(完整版)數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、文德教育數(shù)列的概念函數(shù)角度理解分期付款 其他知識框架數(shù)列的分類數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義anan 1d(n2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1 (ni 1)d等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式Snn / 2(a1an)na1n(n 1)d2等差數(shù)列的性質(zhì)anamapaq(mn pq)兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列的定義與an 1q(n2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式anaqn 1數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列的求和公式Snaanq1 qa1(11n q )/(qq1)na(q 1)數(shù)列公式法分組求和錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和等比數(shù)列的性質(zhì)anamapaq (m np q)求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用求和公式及

2、性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+i=a+d及an+i=qan (d, q為常數(shù))例1、已知an滿足an+1=an+2,而且a1。求an。例1、解:an+1-an=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列1. an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11一.例2、已知an滿足an 1 an ,而a1 2 ,求an=?解:皿二:是常數(shù)a 2是以2為首項(xiàng)，公比為

3、:的等比數(shù)列(2)遞推式為 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a1 ，an 1 an 2，求 an.12 n 1 n 4n2 1一 ，一一1111解：由已知可知an 1 an -()(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )個(gè)等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )說明 只要和fan+i=an+f (n)以 n=1, 2, (3)遞推式為 an+i=pa+q (p,1 *1 、 4n 3an a1-(1-一-)2 2n

4、1 4n 2(1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由，(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。q為常數(shù))例 4、an中，ai 1 ,對于 n>1 (nC N)有 an3an i 2,求 an .角軍法' "： 由已知遞推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2o 兩'式才目調(diào)an+1-a n=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4 - an+1-an=4 " 3an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3 即 a n=2 , 3

5、-1解法二：上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a產(chǎn)4, a3-a 2=4 3a4-a3=4 - 3 ,，an-an-1 =4 - 3n-,把 n-1 個(gè) -(倡3+3明+郎”)二彳?1 _三_Lan=2 3n-1-11 一 ？(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))1例5】己知中利(b叫 求%口0.5z略解 在* = 9口十(2)的前邊乘以2口導(dǎo)22"】+1,令 = 2工2則%+1=(% + 1,于是可得-2-. _ 2 nbn 1 bn -(bn bn 1)由上題的解法，得：bn 3 2(-)，33bn2n3(2)n說明對于遞推式建+i

6、 = p% + 可兩邊除以屋已得需= Q艮 W + 工，引輔助數(shù)列上人=屋),得%“二£工+工后用 q q qQnq q(5)遞推式為 an 2 pan 1 qan思路：設(shè) an 2 pan 1 qan,可以變形為： an 2 an 1(an 1an),j CL + P = p就是4+=(a + b )+工-Q F %,則可從解得Q P，Q p = -q于是a n+1- “ an是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。_11例6己知數(shù)列%)中，%=1. % =2, %產(chǎn)萬%粗+可%33求an 0ea + B =-p =p37=421多=+三1兩邊減去得17an+L - an）是公比

7、為首項(xiàng)為町 1 =1的等比數(shù)列口二（）"+ c-（尸二/=1 +上-（-夕叩（6）遞推式為&與an的關(guān)系式數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù) 列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果 an等差，bn等比，那么 anbn此類型可利用乙對(口 = 1)力-$2 (n>2)例丫設(shè)1前11項(xiàng)的和 =4 - % -° 求與%的關(guān)系;(2)試用n表不' anoC1)叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以 bn的公比q ,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正

8、負(fù)抵消，只余有限幾 項(xiàng)，可求和。SnSn(anS"4 -an 1) (27T工2n 1 )an12an12n上式兩邊同乘以1an an 12 n 12n+1得2n+1an+i=2nan+2則2 nan是公差為2的等差數(shù)列。2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n1an an 1可裂項(xiàng)為等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai0 ,公差d 0 ,則前n項(xiàng)和&有最大值。(i )若已知通項(xiàng)an,則Sn最大anan 100q2p的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai0 ,公差d0 ,則前n項(xiàng)和Sn有最小值(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最小an0an 10(i

9、i)若已知Snpn2 qn ,則當(dāng)n取最靠近大;(ii)若已知Snpn2 qn,則當(dāng)n取最靠近9 的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2p??；數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即aia2Lanf(n)求an,用作差法：aSi,(n 1)anSn Sn 1,(n 2)f(1),(n 1)已知 aga2gL gan f (n)求 an ,用作商法：an f (n) ( n 2)。f(n 1),l )已知條件中既有 Sn還有an ,有時(shí)先求Sn,再求Hn ；有時(shí)也可直接求Hn。 若 an 1 an f (n) 求an用 累 加 法 ：an (an an 1) (an 1 an 2

10、) L(a2 a1)a(n 2)。已知亙f(n)求an,用累乘法：an 三亙L 三& (n 2)。 anan 1 an 2a1已知遞推關(guān)系求 an ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如an kan 1 b、an kan 1 bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an kan 1 kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。a(2)形如an -n的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan 1 bk(3)形如an 1 an的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。a(8)當(dāng)遇到an1 an1

11、 d或一口 q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可an 1能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前 n和公式的推導(dǎo)方 法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩

12、項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂n 2時(shí)，-a1 a2 .22112 得：ja”21-,Fan12n1 52后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:.an2n1111(1 ，n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k1 _A_k k 11111122()k2 k2 12 k 1 k 111111-;(k 1)k k2 (k 1)k k 1 kan14 (n 1)n 12 (n 2)n(n 1)(n 2) in(n 1)(n 1)(n 2)n(n 1)!11n! (n 1)!練習(xí)15,、數(shù)列 an 滿足 Sn Sn 1 - an 1, a1 4,求 an3 2(Y ,n)1Jn

13、2( .n . n 1)（注意到an 1Sn 1 Sn代入得：14Sn、解題方法:又514,二 Sn是等比數(shù)列，Sn4n求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求ann 2時(shí)，an Sn Sn 13 4n 14、疊乘法例如：數(shù)列 an中，a1 3,包一,求an an n 1(n 1 時(shí)，a1S1，n 2時(shí)，anSnSn 1)3、求差(商)法111如：an 滿足一a1 -a2 一an 2n 512222n1.解：n 1 時(shí)，一a12 1 5, a1142解：運(yùn)色旦a1 a2an 1 22 n1.an 1 , 一3 n a1 n又213, an n5、等差型遞推公式dn 1a1 cc 1a3

14、a2f兩邊相加，得:.ana1d cn 1c 1由anan 1 f（n）, a1a°,求an,用迭加法n 2時(shí)，a2ai f(2)數(shù)列 an 滿足 a1 9, 3an 1 an 4,求 ann 1/_ 4.、(an 81)37、倒數(shù)法例如：a1 1, an 1 二a一,求 an an 2由已知得：包二 -an 12 a n2 a n111 an 1 a n 2an an 1 f(n)an aif(2) f(3)f(n)ana。 f(2) f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)列 an , ai 1, an3n 1 an i n 2 ,求an1 c(an 31 )26、等比型遞推公式an can 1

15、 d c、d為常數(shù),c 0, c 1, d 0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) an x c an 1 xan can 11)x d, x1an為等差數(shù)列,1,公差為an 是首項(xiàng)為a1 c 1,c為公比的等比數(shù)列111-1 n 1一一n 1an22n項(xiàng)和公式求和，另外記住以可把和2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前 下公式對求和來說是有益的。1 + 2 + 3+ +口 =221 + 3 + 5+ (2n-1)=n：.5 . 3 . a 口 (口 + 1)2口+1)r + 2+3 +力=【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+1

16、7+19),前 n 項(xiàng)的和。1解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n=1n(n 1)2個(gè)奇數(shù)，最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ 1 n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前 n項(xiàng)的和為1 z 、S + i)J(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S=1(n2-1) + 2 (n2-2 2) +3 - (n2-3 2) + +n(n2-n2) 解S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=n2 - ；n(口十 1) 口，(n + 12)n3 (n + 1) Cn - 0(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首

17、末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒 著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C1 6C： L 3nCnn例 10、解 Sn 0?cO 3Cn 6C： L 3nCn又5n=311G 十 3 Cn-1) C -十+ OC：相加，且運(yùn)用= 可得2sli =(C： + C： + + C：) = 3n 3Sn=3n 2n-1(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的 式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例 11、 求數(shù)列 1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 項(xiàng)的和.解 設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1

18、)x n-1 .當(dāng)了=時(shí)，= I* * * n = n(2)X=0 時(shí)，Sn=1 .(3)當(dāng)xw0且xwl時(shí)，在式兩邊同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,%-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x八一入12式1-筮2).由公郎口工=-1 +- D才1 -X1 -X1 + ,(2 ,+ 1)臚 + (2'-1)1(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：1 1 1 1-n(n + k) k ri n + k_ J 1n(n + l)(n + 2)2 n nH n+2"2n

19、+ 11 12n - 1 2口+ 311 "14l 3 2ii+ 12口+ 3n(4n + 5)3(2口 + D(2n + 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題 時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。【例13】等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0,前n項(xiàng)的和為 氫 若S=8 (l wk)問n為何值時(shí)Sn最大？解依題意，設(shè)F (n)二1二%" d例12、求和例31111?5 3?7 5?9eo 1 I1- 5 3 71(2n 1)(2n 3)1 1+十-十"9(2n-l)(2n +3)1 1,1 1 、C2n - l)(2n+ 3) FZIi _ 2n十)此函數(shù)以n為自變量的二次擰翁 a1>0 S產(chǎn)Sk (l wk) ,.dvO故此二 次函數(shù)的圖像開口向下' i