【新教材教案】6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示教學設計(2)-人教A版高中數(shù)學必修第二冊

1、【新教材】635平面向量數(shù)量積的坐標表示 教學設計（人教A版）教材分析平而向量數(shù)量積的坐標表示，就是運用坐標這一量化工具表達向量的數(shù)量積運算，為研究平面中的距 離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標運算兩個知識點緊密聯(lián)系起來，是全 章的重點之一.教學目標與核心盍養(yǎng)課程目標1. 學會用平面向雖數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式能根 據(jù)公式解決兩個向:的夾角、垂直等問題2. 經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新精神.數(shù)學學科素養(yǎng)L數(shù)學抽象：數(shù)

2、量積的坐標運算：2邏輯推理：平面向疑的夾角公式，模長公式，垂直關系等；3. 數(shù)學運算：根據(jù)向疑垂直求參數(shù)，根據(jù)已知信息求數(shù)量積、夾角、模長等：4數(shù)拯分析：根據(jù)已知信息選取合適方法及公式求數(shù)：積；5數(shù)學建模：數(shù)形結合，將幾何問題轉化為代數(shù)問題解決，體現(xiàn)了事務之間是可以相互轉化的.教學重難點重點：平而向量數(shù)量枳的坐標表示：難點：向量數(shù)量積的坐標表示的應用.課前準冨教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。教學工具：多媒體。敎學過程一、情景導入前而，我們學習了：用坐標表示平而向量的加法和減法，平面向量的數(shù)量積是如何左義，向量的運算律 有哪些-那么可以用坐標表示平而向量的數(shù)量積

3、嗎？如果可以，怎么表示？要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察研探二、預習課本，引入新課閱讀課本34-35頁，思考并完成以下問題1、平面向雖數(shù)量積的坐標表示是什么？2、如何用坐標表示向量的模、夾角、垂直？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商屋，最終選出代表回答問題。三、新知探究1、兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的公式< 1)已知兩個非零向： «=(xi,X2), =(x2,y2),怎樣用與b的坐標表示數(shù)量積a b呢？a b =x1x2+y1y2即：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和(2) “丄b <=> a b =O<=>x

4、1X2+y1y2=O2. 與向量的模、夾角相關的三個重要公式(1) 若"(y), KlJ =2÷y2(2) 若 A(Xl,x2).B(x2,y2),則兩點 A、B 間的距離為 AB = J(x2-x1)2 +(y2-y1)2,(3) 設,b都是非零向量,=(x5y), b (x2,y2), a與b的夾角B,則cos”=F +y,2 +>2四、典例分析、舉一反三題型一平面向量數(shù)量積的坐標運算例 1 (1)向量=(l, 1)» b=(-12),貝Ij(2a+b)a=()B. 0A. -1C. 1D. 2> > >(2)在平而直角坐標系x0r中，

5、已知四邊形MCZ)是平行四邊形，M =(1,-2), JZ> =(2,1), J AD - AC =()B. 4A. 5C3D2【答案】(I)C (2)A.【解析】(l)l二(1, -I)M =( 1,2), .(2 + b)s二(1,0) (1 , - 1)=1.由 AC = .IB +,3 二(1, -2)+ (2.1) = (3 r - 1) f 得 AC =(2,1) (3 f - 1) = 5.解題技巧(數(shù)量積坐標運算的兩條途徑)進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質.解題時通常有兩條途徑：一是先將 各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算：二是先利用數(shù)量積的運算

6、律將原式展開，再依據(jù)已知汁算.跟蹤訓練一IX在平面直角坐標系XoV中，正方形OABC的對角線OE的兩端點坐標分別為O(0,0), 5(LI)I則曲 TC2.在平行四邊形松Cz)中，AC =(l,2)t 5P =(-3,2),貝IJ AD AC =【答案】IS 12、3.【解析】1、如圖所示,在正方形OABC中，J(0.1) f C(1.0)(當然兩者位置可互換,不影響最終結果)，則AB > >= (1,0), AC =(1 , -1),從而肋 TC 二(1,0)(1, - I)=IXl+0x(- 1)=1.-' - 1-' 1-' H W 3 2、設AC f

7、BD相交于點O JO AD二JO十OD二矜C十刁肋二ILl丿十匚1丿二(1,2) 又AC二(1,2), . AD AC = (- 17) (1,2)= - 1+4 = 3.題型二向量的模的問題例 2(1)設平面向量 =(12), &=(一2, y), abt 則3+等于()A.5B6C.7D.26(2)已知=213, b=Q, 一3),若 a丄b,求 a+b 的坐標及a+b.【答案】(1)A (2) 十b二(8,1)或“ + b二(-4, -7), + 6 = 65.【解析】(l)l"b. ly 2( 2) = 0,解得 y 二-4 r 從而 3 + = (l,2) , 3

8、+ = 5.設 a = (x t J ) r則由H = 213 .得 X2+/ = 52.由“丄»解得2x 3>=0.由®© 解得、=4或W 4.LV/. a = (6,4)或“二(-6，- 4).a + b = (& 1)或盯十b 二(-4 . - 7) f.W + b = >/65.解題技巧：(求向量模的兩種基本策略)字母表示下的運算：利用|“F二啟將向量的模的運算轉化為向量與向量的數(shù)量積的問題.(2)坐標表示下的運算:若 a = (x , y) I 則 a a-(T-IaF=X2 +y2,于是有IaI 二 yjx2+yl.跟蹤訓練二1.

9、已知向 =(cos , SUI 6，向 Z>=(3, 0),則la-b的最大值為2. 已知平面向量 “=(2,4), b=( 1,2),若 c=a-(a b)bt 貝IJlCl=-【答案】1、2 + 3.2、82.【解析】1、2a b = (2cos - y3 l 2sin ) r2a - b = J(2cos - 3)2 + (2su =4cos2 - 43cos 0 + 3 十 4sf0當且僅當CoSe= - 1時，2"取最大值2 + 3.2、"二(2,4), b二( 1,2),:ab = 2×( - 1) + 42 = 6 fc = 4i - (a b

10、)b 二(2,4) - 6( 1,2)二(2,4) - (- 6,12) = (8f - 8) fICI = -J2 + ( - 8)2 = 82.題型三向量的夾角和垂宜問題15例 3 已知向Sa=(1,2). b=(-2, -4)f e=5t 若(C-Rs=了，則 與 C 的夾角為()A 30oB. 60oC 120。D 150。(2)已知向量“=(1,2), b=(2,3).若向量C滿足(c+a)bt C丄(a+b),求C的坐標.【答案】(I)C. (2)c = (r -I).【解析】(I)Tmb二-2-8=-10,15:得(f - b) a - ca - ba 二 ca +10=2 I5

11、m= -Z設“與C的夾角為5me 2 丄則COSe二麗j二邁X邁二-2.VOo<180o I & =120。.設 C 的坐標為(X y)9 則 6r + c = (l +xf2+y).：(a + c)b f(l+x)×3-2×(2 + v) = 0,即 3x 2y=l.又“十 b 二(3,5),且( 十 b)丄 C t ：. 3x + 5y 二 0.聯(lián)立，得方程組3x - 2V=： 1 r.3x + 5V = Of 故解題技巧（解決向量夾角問題的方法和注意事項）(1) 先利用平面向量的坐標表示求岀這兩個向量的數(shù)雖:枳以及|“|0| ,再由cos &二話

12、侖求出COS 也XlX2 +J,1J,2可由坐標表示COS = L/ 直接求出CoS &由三角函數(shù)值COS 求角時，應注總角的取值范羽 * Ji、/Xm 十 JT是 0.ab(2) 由于0,利用cos&二麗來判斷角&時，要注意CoS知)有兩種情況：一是&是鈍角，二是0二TT ； COS 40也有兩種情況：一是&為銳角，二是&二0.跟蹤訓練三1、已知平面向量“=(3,4), b=(9, x), c=(4, y),且 ab, Q丄c.求b與c：(2)若m=2a-b, n=a+c,求向量加，“的夾角的大小.3【答案】(1)6 = (9,，e = (4

13、I -3)(2)石.【解析】W：a/7b I 3x = 4×9 r x=12.T “丄 c . '34 十牛，二0 ' y 二3,二(9,，c = (4,3).(2> = 2a b = (6,8)(9.12)二(-3 , 4),二“ + c二(3,4)+ (4. - 3) = (7,1).設M,“的夾角為O Imn-3×7 + (-4)×l則 cos = = &3卄(石 ¢+12-252= 252= - 2 3e0E3即m t n的夾角為石 題型四平面向量的數(shù)量積問題 例 4 已知點丄 B, C滿3, 5C=4, ICJI

14、= 5,求 AB BC + BC - G4 + CA AB 的值.【答案】25.【解析】法一進義法如圖，根據(jù)題意可得ZBC為直角三角形且 B 二2 COS J = 5 / COS C二 5 ,： AB BC + BC CA + CA .IB二 BC CA + CA AB=4×5cos( C) + 5×3cos( - A)= 20cos C 15cos A43=-20×5 - 15×5二-25.法二坐標法 -IB =(一3.0), BC =(0.4),CA =(3, 一4).45 5C=-3×0+0×4=0,BC CA =OX3+4(4

15、)= 一 16,CA AB =3x(一3)+(一4)Xo= 一9.> > .1B BC + BC CA + CA- AB =O 一 16一9 = 一25解題技巧(求平而向量數(shù)量積常用的三個方法)(1)左義法：利用左義式b二GoeOS 求解：(2)坐標法：利用坐標式ab = X1X2 +y2求解:(3)轉化法：求較復雜的向蜀數(shù)量積的運算時，可先利用向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡，然 后進行計算.跟蹤訓練四1、如果正方形OABC的邊長為1,點D E分別為肋，Be的中點，那么COSZDOE的值為.4【答案】5-【解析】法一：以O為坐標原點，OA t OC所在的直線分別為X軸軸建立平而直角坐標系，如圖所示,G, I)則由已知條件，可得CQ二IOZ)I- OE 2 × 2. , . , ,法二：T OD 二 OA + .4D = OA + OC I. > , , ,OE = OC + CE = OC + OA ,一適一逅ODI二 2 , OEI= 2 ,OD OE 二 CU2十OC2二 1 fODOE 4'cosZDOE二 > > =5-I OD OE五、課堂小結讓學生總結本節(jié)課所學主要知識及解題技巧六、板書設計6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示1、兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的公式 例1例22. 與向量的模、夾角相關的三個重要公式 例