周期信號(hào)的合成與分解

1、武漢大學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告院 系 電子信息學(xué)院 專 業(yè) 通信工程 實(shí)驗(yàn)名稱 周期信號(hào)的合成與分解 指導(dǎo)教師 姓 名 學(xué) 號(hào) 成 績(jī) 2015 年_9 月15日實(shí)驗(yàn)四 周期信號(hào)的合成與分解一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1在理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過實(shí)驗(yàn)深 刻領(lǐng)會(huì)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分解的物理意義。 2理解實(shí)際應(yīng)用中通常采用有限項(xiàng)級(jí) 數(shù)來逼近無限項(xiàng)級(jí)數(shù)，此時(shí)方均誤差隨項(xiàng)數(shù)的增加而減小。 3觀察并初步了解 Gibbs 現(xiàn)象。 4深入理解周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)，比較不同周期信號(hào)頻譜的差異。 二、實(shí)驗(yàn)原理 滿足 Dirichlet 條件的周期信號(hào)f(t)可以分解成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，表達(dá)式為： 式中n 為正整數(shù)；角頻率1 由周期

2、T 1 決定：1=2T1 。該式表明：任何滿足Dirichlet 條件的周期信號(hào)都可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻f1=1T1的整數(shù)倍。通常把頻率為 f1 的分量稱為基波，頻率為 nf1 的分量成為 n 次諧波。周期信號(hào)的頻譜只會(huì)出現(xiàn)在0，1，21，31，n1等離散的頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱為離散譜，是周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn)。ft波形變化越劇烈，所包含的高頻分量的比重就越大；變化越平緩，所包含的低頻分量的比重就越大。 一般來說，將周期信號(hào)分解得到的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)是無限的。也就是說，通常只有無窮項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)才能與原函數(shù)精確相等。但在實(shí)際應(yīng)用

3、中，顯然無法取至無窮多項(xiàng)，而只能采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)。而且，所取項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)就越逼近原函數(shù)，原函數(shù)與有限項(xiàng)級(jí)數(shù)間的方均誤差就越小，而且低次諧波分量的系數(shù)不會(huì)因?yàn)樗№?xiàng)數(shù)的增加而變化。當(dāng)選取的傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f(t)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)所取得項(xiàng)數(shù)N 很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，約等于總跳變值的 9%，這種現(xiàn)象稱為 Gibbs 現(xiàn)象。 三、主要儀器設(shè)備MATLAB（軟件）四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1 周期對(duì)稱方波信號(hào)的合成 圖1 奇對(duì)稱的周期方波信號(hào)圖示方波既是一個(gè)奇對(duì)稱信號(hào)，又是一個(gè)奇諧信號(hào)。根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系可知，它可以用無窮個(gè)奇次諧波分

4、量的傅里葉級(jí)數(shù)來表示:ft=2Ek=0sin22k+1f0t12k+1選取奇對(duì)稱周期方波的周期 T= 0 .02 s ，幅度 E =6 ，采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)替代無限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前 1、2、5 和 100 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)來近似，編寫程序并把結(jié)果顯示在一幅圖中，觀察它們逼近方波的過程。 MATLAB 程序如下：%奇對(duì)稱方波合成 t=0:0.001:0.1; shishu=12/pi; y=shishu*sin(100*pi*t); subplot(221) plot(t,y); axis(0,0.1,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 1

5、 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); y=shishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3); subplot(222); plot(t,y); axis(0,0.1,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 2 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); y=shishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3+sin(5*100*pi*t)/5+sin(7*100*pi*t)/7+sin(9*100*pi*t)/9); subplot(223) plot(t,y); axis(0,0.1,-4,4); xlabel

6、('time'); ylabel('前 5 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); t=0:0.001:0.1; y=0; for i=1:100 y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1); end subplot(224); plot(t,y); axis(0,0.1,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 100 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); 顯示結(jié)果如圖2所示。 圖2 奇對(duì)稱方波信號(hào)的合成2觀察 Gibbs 現(xiàn)象 分別取前 10、20、30 和 40 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)來逼近奇對(duì)稱方波，觀察 Gibb

7、s 現(xiàn)象。 MATLAB 程序如下： %觀察 Gibbs 現(xiàn)象 t=0:0.001:0.04; shishu=12/pi; y=0; for i=1:5 y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1); end subplot(221) plot(t,y); axis(0,0.04,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 5 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); y=0; for i=1:6 y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1); end subplot(222); plot(t

8、,y); axis(0,0.04,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 6 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); y=0; for i=1:7 y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1); end subplot(223) plot(t,y); axis(0,0.04,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 7 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); y=0; for i=1:8 y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1); end subpl

9、ot(224); plot(t,y); axis(0,0.04,-4,4); xlabel('time'); ylabel('前 8 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)'); 顯示結(jié)果如圖3所示。 圖3 Gibbs 現(xiàn)象3周期對(duì)稱三角信號(hào)的合成 設(shè)計(jì)采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)逼近偶對(duì)稱周期三角信號(hào)的實(shí)驗(yàn)，編制程序并顯示結(jié)果。 MATLAB 程序如下：%周期對(duì)稱三角波合成t=0:0.001:0.1;shishu=24/(pi*pi);y=3+shishu*cos(100*pi*t);subplot(221)plot(t,y);axis(0,0.1,0,6);xlabel('time'

10、);ylabel('前1項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=3+shishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi*t)/9)+cos(5*100*pi*t)/25;subplot(222);plot(t,y);axis(0,0.1,0,6);xlabel('time');ylabel('前3項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=3+shishu*(cos(100*pi*t)+cos(3*100*pi*t)/9+cos(5*100*pi*t)/25+cos(7*100*pi*t)/49+cos(9*100*pi*t)/81);subplot(223)plot(t

11、,y);axis(0,0.1,0,6);xlabel('time');ylabel('前5項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');t=0:0.001:0.1;y=0;for i=1:100y=y+shishu*cos(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)*(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y+3);axis(0,0.1,0,6);xlabel('time');ylabel('前100項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');顯示結(jié)果如圖4所示圖4 偶對(duì)稱周期三角信號(hào)4周期信號(hào)的頻譜 分析奇對(duì)稱方波信號(hào)與偶對(duì)稱三角信號(hào)的頻譜，編制程序并顯示結(jié)

12、果，深入討論周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)和兩信號(hào)頻譜的差異。奇對(duì)稱方波信號(hào)頻譜MATLAB 程序如下：%奇對(duì)稱方波信號(hào)Fs = 1000; % Sampling frequencyT = 1/Fs; % Sample timeL = 1000; % Length of signalt = (0:L-1)*T; % Time vectory=0;for i=1:100y=y+shishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endplot(Fs*t(1:50),y(1:50)title('奇對(duì)稱方波信號(hào)頻譜')xlabel('w')NFFT = 2n

13、extpow2(L); % Next power of 2 from length of yY = fft(y,NFFT)/L;f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);stem(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1) title('奇對(duì)稱方波信號(hào)頻譜')xlabel('w')ylabel('F(w)')顯示結(jié)果如圖5所示圖5 奇對(duì)稱方波信號(hào)頻譜偶對(duì)稱三角信號(hào)頻譜MATLAB 程序如下：%偶對(duì)稱三角信號(hào)頻譜Fs = 1000; % Sampling frequencyT = 1/Fs; % Sample timeL =

14、1000; % Length of signalt = (0:L-1)*T; % Time vectory=3;for i=1:100y=y+shishu*cos(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1)*(2*i-1);endplot(Fs*t(1:50),y(1:50)title('偶對(duì)稱三角信號(hào)頻譜')xlabel('w')NFFT = 2nextpow2(L); % Next power of 2 from length of yY = fft(y,NFFT)/L;f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);% Plot single-sided amplitude spectrum.stem(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1) title('偶對(duì)稱三角信號(hào)頻譜')xlabel('w')ylabel('F(w)') 顯示結(jié)果如圖6圖6 偶對(duì)稱三角信號(hào)頻譜五、 實(shí)驗(yàn)結(jié)論1、 從奇對(duì)稱方波信號(hào)的頻