傳染病模型建模

1、傳染病模型建模14對(duì)傳染病的傳播的研究摘 要 本文以常見傳染病的傳播為研究方向，并結(jié)合微分方程的知識(shí)建立傳染病的傳播與控制模型。在模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用matlab軟件擬合出患者人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系曲線，從而能夠從圖中直觀地對(duì)該病的傳播作出分析并提出應(yīng)對(duì)措施。 在問題一，我們把該地區(qū)人群分為五類：患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。在對(duì)該傳染病擴(kuò)散與傳播的控制模型的建立中，我們將疑似患者看作是潛伏期患者，主要考慮各項(xiàng)人數(shù)的增減情況，通過單位時(shí)間內(nèi)正常人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)潛伏期患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化、單位時(shí)間內(nèi)非參與者人數(shù)的變化聯(lián)系建立微分方程模型。 在問題二、三中，利用所建

2、立的微分方程模型代入給出的數(shù)據(jù)，從而用matlab擬合出各項(xiàng)人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，分析所得圖形及其合理性，得到有關(guān)該傳染病的信息。 在問題四中，根據(jù)以上所建立的模型，提出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施：一旦發(fā)現(xiàn)患病情況就及時(shí)去醫(yī)院就診；加大隔離措施強(qiáng)度；個(gè)人應(yīng)養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，勤洗手，多通風(fēng)，減少與病菌的接觸可能，適當(dāng)鍛煉來防止被傳染。關(guān)鍵詞：傳染病 微分方程模型 matlab 曲線擬合 應(yīng)對(duì)措施目錄對(duì)傳染病的傳播的研究2摘 要2一、問題重述41.1. 相關(guān)情況41.2. 問題的提出4二、模型假設(shè)4三、符號(hào)的約定和說明5四、對(duì)問題一的解答54.1. 問題分析54.2. 模型準(zhǔn)備64.3. 模型的建立7五、對(duì)

3、問題二的解答85.1. 問題分析85.2. 模型的建立85.3. 結(jié)果分析9六、對(duì)問題三的解答96.1. 問題分析96.2. 模型的建立96.3. 結(jié)果分析106.4. 對(duì)隔離強(qiáng)度的靈敏度分析11七、對(duì)問題四的解答11八、模型的評(píng)價(jià)及推廣128.1. 模型的優(yōu)缺點(diǎn)128.2. 模型的推廣13九、附錄：14一、問題重述1.1. 相關(guān)情況2013年，某種傳染病的出現(xiàn)成為熱點(diǎn)，尤其是其高致死率，引起了人們的恐慌，最近又有研究顯示，這種傳染病有變異的可能現(xiàn)在假設(shè)有一種未知的病毒潛伏期為-天，患病者的治愈時(shí)間為天，假設(shè)該病毒可以通過人與人之間的直接接觸，患者每天接觸的人數(shù)為，因接觸被感染的概率為 (為感

4、染率) 為了控制疾病的傳播與擴(kuò)散，將人群分成五類，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人潛伏期內(nèi)的患者被隔離的比例為（為潛伏期內(nèi)患者被隔離的百分?jǐn)?shù)）。1.2. 問題的提出問題一：在合理的假設(shè)下建立該病毒擴(kuò)散與傳播的控制模型。問題二：利用你所建立的模型對(duì)如下數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬： , 初始發(fā)病人數(shù)100，疑似患者210，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離由上面的數(shù)據(jù)請(qǐng)給出患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線，并分析所給結(jié)果的合理性。問題三：隔離強(qiáng)度由30%提高到80%，患者人數(shù)將有何變化。問題四：請(qǐng)據(jù)此模型，給出控制此傳染病傳播的建議。二、模型假設(shè)1、 在該傳染病的考察期內(nèi)，該考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為常數(shù)，不考慮人口流

5、動(dòng)。2、 將病毒的所有傳播途徑都視為與病原體的直接接觸造成。3、 忽略該考察時(shí)間內(nèi)人口的自然死亡率和出生率。4、 被隔離的人群完全斷絕與外界的接觸，因此不具有傳染性。5、 被治愈者獲得抗體，不考慮其二次傳染患病。6、 將治愈者和死亡者定義為非參與者，即退出研究的傳染病傳播體系。7、 疑似患者即為潛伏期的患者，是被有效接觸后具有傳染性且傳染概率也為，經(jīng)過隔離治療可轉(zhuǎn)為治愈者（非參與者），治愈時(shí)間為天。8、 潛伏期患者和確診患者接觸傳染的均為易感病正常人，且均將其傳染為潛伏期患者。三、符號(hào)的約定和說明：確診患者：潛伏期患者（即疑似患者)：非參與者（痊愈和死亡的患者)：普通易感的正常人：潛伏期患者和

6、確診患者的傳染概率：傳染性病毒的潛伏期：潛伏期患者和確診患者被治愈的時(shí)間：該地區(qū)總?cè)藬?shù)：該人群的人均每天接觸人數(shù)：潛伏期內(nèi)患者被隔離的百分?jǐn)?shù)四、對(duì)問題一的解答4.1. 問題分析根據(jù)人口守恒的前提，排除人口出生率、自然死亡率以及人口的流動(dòng)，使該考察地區(qū)的總?cè)丝诒３植蛔?，所以將該地區(qū)分為：確診患者：潛伏期患者（被病毒有效接觸后有傳染性的人)：非參與者（痊愈和死亡的患者）：普通易感者（正常人）建立上述五種情況的人數(shù)在單位時(shí)間變化的微分方程模型。由上述五類得到以下關(guān)系圖： 圖表 1正常人潛伏期患者確診患者治愈者（非參與者）隔離治療死亡者（非參與者）被未隔離潛伏期患者傳染潛伏期被未隔離確診患者傳染4.2

7、. 模型準(zhǔn)備 （1） 單位時(shí)間內(nèi)正常人數(shù)變化： 易感正常人與未隔離潛伏期病人及確診患者接觸后均變?yōu)闈摲诨颊?，結(jié)合以上所給信息 故 即 ··················（1）（2） 單位時(shí)間內(nèi)潛伏期患者（疑似患者）人數(shù)變化： 潛伏期患者的數(shù)量變化為正常人被感染為潛伏期患者人數(shù)減去潛伏期患者被治愈和轉(zhuǎn)為確診患者的人數(shù)，結(jié)合以上信息 即 ······

8、3;（2）（3）單位時(shí)間內(nèi)確診患者人數(shù)變化： 確診患者人數(shù)為潛伏期患者轉(zhuǎn)變?nèi)藬?shù)減去被治愈人數(shù) 即 ·····························（3）（4） 單位時(shí)間內(nèi)非參與者的人數(shù)變化： 非參與者人數(shù)為確診患者被治愈人數(shù)或死亡數(shù) 即 ·····&

9、#183;···························（4）（5） 總?cè)藬?shù)： ····················&

10、#183;······（5） 對(duì)模型的部分說明：1、傳染病毒的平均潛伏期為，即單位時(shí)間內(nèi)潛伏期病人以比例常數(shù)，轉(zhuǎn)為感染者；2、確診病人平均死亡或痊愈的療程為,即單位時(shí)間感染者的治愈率為；3、潛伏期患者平均療程為，即單位時(shí)間內(nèi)潛伏期患者的治愈率為；4、單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)易感者與病人的接觸率參數(shù)為；4.3. 模型的建立其中， ， ，為系統(tǒng)中各類的初始值。五、對(duì)問題二的解答5.1. 問題分析該問題是建立在問題一的基礎(chǔ)上，利用問題一所建立的模型，代入題二中給出的數(shù)據(jù)，用matlab解該微分方程并得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線，然后對(duì)曲線圖對(duì)該傳染病

11、的擴(kuò)散和傳播進(jìn)行分析。5.2. 模型的建立 , 初始發(fā)病人數(shù)100（即），疑似患者210（即），患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離。這樣可以得到患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線（如下圖）： 圖表 25.3. 結(jié)果分析 從上圖中可以看出患者人數(shù)先隨時(shí)間急劇升高，說明這是病毒傳播初期未有效控制的發(fā)展趨勢(shì)，然后可以看到最高點(diǎn)（第13.31天）患者人數(shù)達(dá)到最大值7817000人，隨后通過對(duì)確診患者和潛伏期患者進(jìn)行隔離治療，使患病人數(shù)開始較平穩(wěn)下降，并在100天后患者人數(shù)下降到2006000人，說明病情得到了有效控制，且可以看出該結(jié)果與實(shí)際情況相符，有良好的合理性。六、對(duì)問題三的解答6.1. 問題分析該問題是

12、建立在問題二的基礎(chǔ)上，利用問題二建立的模型，提高值得到新的患者人數(shù)隨時(shí)間變化的曲線圖，并與問題二中曲線圖作對(duì)比，分析患者人數(shù)的變化情況，從而可知道隔離強(qiáng)度大小對(duì)疫情控制的影響。6.2. 模型的建立問題三中, 初始發(fā)病人數(shù)100（即），疑似患者210（即），患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離。這樣可得到與問題二的對(duì)比圖（綠線為的圖，藍(lán)線為的圖）：6.3. 結(jié)果分析分析綠線可以看到病毒傳染初期患者人數(shù)依然急劇升高，最高點(diǎn)（第12.65天）患者人數(shù)達(dá)到最大值7555000人，100天后下降到1921000人。最大值時(shí)間(天）患病人數(shù)最大值（人）隔離措施強(qiáng)度p患病入院天數(shù)n（天）人均每天接觸人數(shù)r（

13、人）問題二13.317.817×10630%210問題三12.657.555×10680%210對(duì)比與（即綠線與藍(lán)線），可以看出患者人數(shù)在病毒傳染初期發(fā)展趨勢(shì)大致一樣，但是明顯可以看出與相比，達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)間明顯提前且最多患者人數(shù)更小，且在100天后患者人數(shù)小于時(shí)人數(shù)。從對(duì)比中可以看出，提高隔離強(qiáng)度可以更好地控制疫情，減少患病人數(shù)。6.4. 對(duì)隔離強(qiáng)度的靈敏度分析對(duì)于該問題中的隔離強(qiáng)度由30%變?yōu)?0%，通過問題三的圖像中兩條曲線的對(duì)比，可以看出：當(dāng)增大后患者人數(shù)最大值相較于問題二來說減少了，同時(shí)達(dá)到最大值的時(shí)間減少了，而且疫情消退的時(shí)間也稍微減短了，這說明隔離前度增大時(shí)患

14、者人數(shù)的最高峰減少了，同時(shí)達(dá)到最高峰的時(shí)間也相應(yīng)的減短了。因此政府和意愿 應(yīng)盡量增大隔離強(qiáng)度。七、對(duì)問題四的解答隨著社會(huì)的進(jìn)步，科技的發(fā)展，一般的傳統(tǒng)的傳染病都能得到及時(shí)的防御和治療。要想及時(shí)有效地控制傳染病的擴(kuò)散和傳播，關(guān)鍵在于盡早得到治療。根據(jù)題目我們建立出模型： 從模型中我們可以看出正常人的減少是由于被潛伏期患者以及確診患者的傳染，所以為了有效控制病情的惡性蔓延，應(yīng)該一旦發(fā)現(xiàn)病情則立即前往醫(yī)院隔離治療。從問題二中的結(jié)果看來，同樣也反映了這樣的情況。相同的隔離程度下，發(fā)現(xiàn)并且隔離的時(shí)間越早，累計(jì)的患者數(shù)量越少。政府和醫(yī)院需要提高警惕，一旦察覺到有疫情的產(chǎn)生就要采取相應(yīng)的疫情防范措施，疑似患

15、者需要及時(shí)去醫(yī)院進(jìn)行確診，既保護(hù)自己，又防止有更多人感染，在疫情發(fā)生階段，盡量減少與外人的接觸。模型中越大，越少，而增加也越來越少，因此對(duì)疫情的控制有很好的效果。從問題三的結(jié)果中得出，在相同隔離時(shí)間下，隔離強(qiáng)度越大，疫情時(shí)間持續(xù)越短，累計(jì)的患者數(shù)量越少。所以政府和醫(yī)院需要增強(qiáng)隔離強(qiáng)度，做好防御措施，減少拖延患者前去醫(yī)院治療的時(shí)間，加派醫(yī)生，保證醫(yī)療設(shè)施和醫(yī)護(hù)人員的齊全，普通易感者也需要在家做好殺毒措施，保持通風(fēng)，注意家人衛(wèi)生，并使用84消毒藥水拖地，做好殺菌工作。結(jié)合模型和問題二、三的曲線圖看來，曲線的拖尾較長(zhǎng)，說明此次疫情持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，需要長(zhǎng)時(shí)間的防護(hù)措施應(yīng)對(duì)來縮短疫情周期，以避免二次疫情高峰

16、的可能性。所以，防止患病的關(guān)鍵在于自己應(yīng)提高防范意識(shí)，不可以懈怠，提升警惕性；少去人流量大的地方；多做運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)身健體；勤洗手，多通風(fēng)，養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣；早睡早起，保證營養(yǎng)，增強(qiáng)個(gè)人免疫力。而在醫(yī)療方面，衛(wèi)生部應(yīng)加大隔離防治措施力度，且改進(jìn)醫(yī)療手段，使治愈時(shí)間減小來控制疫情。八、模型的評(píng)價(jià)及推廣8.1. 模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型的優(yōu)點(diǎn)：(1) 、將醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行分析和討論，可以清楚地定量地得出傳染病的發(fā)展趨勢(shì)和高峰以及未來的預(yù)測(cè)，具有很強(qiáng)的可靠性和實(shí)用性。(2) 、模型中各個(gè)變量的關(guān)系明確，易于模型的求解。(3) 、本文的數(shù)學(xué)模型是以連續(xù)的微分方程為基礎(chǔ)，不會(huì)得出準(zhǔn)確的解析解，本文在

17、合理的參數(shù)確定的前提下，將參數(shù)進(jìn)行擬合，準(zhǔn)確模擬出傳染病的發(fā)展趨勢(shì)和走向的曲線，從宏觀的角度上給社會(huì)一個(gè)清晰的概念，易于被社會(huì)接受，對(duì)政府和醫(yī)院控制疫情傳播提供有效地幫助，具有一定地實(shí)用價(jià)值和直觀性。模型的缺點(diǎn)：(1)、采用微分方程方法建立數(shù)學(xué)模型，易受外界因素變化的影響，其穩(wěn)定性具有相對(duì)性。(2)、模型中的參數(shù)變量有其自身的隨機(jī)性，雖然本文對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均的處理方法，但在計(jì)算過程中存在誤差。(3)、模型中涉及的參數(shù)較多，在實(shí)際生活中很難確定各參數(shù)，因此模型具有理想化。8.2. 模型的推廣 本文建立的傳染病模型的方法和思維對(duì)其他類似的問題也能很實(shí)用，可廣泛應(yīng)用于人口、腫瘤、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等方

18、面。根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而可以推廣產(chǎn)生sir模型。該模型是對(duì)進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法，是根據(jù)種群生長(zhǎng)的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播、發(fā)展規(guī)律以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性，定量分析和數(shù)值模擬，來分析疾病的發(fā)展過程，揭示流行規(guī)律，預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。參考文獻(xiàn)：1.楊啟凡，數(shù)學(xué)建模，浙江：浙江大學(xué)出版社，2006.62.卓金武，matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.43.姜啟源，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，2006.74.姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第

19、三版），北京：高等教育出版社，2003.85.6.梁國業(yè)等，數(shù)學(xué)建模，北京：冶金工業(yè)出版社，2004.97.韓中庚等，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005.68.龔春 王正林等，精通matlab最優(yōu)化計(jì)算，北京：電子工業(yè)出版社 ，2009.4九、附錄：?jiǎn)栴}二新建m文件夾:function x=pencil(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.3;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+

20、b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)'在命令窗口內(nèi)輸入： t,x=ode23s(pencil,0,100,s0) plot(t,x(:,3); hold on text(0,100,'(0,100)','color','r') text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color','r') text(100,2.006e+006,'(100,2.

21、006e+006)','color','r') plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')問題三新建m文件夾:function x=pencil(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.3;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)'function x=pen(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.8;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3