzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑r220rzz 收斂域收斂域:)1( 21rr 若若兩收斂域無(wú)公共部分兩收斂域無(wú)公共部分,:)2(21rr 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201rzzr z0r1r2有有公公共共收收斂斂域域21rr z0r2r1無(wú)無(wú)公公共共收收斂斂域域21rr :)1( 21rr 若若兩收斂域無(wú)公共部分兩收斂域無(wú)公共部分,:)2(21rr 兩收斂域有兩收斂域有公共部分公共部分h.201rzzr h一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)

34、收斂，收斂， nnnzza)(0.|201rzzr 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域： 如果只含如果只含正正冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)( (或者加上有限個(gè)或者加上有限個(gè)負(fù)負(fù)冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)) )，特別地特別地則其收斂域?yàn)椋簞t其收斂域?yàn)椋簉zz |00.|00rzz 或或 如果只含如果只含負(fù)負(fù)冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)( (或者加上有限個(gè)或者加上有限個(gè)正正冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)) )，則其收斂域?yàn)椋簞t其收斂域?yàn)椋?|0 zzr 上述兩類收斂域被看作是一種上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域特殊的環(huán)域。一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1)

35、如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，收斂， nnnzza)(0.|201rzzr 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域：而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)和和分析性質(zhì)分析性質(zhì)。(2) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析解析的的, nnnzza)(0 因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為上述形式的級(jí)數(shù)。為上述形式的級(jí)數(shù)。r2z0r1d二、羅（洛）朗二、羅（洛）朗( (laurent) )定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域在圓環(huán)域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfc 為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在

36、圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。0z解析解析,201|:rzzrd 內(nèi)內(nèi)在此圓環(huán)域中展開(kāi)為在此圓環(huán)域中展開(kāi)為則則 一定能一定能)(zf,d)()(2110 cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中，證明證明 ( (略略) ) c p75定理定理 4.12 ( (進(jìn)入證明進(jìn)入證明?)?)說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式洛朗展開(kāi)式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗羅朗(laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzzczf)()(0 注注 (1) 展開(kāi)式中的系數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù) 可以用下面得方法直接給出?？梢杂孟旅娴梅椒ㄖ苯咏o出。na.d)()(

37、2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai cnzzzzfd)()(10二、羅朗二、羅朗( (laurent) )定理定理r2 z0r1cd 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf注注 (2) 羅朗級(jí)數(shù)中的正冪次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱為羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù)中的正冪次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱為羅朗級(jí)數(shù)二、羅朗二、羅朗( (laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(3) 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正負(fù)冪次項(xiàng)一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的。的級(jí)數(shù)是唯一的

38、。(4) 系數(shù)系數(shù) cnnzfia d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函數(shù)若函數(shù) 在圓環(huán)在圓環(huán) 內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則 在在rzz |00)(zf)(zf在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開(kāi)式就是泰勒展開(kāi)式。在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開(kāi)式就是泰勒展開(kāi)式。三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法 根據(jù)羅朗定理，在根據(jù)羅朗定理，在指定指定的解析環(huán)上的解析環(huán)上101( )d .2()nncfaizr2 z0r1cd直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)：直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)： 有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法 根據(jù)唯一性，

39、利用一些已知的展開(kāi)式，通過(guò)有理運(yùn)算、根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開(kāi)式，通過(guò)有理運(yùn)算、代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開(kāi)。代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開(kāi)。 兩個(gè)重要的已知展開(kāi)式兩個(gè)重要的已知展開(kāi)式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)的方法都需要根據(jù)函數(shù)的奇點(diǎn)位置，將復(fù)平面都需要根據(jù)函數(shù)的奇點(diǎn)位置，將復(fù)平面( (或者題目指定或者題目指定無(wú)論是無(wú)論是直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法還是還是間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法，在求展開(kāi)式之前，在求展開(kāi)式之前，注意注意的展開(kāi)區(qū)域的展開(kāi)

40、區(qū)域 ) )分為若干個(gè)解析環(huán)。分為若干個(gè)解析環(huán)。比如比如 設(shè)函數(shù)的奇點(diǎn)為設(shè)函數(shù)的奇點(diǎn)為,321zzz展開(kāi)點(diǎn)為展開(kāi)點(diǎn)為,0z則復(fù)平面則復(fù)平面被分為四個(gè)解析環(huán)：被分為四個(gè)解析環(huán)：0z1z2z3zr1r2r31 2函數(shù)函數(shù) 有兩個(gè)奇點(diǎn)：有兩個(gè)奇點(diǎn)：)(zf,2,1 zz以展開(kāi)點(diǎn)以展開(kāi)點(diǎn) 為中心，為中心，0 z將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個(gè)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)解析環(huán);1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 將函數(shù)進(jìn)行將函數(shù)進(jìn)行部分分式部分分式分解分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1|0 z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函

41、數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz1 2解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2|1 z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz1 2解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， |2z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.1201 nnnz1 2函數(shù)函數(shù) 有兩個(gè)奇點(diǎn)：有兩個(gè)奇點(diǎn)：)(zf,

42、2,1 zz以展開(kāi)點(diǎn)以展開(kāi)點(diǎn) 為中心，為中心，1 z解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個(gè)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)解析環(huán)注意：注意：不需要將函數(shù)進(jìn)行不需要將函數(shù)進(jìn)行部分分式部分分式分解分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：12解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1| 1|0 z(2) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， | 1|1z(2) 將函

43、數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz12次次積積分分等等計(jì)計(jì)算算來(lái)來(lái)獲獲得得。、逐逐次次求求導(dǎo)導(dǎo)、逐逐泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式，經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)代代換換基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的展展開(kāi)開(kāi)式式，可可以以利利用用已已知知等等函函數(shù)數(shù)的的洛洛朗朗對(duì)對(duì)于于無(wú)無(wú)理理函函數(shù)數(shù)及及其其他他初初)1(2)(2)對(duì)于對(duì)于有理函數(shù)有理函數(shù)的的洛朗展開(kāi)式，首先把有理洛朗展開(kāi)式，首先把有理 函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：小結(jié)：把把f (z)展成洛朗展成洛朗( laurent )級(jí)數(shù)的方法：級(jí)數(shù)的方法：a 根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(taylor)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( laurent )級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。(1) 0