平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用一. 極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法1 （向量法）設(shè) 則.即 .證法2 （解析法） 證法3 （余弦定理）推論1：由知，,即 推論2： - 極化恒等式. 即 推論3：在中，是邊的中點(diǎn)，則- 極化恒等式的幾何意義.亦即向量數(shù)量積的第二幾何意義.二. 平行四邊形的一個(gè)重要結(jié)論平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.三. 三角形中線的一個(gè)性質(zhì)： .推論1： .推論2： .【應(yīng)用】已知點(diǎn)是直角三角形斜邊上中線的中點(diǎn)，則.四. 三角形“四心”的向量形態(tài)1. 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不同的三點(diǎn)，

2、動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心2. 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不同的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ，.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心3. 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不同的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的- A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心4. 是所在平面上一點(diǎn)，若，P是的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心5. 是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)是的-（ ） A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心五. 典型案例分析問題1 在中，是的中點(diǎn)，則【變式】已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)是邊

3、上的動(dòng)點(diǎn)，則問題2 已知正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是-【變式】（2010福建文11題）若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為 （ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 8問題3 （2013浙江理7）在中，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有，則A. B. C. D. 【變式】（2008浙江理9題）已知是平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. D. .問題3 已知直線與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若滿足，則下列一定成立的是 （ ）【B】A. B. ，其中是拋

4、物線過點(diǎn)的切線 C. D. （2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第5題）問題4 在正三角形中，是上的點(diǎn)，,則（2011年上海第11題）【】問題5 在中，是的中點(diǎn)，則.（2007年天津文科第15題）【】問題6 正方體的棱長(zhǎng)為，是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為-.（2013年浙江省湖州市高三數(shù)學(xué)二模）【2】.問題7 點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是-. （2013年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)二模）【】.問題8 如圖，在平行四邊形中，已知，則.的值為-.（2014年高考江蘇卷第12題）【22】問題9 如圖，在半徑為的扇形中，,為弧上的動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則最小值為-【】.問題10 已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)結(jié)論】：在橢圓中，設(shè)，則，.在雙曲線，設(shè)，則，.課外探究1. 已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，是圓的直徑，則的最大