312用二分法求方程的近似解

1、課題：§3.1.2用二分法求方程的近似解教學(xué)目標(biāo)：知識巧技能通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方 程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用.過程與方法 能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為 學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備.情感、態(tài)度、價(jià)值觀 體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn) 通過川二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點(diǎn)與方程根z間的聯(lián)系，初 步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識.難點(diǎn)恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定和確度的方程的近似解.教學(xué)程序與環(huán)節(jié)設(shè)計(jì):由二分查找及高次多項(xiàng)式方程的求問題引入.二分法

2、的意義、算法思想及方法步驟.體會函數(shù)零點(diǎn)的意義，明確二分法的適用范圍.二分法的算法思想及方法步驟，初步應(yīng)用二分法解決簡單問題.二分法應(yīng)用于實(shí)際.1. 二分法為什么町以逼近零點(diǎn)的再分析；2. 追尋阿貝爾和伽羅瓦.教學(xué)過程與操作設(shè)計(jì):壞節(jié)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)師生雙邊互動(dòng)創(chuàng)設(shè)情境材料一:二分查找(binary-search)(第六屆全國青少年信息學(xué)(計(jì)算機(jī))奧林匹 克分區(qū)聯(lián)賽提高組初賽試題第15題)某數(shù)列冇1000 個(gè)各不相同的單元，由低至高按序排列；現(xiàn)要對該 數(shù)列進(jìn)行二分法檢索(binary-search),在最壞的悄況 下，需檢索()個(gè)單元。a. 1000 b. 10 c. 100 d. 500 二分法

3、檢索(二分查找或折半查找)演示.材料二：高次多項(xiàng)式方程公式解的探索史料 由于實(shí)際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù) y = /(x)的零點(diǎn)(即/(%) = 0的根),對于/(x)為 一次或二次兩數(shù)，我們有熟知的公式解法(二次時(shí)， 稱為求根公式).在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根 公式，但對于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直 沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾(abel)和 伽羅瓦(galois)的研究，人們認(rèn)識到高于4次的 代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運(yùn) 算及根號表示的一般的公式解.同時(shí)，即使對于3 次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜， 一般來講并不適宜作具體計(jì)算

4、.因此対于高次多項(xiàng) 式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必耍尋求其零點(diǎn)的近 似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課 題.師：從學(xué)生感興趣的計(jì) 算機(jī)編程問題，引導(dǎo)學(xué) 生分析二分法的算法 思想與方法，引入課 題.綸：體會二分查找的思 想與方法.師：從高次代數(shù)方程的 解的探索歷程，引導(dǎo)學(xué) 生認(rèn)識引入二分法的 意義.組織探究二分法及步驟：對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷，且滿足 /(d)/(/?) < 0的函數(shù)y = /(兀)，通過不斷地把 函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的 兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方 法叫做二分法.給定精度£,用二分法求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)近 似

5、值的步驟如下：1. 確定區(qū)間s，列,驗(yàn)證f(a) f(b) < 0, 給定精度2. 求區(qū)間(a, b)的中點(diǎn)兀1；3計(jì)算/、(州)：師：闡述二分法的逼近 原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二 分法的算法思想，明確 二分法求函數(shù)近似零 點(diǎn)的具體步驟.分析條件“/(a) f(b)<0”、 “精度£ ”、“區(qū)間中 點(diǎn)”及 aa-b<eff 的意義.壞節(jié)呈現(xiàn)教學(xué)材料師生互動(dòng)設(shè)計(jì)組織探 究若/（%,）=（）,則州就是函數(shù)的零點(diǎn)；®若/（d）/（州）vo,則令b=x.（此時(shí)零 點(diǎn) x（）w）；若心） /（/?）<0,則令"旺（此時(shí)零 點(diǎn)兀° e （xpz?）

6、；4.判斷是否達(dá)到精度即若a-b<s,則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值g （或）； 否則重復(fù)步驟24.生：結(jié)合引例“二分查 找”理解二分法的算法 思想與計(jì)算原理.師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解 求區(qū)間（a, “）的中點(diǎn)"亠、ja+b的方法兀=£例題解析：例1.求函數(shù)/（x）= x3 + x -2x-2的一個(gè) 正數(shù)零點(diǎn)（精確到0.1 ）.分析：首先利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算 器畫出函數(shù)圖象，確泄函數(shù)零點(diǎn)人致所在的區(qū)間， 然后利用二分法逐步計(jì)算解答.解：（略）注意：第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，/?）, 可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡 量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通常

7、 可確定一個(gè)長度為1的區(qū)間；©建議列表樣式如下：師：引導(dǎo)學(xué)生利用二分 法逐步尋求函數(shù)零點(diǎn) 的近似值，注意規(guī)范方 法、步驟與書寫格式.生：根據(jù)二分法的思想 與步驟獨(dú)立完成解答， 并進(jìn)行交流、討論、評 析.師:引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù) 單調(diào)性確定方程解的 個(gè)數(shù).生：認(rèn)真思考，運(yùn)用所 學(xué)知識尋求確定方程 解的個(gè)數(shù)的方法，并進(jìn) 行、討論、交流、歸納、 概括、評析形成結(jié)論.零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)兩數(shù)值區(qū)間長度1，2/(1.5)>011, 1.5/(1.25)<00.51.25, 1.5/(1.375)<00.25如此列表的優(yōu)勢：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長度小 于精度吋，即為計(jì)算的最后一步.例2.

8、借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程 2”+3兀=7的近似解（精確到0.1 ）解：（略）.思考：本例除借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)確定方程解 所在的大致區(qū)間和解的個(gè)數(shù)外，你是否述可以想到 有什么方法確定方程的根的個(gè)數(shù)？結(jié)論：圖象在閉區(qū)間q,切上連續(xù)的單調(diào)函 數(shù)/（x）,在（g, b）上至多有一個(gè)零點(diǎn).探究與發(fā)現(xiàn)豔燈m脇時(shí)q時(shí) 毗卻刪 “ x* j > o- o- 丿 ixfv j x)z 11 土4土 / 一 一 1刃刃廣老占小老占小 2-糞婦軸掌簫 “ 度義冬眇 從和意3怯 導(dǎo)”零屆確 引形數(shù)見明 “ 函常，圍 師和會握法范嘗試練習(xí)大 的或 0 叛m艮 20個(gè)go乞點(diǎn) 、數(shù) 的 b啟的 禹林 m 一一劃j 洋的 數(shù) y分o d解 宀頭數(shù)毛sa h的 m函賽 題s 3=0與忻釣 11 x nm .- 一.2 1 13+ 220 , 習(xí)題” ；-y=點(diǎn)乞 練習(xí)0g間y 交與 06081區(qū) 0 魏無個(gè) pip1程在程 函冇一 材材方所方究象出 教教求致求探圖給 )z )z x»7 )z >