初數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理

1、初數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理初二數(shù)學(xué)【教學(xué)進(jìn)度】幾何第二冊(cè)第五章 § 教學(xué)內(nèi)容平行線分線段成比例定理重點(diǎn)難點(diǎn)剖析一、 主要知識(shí)點(diǎn)1 平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3 三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所

2、截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。二、 重點(diǎn)剖析1 平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時(shí)，它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。 定理的基本圖形l1l2l3 對(duì)應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對(duì)應(yīng)。 為了強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)和記憶，可以使用一些簡(jiǎn)單形象化語(yǔ)言記憶上面所列三組比例式： ， 可以說(shuō)成“上比下等于上比下” ， 可以說(shuō)成“上比全等于上比全” ， 可以說(shuō)成“下比全等于下比全”等2 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1（即平行線分線段比例定理的推論）基本圖形debc 圖2（1），圖2（3）稱為“a”型，圖2（2）稱為“x”型

3、 推論中“或兩邊的延長(zhǎng)線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線3 三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題。（1） 這個(gè)定理可以用來(lái)判定兩條直線平行。（2） 使用時(shí)，一定要注意這個(gè)定理的前提：截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例。4 平行線分線段成比例定理的逆命題：三條直線截兩條直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行。 它是一個(gè)假命題，如圖3，其中ab=bc，de=ef，則，但l1、l2、l3不平行。5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6），這個(gè)定理也叫做相似三角形預(yù)備定理 debc 這時(shí)，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。當(dāng)平行于三角形

4、一邊的直線截兩邊的延長(zhǎng)線時(shí)，這個(gè)定理也成立。圖4是最基本的“a”型，課本例6中有“a”型時(shí)常作平行線，把所要研究的線段中，與其它線段關(guān)系不明顯的線段平移到關(guān)系明顯的線段上去。典型例題 例1、如圖5，在abc中，d是bc上的點(diǎn)，e是ac上的點(diǎn)，ad與be交于點(diǎn)f，若ae:ec=3:4，bd:dc=2:3，求bf:ef的值。 分析：求兩條線段的比值，可通過(guò)平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身并沒(méi)有平行線，故需添加輔助線平行線去構(gòu)造比例線段，進(jìn)而求出比值。 解：過(guò)e作egbc交ad于g，則在adc中， 又 極 eg=3x ， dc=7x （x>0），則 db= 又 egbc

5、， 例2、如圖6，deab，efbc，af=5cm, fb=3cm, cd=2cm,求 bd。分析 根據(jù)條件可知bdef為平行四邊形，由efbc，應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得再應(yīng)用比例性質(zhì)，即可求出ef即bd。解： deab， efbc 四邊形bdef為平行四邊形， bd=ef 又 efbc， 解之，得bd=（cm）例3、如圖7，a、c、e和b、f、d分別是o的兩邊上的點(diǎn)，且abed、bcfe。求證：afn以點(diǎn)a為端點(diǎn)，作射線am 2. 在am上順次截ad=2a，de=3a（a為任意長(zhǎng)）3. 連結(jié)be，過(guò)點(diǎn)d作dc/be交ab于c，則點(diǎn)c即為所求練習(xí)與測(cè)試1 如圖abc中，d、e、f分別在ab

6、、ac、bc上，且de/bc，ef/ab，ad=9，ef=6，cf=5，則bf= 2 直線de分別交abc的邊ab、ac于點(diǎn)d、e，且ad=4cm，ae=6cm、ab=12cm，ac= 那么de/bc3 如圖de/bc ，那么= 4如圖在 abcd中，e在ad上，且4ae=5de，ce交bd于f，則 5 如圖，梯形abcd中，ad/bc，對(duì)角線ac、bd相交于o，ce/ab交bd的延長(zhǎng)線于e，若ob=6，od=3，則de= 6 如圖，已知dc/ef/gh/ab，ab=30，cd=6，且de：eg：ga=1：2：3，則ef= gh= 7如圖，在 abcd中，o1、o2、o3分別為對(duì)角線bd上三點(diǎn)

7、，且bo1=o1o2=o2o3=o3d，連結(jié)ao1，并延長(zhǎng)交bc于e，連結(jié)eo3，并延長(zhǎng)交ad于點(diǎn)f，則ad：fd= 8 圖，bc=4cd，若ae=k，則k= 9 如圖，cd是abc的角平分線，（點(diǎn)e在ac上，ac=10，求de10 如圖，cd是abc中，e為ac的中點(diǎn)，d為bc上的點(diǎn)，且bd=ab，求證：11 已知，c是線段ab上一點(diǎn)，分別以ac、bcm為邊，在ab的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形acd和bce，ae交cd于f，bd交cg于g，求證fg/ab12 已知，bd為abc的角平分線，de/bc，交ab于e，求證：13已知，如圖（1），梯形abcd中，ad/bc，e、f分別在ab、cd上，且ef/bc，ef分別交bd、ac于m、n。 求證me=nf 當(dāng)ef向上平移 圖（2）各個(gè)位置其他條件不變時(shí)，的結(jié)論是否成立，請(qǐng)證明你的判斷。練習(xí)與測(cè)試參考解答或提示1；218cm； 3； 49：4； 59； 610，18； 79：1； 82； 96 10提示，過(guò)d作dh/ac交bg于h點(diǎn)，則，又ae=ec，bd=ab，即可得結(jié)論。11略證，由dca=e