第7章 參數(shù)估計

1、第7章 參數(shù)估計主要內(nèi)容：1 了解評估點估計的標準2 了解點估計的優(yōu)缺點3 了解區(qū)間估計的思想、推導過程4 掌握各種情況區(qū)間估計的算法7.1 參數(shù)估計的一般問題7.1.1 估計量與估計值參數(shù)估計：就是用樣本統(tǒng)計量去估計總體的參數(shù)符號： 總體參數(shù)統(tǒng)計量即如何用來估計估計量：在參數(shù)估計中，用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量的名稱稱為估計量。 如：樣本均值、樣本比例、樣本方差等。估計值：根據(jù)一個具體樣本計算出來的估計量的數(shù)值。7.1.2 點估計與區(qū)間估計1 點估計就是用樣本統(tǒng)計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值。具體方法：矩估計法、最大似然估計、最小二乘法、順序統(tǒng)計量法例 已知某企業(yè)生產(chǎn)的燈泡壽命,均未知。

2、現(xiàn)隨機抽取4只，測得其壽命分別為1502，1453，1367，1650小時，請估計。解：2 點估計的評價標準A 一致性是指隨著樣本量的增大，點估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、比例的一致估計。B無偏性是指估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)。設總體參數(shù)為，所選擇的估計量為如果則稱為的無偏估計?？梢宰C明：即樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、比例的無偏估計。C 有效性是指對同一個總體參數(shù)的兩個無偏估計量，標準差小的估計量更有效。即與均為總體參數(shù)的無偏估計，若則稱是比更有效的一個估計量。也可以證明，樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、

3、比例的有效估計2 區(qū)間估計 定義：是在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍。該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差得到。即可以根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布對樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量。 統(tǒng)計思想A 例：為了考察某廠生差的水泥構(gòu)件的平均抗壓強度（單位：千克力/平方厘米），隨機抽取了25件樣本進行測試，得到25個數(shù)據(jù)，并由此計算得。由歷史數(shù)據(jù)知，該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強度，其中未知，現(xiàn)希望抽樣所獲得的信息給出的一個區(qū)間估計。B 思路：由于是的一個較優(yōu)的點估計，因此一個合理的區(qū)間估計應該是問題：取多大比較合理 這樣給出的區(qū)間估計的可靠程度如何矛盾：越大，可靠程度越高；但區(qū)間過

4、寬沒有實際的意義 越小，精確程度越高，但可靠的程度會很低。C 解決辦法：抽樣前，區(qū)間估計是一個隨機區(qū)間，用這個隨機區(qū)間覆蓋未知參數(shù)的概率的大小來度量可靠程度通過這個概率的確定來確定區(qū)間估計的寬度即先定可靠性，再定精確性取端點整理得此時就滿足了的要求，D 對于這個具體的問題，當，則表明：從樣本觀測值提供的數(shù)據(jù)，推斷出以95%的可靠程度，保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強度在407。16422.84（千克力/平方厘米）之間。進一步解釋：一旦一個樣本確定，由其確定的區(qū)間或者包括未知參數(shù)，或者不包括。95%的可靠性是說，如果抽樣100次，按照同樣方法構(gòu)造的100個區(qū)間中，至少有95個區(qū)間覆蓋/包括了未知參

5、數(shù) 定義的數(shù)學表述設是取自總體的一個樣本，對于未知參數(shù)，給定，。如果存在兩個統(tǒng)計量和，使得那么，稱為的雙側(cè)的置信區(qū)間；稱為置信水平；為顯著性水平直觀意義：對同一個未知參數(shù)反復使用同一置信區(qū)間盡管不能保證每一次但至少有約次使得成立。置信區(qū)間精確程度置信水平可靠程度顯著性水平不可靠程度 求解置信區(qū)間的一般步驟第1步，求出未知參數(shù)的一個較優(yōu)的點估計第2步，以為基礎，尋找一個隨機變量 要求：必須包含、也只能包含這個未知參數(shù) 的分位數(shù)能通過查表或計算得到具體數(shù)值 努力的方向：標準正態(tài)、卡方、分布第3步，把的分位數(shù)記為，分位數(shù)記為，于是第4步，把不等式作等價變形，使它成為這個便是一個雙側(cè)的置信區(qū)間對把平分

6、的解釋：為了置信區(qū)間不要太寬7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計內(nèi)容正態(tài)總體非正態(tài)總體（大樣本）已知未知已知未知7.2.1總體均值的區(qū)間估計1 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計（1）已知尋找一個點估計以為基礎構(gòu)造估計量 ，所以標準化概率形式：整理：標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)的關(guān)于Y軸對稱性所以已知時的雙側(cè)的置信區(qū)間為或者記做 ；或者 注意：置信區(qū)間的構(gòu)造稱為 邊際誤差置信區(qū)間就是 均值邊際誤差邊際誤差兩部分組成：統(tǒng)計量的標準差，總體與樣本容量確定，這個值就確定下來決定區(qū)間的寬度，即估計的精度，越大，區(qū)間約寬，精度越差 例：一家食品生產(chǎn)袋裝食品的企業(yè)，每天的產(chǎn)量大約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應為100g。

7、為對產(chǎn)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋質(zhì)量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取25袋，測得每袋重量如下112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3 已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g，試估計該天產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。解：由題意可知，查表可得所以，即101.44，109.28，該批食品平均重量95%的置信區(qū)間為101.44g109.28g。（2

8、） 未知尋找一個點估計以為基礎構(gòu)造估計量 ，未知，所以概率形式：整理：所以未知的雙側(cè)的置信區(qū)間為或記做例：已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命如下（單位：小時）1510145014801460152014801490146014801510153014701500152015101470請建立這批燈泡使用壽命95%的置信區(qū)間。解：由題意可得，正態(tài)總體、未知對的估計，置信區(qū)間為，查表得計算得 帶入置信區(qū)間公式即1476.8，1503.2，該種燈泡平均使用壽命的95%的置信區(qū)間為1476.81503.22 非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計只能解決大樣本（通常）的情況

9、。已知時，的雙側(cè)的置信區(qū)間為未知時，的雙側(cè)的置信區(qū)間為7.2.2總體方差的區(qū)間估計（限于正態(tài)總體）尋找一個點估計以為基礎構(gòu)造估計量 ，所以概率形式：整理：即總體方差的的置信區(qū)間為例：一家食品生產(chǎn)袋裝食品的企業(yè)，每天的產(chǎn)量大約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應為100g。為對產(chǎn)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋質(zhì)量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取25袋，測得每袋重量如下112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.013

10、6.8102.8101.598.493.3 已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，試估計該廠產(chǎn)品重量方差的置信區(qū)間，置信水平為95%。解：總體方差的的置信區(qū)間為由題意可計算得查表得，所以的置信區(qū)間為，即，相應地，總體標準差的置信區(qū)間為 ，說明該廠產(chǎn)品重量標準差的95%的置信區(qū)間為7.54g13.43g.7.2.3總體比例的區(qū)間估計（限于大樣本情況）當足夠大（時，樣本比例近似服從于正態(tài)分布所以所以總體比例的的置信區(qū)間為由于未知，以樣本比例代替，得到 例：某城市想要估計下崗職工中女性所占比例，隨機抽取了100為下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。解：已知

11、，置信區(qū)間為即，該該城市下崗職工中女性比例的95%的置信區(qū)間為55.65%74.35%.7.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.3.1 兩個總體均值之差的估計 1 正態(tài)總體設相互獨立的兩個正態(tài)總體與，樣本容量分別為(1) 與已知點估計 構(gòu)造估計量與相互獨立與相互獨立所以的的置信區(qū)間為(2) 與未知但=點估計 構(gòu)造估計量（推論3） 其中，所以的的置信區(qū)間為 (3) 與未知且，但樣本容量相等的的置信區(qū)間為(4) 與未知且，樣本容量的的置信區(qū)間為其中，2 兩個非正態(tài)總體均值之差的估計 （限于大樣本情形）的的置信區(qū)間為當與已知時，當與未知時， 3 匹配樣本一個樣本中的數(shù)據(jù)與另一個樣本中的數(shù)據(jù)相對應。作用：可

12、以消除樣本指定的不公平問題設兩個總體均值之差為為兩個匹配樣本對應數(shù)據(jù)的差值為各差值的均值為差值的標準差（1）正態(tài)總體 的的置信區(qū)間為A 已知，B 未知， （2）大樣本A 已知， B 未知， 7.3.2 兩個總體方差比的區(qū)間估計（正態(tài)分布）點估計 構(gòu)造估計量（推論4）所以，即兩個總體方差比的的置信區(qū)間為7.3.3 兩個總體比例之差的區(qū)間估計（大樣本），所以的的置信區(qū)間為以樣本比例替代總體比例得到7.4 樣本量的確定7.4.1 估計總體均值時樣本量的確定設為所希望達到的邊際誤差整理得：可見，在其他條件不變的情況下，置信水平越高，的值越大（可靠性越高）； 總體標準差越大（總體的變異性越大）；邊際誤差

13、越?。ň仍礁撸凰枰臉颖救萘吭酱?。例：擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應抽取多大的樣本量？解：已知，由于即應抽取97人作為樣本。說明：樣本量的圓整法則就是將小數(shù)點后面的數(shù)值不論大小一律進位成整數(shù)。若總體標準差未知，可用樣本標準差代替。7.4.2估計總體比例時樣本量的確定估計總體比例時，邊際誤差為所以例：根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，求在95%的置信區(qū)間時，應抽取多少個產(chǎn)品作為樣本？解：，即應抽取139個產(chǎn)品作為樣本。說明：當總體比例未知時，可用樣本比例代替；或者取，此時達到最大值。7.4.3 估計兩個總體均值之差時樣本量的確定估計兩個總體均值之差時，邊際誤差所以當時，例：一所中學的教務處想要估計試驗班與普通班考試成績平均分數(shù)的差值的置信區(qū)間。要求置信區(qū)間為95%。預先估計兩個班考試分數(shù)的方差分別為：試驗班，普通班。如果要求估計的誤差范圍（邊際誤差）不超過5分，在兩個班應分別 抽取多少名學生進行調(diào)查？解：已知，即應各抽取33名學生進行調(diào)查。7.4.4 估計兩個總體比例之差時樣本