數(shù)值分析04數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、第四章數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分與數(shù)值微分1 1 引引 言言一、數(shù)值積分的必要性一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微積分里，按在微積分里，按Newton-Leibniz公式公式求定積分求定積分 f x F x F x F x f x實際問題實際問題例如函數(shù)例如函數(shù):2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx2 sinf xx這個問題就是要求由函數(shù)這個問題就是要求由函數(shù)0 x 48x dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 What

2、s the Original function?!Its so complex that we can not get it.3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx f x f xx1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來原來通過原函數(shù)來計算積分有它的局計算積分有它的局限性。那限性。那怎么辦呢？怎么辦呢？呵呵呵呵這就需要積這就需要積分的數(shù)值方法來幫分的數(shù)值方法來幫忙啦。忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義badxxffI)()(abxyo f x2、數(shù)值積分的理論依據(jù)、數(shù)值積分的理論依據(jù) f x依據(jù)依據(jù)積

3、分中值定理積分中值定理, 對于連續(xù)函數(shù)對于連續(xù)函數(shù) ,在在 內(nèi)存在一點內(nèi)存在一點 ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba稱稱 為區(qū)間為區(qū)間 的平均高度的平均高度. f, a b ?f3、求積公式的構(gòu)造、求積公式的構(gòu)造 若簡單選取區(qū)間端點或中點的函數(shù)值作為平均高度，則若簡單選取區(qū)間端點或中點的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點求積公式如下：可得一點求積公式如下：左矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： Iff aba 2abIffba Iff bbaxyOab f x f a左矩形公式：左矩形公式： Iff abaxyOab f x2abf2ab中

4、矩形公式：中矩形公式： 2abIffbaxyOab f x f b右矩形公式：右矩形公式： Iff bba 若取若取 兩點，并令兩點，并令 ，則可得梯形，則可得梯形公式（兩點求積公式）公式（兩點求積公式）, a b 2f af bf 2f af bIfbaxyOab f x f a f b則可得則可得Simpson公式公式(三點求積公式三點求積公式), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三點，若取三點， 并令并令 46f af cf bIfba 一般地一般地 ，取區(qū)間，取區(qū)間 內(nèi)內(nèi) 個點個點, a b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f處的高度處的高

5、度通過通過加權(quán)平均加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度這類求積方法稱為這類求積方法稱為機械求積機械求積:)()()(0ibaniixfabdxxf 或?qū)懗苫驅(qū)懗? :數(shù)值積分公式數(shù)值積分公式求積系數(shù)求積系數(shù) 求積節(jié)點求積節(jié)點 )()(0kbankkxfAdxxf記記0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x稱稱為數(shù)值為數(shù)值求積公式求積公式稱為求積公稱為求積公式余項式余項(誤誤差差).三、求積公式的代數(shù)精度三、求積公式的代數(shù)精度1、問題的提出、問題的提出構(gòu)造或確定一個求積公式，要討論解決的問題有構(gòu)造

6、或確定一個求積公式，要討論解決的問題有:(i) 確定求積系數(shù)確定求積系數(shù) 和求積節(jié)點和求積節(jié)點 kAkx；(iii)求積公式的誤差估計和收斂性分析求積公式的誤差估計和收斂性分析.(ii) 判定求積公式精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)；判定求積公式精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)； 稱求積公式稱求積公式 具有具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度,如如果它滿足如下兩個條件果它滿足如下兩個條件:2、定義、定義0( )()nnkkkIfA f x(i) 對所有次數(shù)對所有次數(shù)m次的多項式次的多項式 ,有有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在存在m+1次多項式次多項式 ,使得使得)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR

7、上述定義中的條件上述定義中的條件(i),(ii)等價于等價于:1( )()0miiR x( )()()()0,(0)kkkniR xI xIxkm2 2 插值型求積公式插值型求積公式一、定義一、定義在積分區(qū)間在積分區(qū)間 上，上， ,a b取取 個節(jié)點個節(jié)點1n,0,1,2,.,ix in作作 的的 次代數(shù)插值多項式次代數(shù)插值多項式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xnnjjjnxfxlxL0)()()(則有則有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn為插值余項。為插值余項。于是有：于是有： bajnjbajbanbanbadxxRxf

8、dxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0取取 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 節(jié)點節(jié)點 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。 f x稱為稱為插值插值型求積公型求積公式式二、截斷誤差與代數(shù)精度二、截斷誤差與代數(shù)精度1、截斷誤差、截斷誤差0(1)0( )()( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLxdxfxxdxn2、代數(shù)精度、代數(shù)精度0( )nkkkA f x( )bkkaAl x dx推論推論 求積系數(shù)求積系數(shù) 滿足滿足:0nkkAba 形如形如 的求積公

9、式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ）定理定理kA3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式一、一、Cotes系數(shù)系數(shù)取取節(jié)點為節(jié)點為等距分布等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式公式,此此時時求積系數(shù)：求積系數(shù)：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijijtj hbah dttj dtij hn i niCotes系數(shù)系數(shù)( ) nkC二、二、Ne

10、wton-Cotes公式公式1、定義：、定義：記記dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(則則njCabAnjj, 2 , 1 , 0,)()(求積公式變?yōu)榍蠓e公式變?yōu)? )0( )()()nbnjjajf x dxbaCf x稱上式為稱上式為n階階閉型閉型Newton-Cotes求積公式。求積公式。dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(注意注意:由式由式確定的確定的Cotes系數(shù)只與系數(shù)只與 和和 有關(guān)有關(guān),jn 與與 和積分區(qū)間和積分區(qū)間 f x, a b無關(guān)，無關(guān)， 且且滿足滿足: ()021nnjjC 1nnknkCC2、截

11、斷誤差、截斷誤差Newton-Cotes公式的誤差為公式的誤差為:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban與與x有關(guān)有關(guān)3、代數(shù)精度、代數(shù)精度作為插值型求積公式，作為插值型求積公式，具有具有 次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，n階階Newton-Cotes公式至少公式至少n而實際的代數(shù)精度是否可以進一步而實際的代數(shù)精度是否可以進一步提高呢？提高呢？定理定理當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù) 為偶數(shù)時為偶數(shù)時,nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。1n 證明證明:只需驗證當(dāng)只需驗證當(dāng) 為偶數(shù)時為偶數(shù)時,Newton-

12、Cotes公式對公式對的余項為零。的余項為零。n 1nf xx由于由于 ,所以所以 1nf xx 11 !nfxn即得即得 nnjndtjthfR002)()(引進變換引進變換 ,因為因為 為偶數(shù)為偶數(shù),故故 為整數(shù)為整數(shù),2ntu2nn于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR據(jù)此可斷定據(jù)此可斷定 ,因為上述被積函數(shù)是個奇函數(shù)因為上述被積函數(shù)是個奇函數(shù). 0R f4、數(shù)值穩(wěn)定性、數(shù)值穩(wěn)定性現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論舍入誤差舍入誤差對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)用公式設(shè)用公式 njjnjnxfCabfI0)()()()(近似計算積分近似計算積分badxxffI)()(時時,

13、 其中計算函數(shù)值其中計算函數(shù)值 有誤差有誤差則在則在 的計算中的計算中,由由 引起的誤差為引起的誤差為jf x0,1,2,.jjn沒有誤差沒有誤差, 中間計算過程中的舍入誤差也不考慮中間計算過程中的舍入誤差也不考慮, njC計算計算( )nIfj，而，而njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()()()()()(如果如果 都是正數(shù)都是正數(shù),并設(shè)并設(shè) njC0max|jj n 則有則有)(|)(|0)(abCabenjnjn故故 是有界的是有界的,nejba7n n njC即由即由 引起的誤差受到控制引起的誤差受到控制,的的 倍倍,不超過不超過保證了保證了

14、數(shù)值計算的穩(wěn)定性數(shù)值計算的穩(wěn)定性。將出現(xiàn)將出現(xiàn)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù),而當(dāng)而當(dāng) 時時,njnjC0)(|將隨將隨 增大增大,因而因而不能保證數(shù)值穩(wěn)定性不能保證數(shù)值穩(wěn)定性.故高階公式不宜采用故高階公式不宜采用,有實用價值的僅僅是幾種有實用價值的僅僅是幾種低階的求低階的求積公式積公式.三、幾種常用的低階求積公式三、幾種常用的低階求積公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2bab af x dxf af b梯形公式梯形公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */31( ), , ,121bah fa

15、bh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1n = 2:(2)(2)(2)012121,636CCC2( ) ( ) 4 ()( )6ba bab af x dxf aff bSimpson 公式公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 35(4)1 ( ) ,( , ) ,902baR fh fa bh n = 4: Cotes 公式公式 7(6)8( )945R fh f 01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,4kbaxakh h這里這里四、復(fù)化求積公式四、復(fù)化求積公式 高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象，怎么

16、辦？現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來解決可采用分段低次插值來解決高階高階Newton-Cotes公式會出現(xiàn)公式會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定。而而低階低階Newton-Cotes公式公式有時又不能滿足精度要求有時又不能滿足精度要求，怎么辦？，怎么辦？可將積分區(qū)間可將積分區(qū)間 分成若干小分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低階求積公式計算，然后求和。低階求積公式計算，然后求和。, a b 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：,(0,., )ibahxaihinn在每個在每個 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf

17、xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/ 復(fù)化梯形公式積分法復(fù)化梯形公式積分法 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4fha

18、bfR 復(fù)化復(fù)化Simpson公式積分法公式積分法 復(fù)化復(fù)化 Cotes公式：公式：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(4945)(2)6(6bafhabfR 收斂速度與誤差估計：收斂速度與誤差估計：定義：定義：若一個積分公式的誤差滿足若一個積分公式的誤差滿足 ，0limphR fCh 且且 ，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。0C 2

19、46() ,() ,()nnnTO hSO hCO h例例:利用數(shù)據(jù)表利用數(shù)據(jù)表kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計算積分計算積分1*2041Idxx解：解：這個問題有明顯的答案這個問題有明顯的答案*104arctg |3.1415926.Ix取取n = 8用復(fù)化梯形公用復(fù)化梯形公式式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式 187443285421283441281

20、4)0(61414fffffffffS= 3.141592502運算量基運算量基本相同本相同復(fù)化梯形公式的誤差估計復(fù)化梯形公式的誤差估計給定精度給定精度 ，如何取，如何取 ?n例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI1、誤差先驗估計式、誤差先驗估計式)()(12)()(2fabhfTfIfRn 2max( )a x bMfx 記記則則 222)(12)()(12Mabhfabh)()(122 fabhfR ?21()12nkkhfh 22( )( )( )1212bahhfx dxf bf a 上例中若要求上例中若要求 ，則，則6| 10nI T226| |(1)(0)

21、|10126nhhR fff0.00244949h 即：取即：取 n = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對分不斷對分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時，時，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對分時注意到區(qū)間再次對分時2211 ( )( ) 1224nnhRff bf aR f214nnITIT)(141)(31222nnnnnTTTTTI可用來判斷迭代可用來判斷迭代是否停止。是否停止。2、誤差后驗估計式、誤差后驗估計式復(fù)化復(fù)化Simpson公式的誤差估計公式的誤差估計1、誤差先驗估計式、誤差先驗估

22、計式2、誤差后驗估計式、誤差后驗估計式)(2180)4(4fhabSIfRn4(3)(3)1 ( )( )1802nhR fISfbfa )(141)(1512222nnnnnSSSSSI復(fù)化復(fù)化Cotes公式的誤差估計公式的誤差估計1、誤差先驗估計式、誤差先驗估計式),(, )(4945)(2)6(6bafhabCIfRn2、誤差后驗估計式、誤差后驗估計式6)5()5(4)()(9452hafbfCIfRn)(141)(6312322nnnnnCCCCCI四、龍貝格四、龍貝格積分積分例例:計算計算21410 xdx已知對于已知對于 = 10 6 須將區(qū)間對分須將區(qū)間對分 9 次，得到次，得到

23、 T512 = 3.14159202考察考察412 nnTITI由由 來計算來計算 I 效果是否好些？效果是否好些？224414 133nnnnTTITT844133TT= 3.141592502= S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg求積求積公式公式 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T 理查德森理查德森外推法外推法利用

24、利用低低階公式產(chǎn)生階公式產(chǎn)生高高精度的結(jié)果。精度的結(jié)果。由由Taylor展開得到：展開得到： i 與與 h 無關(guān)無關(guān)現(xiàn)將現(xiàn)將 對分，得：對分，得：h0h 0Th 230123.ThIhhh230123.2222hhhhTI設(shè)對于某一設(shè)對于某一 ， 有公式有公式 近似計算某一未知值近似計算某一未知值 。I如何將公式精度由如何將公式精度由 提高到提高到 ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：230021122( )( )( ).21hTT hT hIhh34212( ).T hIhh211222( )( )21hTT h1212( ).mmmThIhh1122( )(

25、)21mhmmmTTh O h2O h計算步驟：計算步驟：1取取 ，計算，計算0hba00( )( )2hTf af b2對對k = 1, 2, 計算下列各步計算下列各步12( )(1)00001121222kkkkkihiTTfah3對對n = 0, 1, 2, k = n 1, n 2, (1)( )( )11441nkkknnnnTTT4收斂控制收斂控制(0)(0)1kkTT(0)(0)1(0)kkkTTT若若或或則輸出積分值則輸出積分值 ，否則轉(zhuǎn)否則轉(zhuǎn)3 3。 )0(kTNewton-Cotes公式采用公式采用等距節(jié)點作為求積節(jié)點代等距節(jié)點作為求積節(jié)點代數(shù)精度至多可達(dá)到數(shù)精度至多可達(dá)到

26、 。（ 為偶數(shù)）為偶數(shù)）1nn那么，在節(jié)點個數(shù)一定的情那么，在節(jié)點個數(shù)一定的情況下，是否可以在況下，是否可以在 上自上自由選擇節(jié)點的位置，使求積由選擇節(jié)點的位置，使求積公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的兩點求積公式。的兩點求積公式。 （1）用梯形公式（即以用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1為節(jié)點的插值型為節(jié)點的插值型 求積公式）立即可得求積公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有一次代數(shù)只具有一次代數(shù)精確度！精確度?。?）若對求積公式中的四個待定系數(shù)若對求積公式中

27、的四個待定系數(shù)A0, A1, x0, x1適當(dāng)選取，適當(dāng)選取，使求積公式對使求積公式對f (x) = 1，x，x2，x3都準(zhǔn)確成立，則都準(zhǔn)確成立，則0101,A A x x需滿足如下方程組：需滿足如下方程組：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxbaxyo f x11AB0 x1x五、高斯型五、高斯型積分積分0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x構(gòu)造具有構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點將節(jié)點 以及系數(shù)以及系數(shù) 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。0.nxx0.nAA令令 代入

28、可求解，代入可求解， 2211, ,.,nf xx xx得到的公式得到的公式具有具有 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。21n節(jié)點稱為節(jié)點稱為Gauss 點點此公式稱為此公式稱為Gauss 型求型求積公式積公式例：例：求求 的的 2 點點 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：設(shè)設(shè) ，應(yīng)有，應(yīng)有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是線性方程組，

29、不是線性方程組，不易求解。不易求解。定理：定理： x0 xn 為為 Gauss 點點 與任意次數(shù)與任意次數(shù)不大于不大于n 的多項式的多項式 P(x) （帶權(quán)）正交（帶權(quán)）正交。nkkxxxw0)()(證明：證明： “” x0 xn 為為 Gauss 點點, 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(對任意次數(shù)對任意次數(shù)不大于不大于n 的多項式的多項式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次數(shù)的次數(shù)不大于不大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立：nkkkmkbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(= 00

30、求求 Gauss 點點 求求w(x)不大于不大于 的多項式的多項式 精確成立，即證明：精確成立，即證明：“”要證明要證明 為為 Gauss 點，點， 即要證公式對任意次數(shù)即要證公式對任意次數(shù)設(shè)設(shè))()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)( nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(0,.,nxx21n mPx 正交多項式族正交多項式族 0, 1, , n, 有性質(zhì)：任意次數(shù)不大有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于于n 的多項式的多項式 P(x) 必與必與 n+1 正交。正交。若取若取 w(x)

31、為其中的為其中的 n+1，則，則 n+1的根的根就是就是 Gauss 點。點。53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：22105( )921xxxStep 1：構(gòu)造正交多項式構(gòu)造正交多項式 2設(shè)設(shè)cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)( 再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 2：求求 2 = 0 的的 2 個根，即為個根，即為 Gauss 點點 x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1解解線性線性方程組，方程組，簡單。簡單。結(jié)果與前一方法相同：結(jié)果與前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公