七年級思維探究(25)多邊形的邊與角

1、泰勒斯（公元前前），古希臘學者，西方理性數(shù)學的倡導者，素有“科學之父”的美稱他不滿足于直觀的感性的特殊認識，崇尚抽象的理性的一般的知識，發(fā)現(xiàn)了許多平面幾何定理，泰勒斯在天文學方面也有不同凡響的工作，相傳他曾測知公元前年月日的一次日全食，他不愧于其墓碑上鐫刻的頌詞：“他是一位圣賢，又是一位天文學家，在日月星辰的王國里，他頂天立地，萬古流芳”25多邊形的邊與角解讀課標大街上的人行道，裝修一新的居家，在許多地方，我們可以看到由各種形狀（呈多邊形）的地磚或瓷磚鋪成的漂亮的地面和墻面一般地，由條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為邊形，又稱多邊形邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念多邊形的

2、許多性質(zhì)?？梢杂萌切蝸碚f明、解決，連對角線或向外補形，是把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基本策略多邊形的內(nèi)角和性質(zhì)反映出一定的規(guī)律性：隨的變化而變化，而多邊形的外角和性質(zhì)反映出更本質(zhì)的規(guī)律：外角和是的一個常數(shù)把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動是解多邊形相關問題的常用技巧問題解決例1 如圖，_試一試 運用三角形外角的性質(zhì)，或連線運用對頂三角形的性質(zhì)，把分散的角加以集中例2 凸多邊形恰好有三個內(nèi)角是鈍角，這樣的多邊形邊數(shù)的最大值是（ ）A B C D試一試 把凸多邊形內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題例3 凸邊形除去一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為，求的值試一試 設除去的角為，可建立關于，的不定方程；又，又可得

3、到關于的不等式，故有兩種解題途徑，注意為自然數(shù)的隱含條件例4 如圖，四邊形中，已知，于，于證明：試一試 從四邊形內(nèi)角和入手角星例5 （1）如圖，任意畫一個五角星，求度數(shù)（2）如圖，用“一筆畫”方法畫成的七角形，求度數(shù)（3）如圖，用“一筆畫”方法畫成的角形，且是凸邊形，求度數(shù)分析 從特殊到一般，將所求的度數(shù)用相關三角形、凸多邊形內(nèi)角和的式子表示解 （1）（2）（3）（個三角形，的內(nèi)角總和減去多邊形外角和的倍）完全多邊形把平面上的一些點以及這些點中某些點之間連接的線段，稱為一個圖如圖，這樣的圖有個點，每兩點之間都有一條線，稱為完全六邊形一個完全邊形共有條連線例6 證明：任何個人中，必有個人互相認識

4、，或者有個人互相不認識分析與解 借助圖表示這一抽象的思想用點，代表個人，兩個人互相認識則在對應的兩點間連一條紅邊，否則連一條藍邊，問題轉(zhuǎn)化為圖中必有三邊同色的三角形考慮與條引線，因為只染了兩種顏色，由抽屜原理知必有條同色，不妨設，同為紅色；若，中有紅邊，則有紅色；若，無紅邊，則為藍色三角形，無論哪種情況，圖中都有同色三角形數(shù)學沖浪知識技能廣場1如圖，、是五邊形的個外角，若，則_2如圖，將一塊正六邊形硬紙片做成一個底面仍是正六邊形且高相等的無蓋紙盒（側(cè)面均垂直于底面，如圖），需在每一個頂點處剪去一個四邊形，如圖中的四邊形，那么的度數(shù)為_3如圖，的度數(shù)為_4用個全等的正八邊形進行拼接，使相鄰的兩個

5、正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖，用個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則的值為_5將五邊形紙片按如圖所示的方式折疊，折痕為，點、分別落在、'上，已知，則等于（ ）A B C D6如圖，已知正五邊形中，則（ ）A B C D7一個凸多邊形的每一內(nèi)角都等于，那么，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（ ）A條 B條 C條 D條8一個凸邊形，除一個內(nèi)角外，其余個內(nèi)角的和是，則的值是（ ）A B C D不能確定9如圖，已知，求的度數(shù)10如圖，在四邊形中，、分別平分和求證：思維方法天地11從凸邊形的一個頂點引出的所有對甬線把這

6、個凸邊形分成了個小三角形，若等于這個凸邊形對角線條數(shù)的，那么此邊形的內(nèi)角和為_12一個多邊形截去一個（三角形狀的）角后，形成另一個多邊形，其內(nèi)角和是，則原多邊形是_邊形13如圖，設，則_14如圖，的度數(shù)為_15如圖，的度數(shù)等于（ ）A B C D16在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其內(nèi)角之和為，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ）A B或 C D或17有一個邊長為的正六邊形客廳，用邊長為的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚（ ）A塊 B塊 C塊 D塊18一位模型賽車手遙控一輛賽車，先前進一米，然后原地逆時針方向旋轉(zhuǎn)，被稱為一次操作，若次操作后發(fā)現(xiàn)賽車回到出發(fā)點，則角為（ ）A B或 C D或19如圖，在凸

7、六邊形中，已知成立，試證明：該六邊形必有兩條對邊是平行的20已知凸四邊形中，（1）如圖，若平分，平分的鄰補角，判斷與的位置關系并證明；（2）如圖，若、分別平分、的鄰補角，判斷與的位置關系并證明應用探究樂園21（1）如圖，把等邊三角形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作等邊三角形，并去掉居中的那條線段，得到一個六角星，則這個六角星的邊數(shù)是_；（2）如圖，在的網(wǎng)格中有一個正方形，把正方形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正方形，并去掉居中的那條線段請你把得到的圖形畫在圖中，并寫出這個圖形的邊數(shù)；（3）現(xiàn)有一個正五邊形，把正五邊形的各邊三等分，分別以居中那條線段為一邊向外作正五邊形

8、，并去掉居中的那條線段，得到的圖形的邊數(shù)是多少？22平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關系（1）如圖，若，點在，外部，則有，又因為是的外角，故，得將點移到，內(nèi)部，如圖，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則，之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論；（2）如圖中，將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線于點，如圖，則，之間有何數(shù)量關系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結論，求圖中的度數(shù)微探究平面鑲嵌平面鑲嵌就是用同樣形狀的平面幾何圖形無縫隙又不重復地鋪滿整個平面我們研究的鑲嵌是：鑲嵌的正多邊形的邊長都相等，每個頂點都是同樣數(shù)目的一些同樣形式的多邊形的公共點鑲嵌的實質(zhì)在于，圍繞一點拼在一起的若干

9、個多邊形的內(nèi)角加在一起恰為，鑲嵌圖案有下列多種方式：1任意三角形和任意四邊形都能鑲嵌；2用同一種正多邊形進行鑲嵌；3用幾種正多邊形組合鑲嵌對于（2）、（3），可以證明：能鑲嵌整個平面的只有種如圖：例1 用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點拼在一起，剛好能完全鋪滿地面，設正多邊形的邊數(shù)為、，則的值為_試一試 從建立、的等式入手例2 現(xiàn)有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等，同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）A種 B種 C種 D種試一試 假設選擇正三角形與正方形，設在一個頂點周圍有個正三角形，個正方形，則，即，將問題轉(zhuǎn)化為求不定

10、方程正整數(shù)解，類似探討其他選擇方式例3 問題再現(xiàn)現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設計中隨處可見，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題，今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面，如圖，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個頂點周圍圍繞著個正方形的內(nèi)角試想：如果用正六邊形來鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該圍繞著_個正六邊形的內(nèi)角問題提出如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設計出幾種不同的組合方案？問題解決猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面

11、鑲嵌？分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決，從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角驗證1：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有個正方形和個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角根據(jù)題意，可得方程：，整理得：，我們可以找到唯一一組適合方程的正整數(shù)解為結論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著個正方形和個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照

12、上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由驗證2：_結論2：_上面，我們探究了同時用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分組合方案，相信同學們用同樣的方法，一定會找到其他可能的組合方案問題拓展請你依照上面的研究方式，探索出一個同時用三種不同的正多邊形組合進行平面鑲嵌的方案，并寫出驗證過程猜想3：_驗證3：_結論3：_拼圖的背后例4 同時用邊長相等的正三角形和正方形拼（無重疊無間隙）凸多邊形，能拼成怎樣的凸多邊形？分析 要得到完整的解答，需將問題轉(zhuǎn)化為解方程組解 設可以拼成凸邊形，邊形的內(nèi)角只可能是，并設其個數(shù)分別為，（，為大于等于零的整數(shù)）則由得 得 由此可

13、見，拼得的多邊形最大邊數(shù)為下面我們分情況一一探討（1）當時，由，得，這說明可以拼成十二邊形，且這十二邊形的每個內(nèi)角均為，如圖（2），當時，由，得，這說明，可以拼成十一邊形，且這十一邊形中有一個內(nèi)角為，其余各內(nèi)角均為，如圖（3）當時，由，得，這說明可以拼成十邊形，且這十邊形中有個內(nèi)角為，有個內(nèi)角為，如圖（4）當時，由，得，這說明可以拼成九邊形，且這九邊形中有個內(nèi)角為，有個內(nèi)角為，如圖同理，可以拼成八邊形、七邊形、六邊形、五邊形，分別如圖、練一練1用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來鋪設廣場，中間的正六邊形瓷磚記為，定義為第一組；在它的周圍鋪上塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組；在第二組

14、的外圍用同樣大小的正六邊形瓷磚來鋪滿，定義為第三組按這種方式鋪下去，用現(xiàn)有的塊瓷磚最多能完整地鋪滿_組，還剩_塊瓷磚2花團錦簇有一個正六邊形花壇，周圍用同樣規(guī)格的正三角形、正方形磚塊鋪路，按圖示方法從花壇向外鋪圈，共需磚_塊，其中正三角形磚_塊若鋪圈，則共需磚_塊3有下列五種正多邊形地磚：正三角形；正方形；正五邊形；正六邊形；正八邊形，現(xiàn)要用同一種大小一樣、形狀相同的正多邊形地磚鋪設地面，其中能做到彼此之間不留空隙、不重疊地鋪設的地磚有（ ）A種 B種 C種 D種4如圖，一個正方形水池的四周恰好被個正邊形地板磚鋪滿，則等于（ ）A B C D5在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常

15、用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌），這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角（）時，就拼成了一個平面圖形（1）請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格；正多邊形邊數(shù)正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由微

16、探究三角形三邊關系三角形的三邊關系是三角形最基本的性質(zhì)，是解決三角形計數(shù)、研究線段不等關系、探討幾何最值等問題的基礎例1 不等邊三角形的兩條高的長度分別為和，若第三條高的長度也是整數(shù)，那么這條高的長度等于_試一試 設的面積為、第三條高的長為，則三邊都可用的代數(shù)式表示，由三邊關系建立關于的不等式組例2 已知三角形的三邊、的長都是整數(shù)，且，如果，則這樣的三角形共有（ ）A個 B個 C個 D個試一試 的取值范圍是明確的，依三角形三邊關系，可確定的取值范圍，列表枚舉出所有的可能性例3 如圖，已知為內(nèi)任一點（1）與哪個大？證明你的結論；（2）與哪個大？證明你的結論試一試 對于（2），解題的關鍵是先證明：

17、， ，例4 現(xiàn)有長為的鐵絲，要截成小段，每段的長為不小于的整數(shù)如果其中任意小段都不能拼成三角形，試求的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的段？試一試 因段之和為定值，故欲盡可能的大，必須每段的長度盡可能的小，這樣依題意可構造一個數(shù)列整邊三角形例5 將長度為的一根鉛絲折成各邊均為整數(shù)的三角形，記為三邊分別為，且的一個三角形（1）試盡可能多地寫出滿足題意的；（2）你能否提出一些進一步的問題？分析與解 （1）由題意可知，且，由此得，即，故滿足題意的共有如下組：；（2）以下問題供參考：將長度為的線段折成各邊均為整數(shù)的三角形，求最大邊的邊長的取值范圍；將長度為的線段折成各邊均為整數(shù)的四邊形，可得

18、多少個不同的四邊形？練一練1現(xiàn)有、長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數(shù)是_2若三角形的周長是偶數(shù)，其中有兩邊的長是和，則這個三角形是_三角形（按邊分類）3如圖，加油站和商店在馬路的同一側(cè)，到的距離大于到的距離，一個行人在馬路上行走問：當?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時，這個差等于_米4將長度為的細鐵絲折成邊長都是質(zhì)數(shù)（單位：厘米）的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是、，且滿足，則有_組解，所構成的三角形都是_三角形5三角形的三邊長為，那么的取值范圍是（ ）A B C D6三角形三邊的長都是正整數(shù)，其中最長邊的長為，這樣的三角形有（ ）A種 B種 C種 D種7條長

19、度均為整數(shù)的線段，滿足，且這條線段中的任意三條都不能構成三角形，若，則（ ）A B C D8已知的兩條高線的長分別為、，若第三條高線的長也是整數(shù)，則第三條高線長的最大值為（ ）A B C D9在平面內(nèi)，分別用根，根，根，火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表如下所示：火柴數(shù)示意圖形狀等邊三角形等腰三角形等邊三角形問：（1）根火柴能搭成三角形嗎？（2）根、根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？畫出它們的示意圖10有長度分別為、（單位：）的細木棒各根，利用它們（允許連接加長但不允許折斷）能夠圍成多少種周長不同的等邊三角形？11周長為，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？25

20、多邊形的邊與角問題解決例1 連，四邊形的內(nèi)角和例2 C 設凸多邊形的邊數(shù)為，個內(nèi)角中恰有三個是銳角，則其余個外角中將是鈍角或直角，而外角中鈍角或直角的個數(shù)不超過，即，解得例3 設除去的角為，則，得，例4 ，又，故數(shù)學沖浪1 2 34 得到的正多邊形的一個內(nèi)角為5B 6D 7D 8B 910，又，得，故11 12十八邊形，或十九邊形或二十邊形13 14 連 15C16D 設這個多邊形為邊形（為正整數(shù)），由，得，或17C 18D 19可以證明20（1）；（2）（證明略）21（1）；（2）這個圖形的邊數(shù)是（如圖所示）；（3）得到的圖形的邊數(shù)是22（1）不成立，結論是（2）結論：（3）平面鑲嵌（微探究

21、）例1 依題意有：，化簡得例2 B 用兩種正多邊形密鋪地面的組合有：正三角形和正六邊形、正三角形和正方形、正方形和正八邊形，共種例3 問題再現(xiàn)：驗證2：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角根據(jù)題意，可得方程：整理得：，可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為和結論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著個正三角形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌猜想3：是否可以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合進行平面鑲嵌？驗證3：在鑲嵌平面時，設圍繞某一點有個正三角形、個正方形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角根據(jù)題意，可得方程：，整理得：，可以找到唯一一組適合方程的正整數(shù)解為結論3：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著個正三角形、個正方形和個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形、正方形和正六邊形三種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌練一練1鋪滿組時，所用瓷磚總數(shù)為當時，當時，故最多能