2022年必修二立體幾何復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題

1、1 一、判定兩線平行的方法1、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行4、 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行5、 在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1、 據(jù)定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點2、 如 果 平 面 外 的 一 條 直 線 和 這 個 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 平 行 ， 則 這 條 直 線 和 這 個平面平行3、 兩面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面4、 平面外的兩條平行直

2、線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、 平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面三、判定面面平行的方法1、定義：沒有公共點2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個平面平行4、平行于同一平面的兩個平面平行四、面面平行的性質(zhì)1、兩平行平面沒有公共點2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行4、 垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面五、判定線面垂直的方法1、 定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、 如果一條直線和一個平面內(nèi)的

3、兩條相交線垂直，則線面垂直3、 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面4、 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面5、 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個平面6、 如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么它們的交線垂直于另一個平面六、判定兩線垂直的方法1、 定義：成90角2、 直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直3、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的

4、一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1、 定義：兩面成直二面角,則兩面垂直2、 一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1、 二面角的平面角為90精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -2 2、 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面3、 相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面九

5、、各種角的范圍1、異面直線所成的角的取值范圍是：90090,02、直線與平面所成的角的取值范圍是：90090,03、斜線與平面所成的角的取值范圍是：90090,04、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是：1800180,0十、三角形的心1、內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點2、外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點3、重心：中線的交點4、垂心：高的交點【例題分析】例 2在四棱錐pabcd 中，底面abcd 是平行四邊形，m，n 分別是 ab，pc 的中點，求證： mn平面 pad【分析】 要證明“線面平行” ，可通過“線線平行”或“面面平行”進行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點的條件，因此可考慮構(gòu)造

6、(添加 )中位線輔助證明證明： 方法一，取pd 中點 e，連接 ae，ne底面 abcd 是平行四邊形，m，n 分別是 ab，pc 的中點，macd，.21cdmae 是 pd 的中點，necd，.21cdnemane，且 mane，aenm 是平行四邊形，mn ae又 ae平面 pad， mn 平面 p ad，mn平面 pad方法二取 cd 中點 f，連接 mf ，nf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

7、- - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -3 mfad，nfpd，平面 mnf 平面 pad，mn平面 pad【評述】 關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：ac，bc，a ，a a ，b b a， babababa b(2)證明線面平行：a ab b ，aaaaa(3)證明面面平行： a ，ba ，a ， a，b ，a b a 例 3在直三棱柱abca1b1c1中， aa1ac，abac，求證： a1cbc1【分析】 要證明“線線垂直” ，可通過“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明a1c 垂直于經(jīng)過 bc1的平面即可證明： 連接 ac1abca1

8、b1c1是直三棱柱，aa1平面 abc，abaa1又 ab ac，ab平面 a1acc1，a1cab又 aa1ac，側(cè)面 a1acc1是正方形，a1cac1由，得a1c平面 abc1，a1cbc1【評述】 空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“abac”都要將其向“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8

9、頁 - - - - - - - - -4 例 4在三棱錐pabc 中，平面 p ab平面 abc，abbc，ap pb， 求證：平面 pac平面 pbc【分析】 要證明 “面面垂直” ，可通過 “線面垂直” 進行轉(zhuǎn)化， 而“線面垂直” 又可以通過“線線垂直”進行轉(zhuǎn)化證明：平面 pab平面 abc，平面 pab平面 abcab，且 abbc，bc平面 pab，apbc又 ap pb，ap平面 pbc，又 ap平面 pac，平面 pac平面 pbc【評述】 關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：ac，bc，aba bab(1)證明線面垂直：a m，anab，b ，a ， l

10、m，n ，m naa ，alaaaa(1)證明面面垂直：a ，a 例 5如圖，在斜三棱柱abc a1b1c1中，側(cè)面a1abb1是菱形，且垂直于底面abc，a1ab60， e，f 分別是 ab1，bc 的中點()求證：直線ef平面 a1acc1；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -5 ()在線段 ab 上確定一點g，使平面efg平面 abc，

11、并給出證明證明： ( )連接 a1c， a1e側(cè)面 a1abb1是菱形，e 是 ab1的中點，e 也是 a1b 的中點，又 f 是 bc 的中點， efa1ca1c平面 a1acc1，ef平面 a1acc1，直線 ef平面 a1acc1(2)解：當31gabg時，平面efg平面 abc，證明如下：連接 eg，fg側(cè)面 a1abb1是菱形，且a1ab60， a1ab 是等邊三角形e 是 a1b 的中點，31gabg， egab平面 a1abb1平面 abc，且平面a1abb1平面 abcab，eg平面 abc又 eg平面 efg ，平面efg平面 abc例 6如圖，正三棱柱abca1b1c1中，

12、 e 是 ac 的中點()求證：平面bec1平面 acc1a1； ()求證： ab1平面 bec1【分析】 本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當添加輔助線幫助思考證明： ( )abca1b1c1是正三棱柱，aa1平面 abc，beaa1 abc 是正三角形，e 是 ac 的中點， beac， be平面 acc1a1，又 be平面 bec1，平面 bec1平面 acc1a1()證明：連接b1c，設(shè) bc1b1cdbcc1b1是矩形， d 是 b1c 的中點，de ab1又 de平面 bec1，ab1平面 bec1，ab1平

13、面 bec1例 7在四棱錐pabcd 中，平面pad平面 abcd， abdc， pad 是等邊三角形，已知 bd 2ad8，542dcab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -6 ()設(shè) m 是 pc 上的一點，證明：平面mbd 平面 pad；()求四棱錐pabcd 的體積【分析】 本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從m

14、是 pc 上的動點分析知，mb，md 隨點 m 的變動而運動，因此可考慮平面mbd 內(nèi)“不動”的直線bd 是否垂直平面pad證明： ( )在 abd 中，由于 ad 4， bd8，54ab，所以 ad2bd2ab2故 adbd又平面 pad平面 abcd，平面 pad平面 abcdad，bd平面 abcd，所以 bd 平面 pad，又 bd平面 mbd ，故平面mbd平面 pad()解：過 p 作 poad 交 ad 于 o，由于平面 pad平面 abcd，所以 po平面 abcd因此 po 為四棱錐pabcd 的高，又 p ad 是邊長為4 的等邊三角形因此.32423po在底面四邊形abc

15、d 中， abdc， ab2dc，所以四邊形abcd 是梯形，在rtadb 中，斜邊ab 邊上的高為5585484，即為梯形 abcd 的高，所以四邊形abcd 的面積為.2455825452s故.316322431abcdpv9.如圖 4, 在邊長為1 的等邊三角形abc中,d e分別是,ab ac邊上的點 ,adae,f是bc的中點 ,af與de交于點g,將abf沿af折起 ,得到如圖5 所示的三棱錐abcf, 其中22bc. (1) 證明 :de/ 平面bcf; 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - -

16、 - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -7 圖 5dgbfcae圖 4gefabcd(2) 證明 :cf平面abf; (3) 當23ad時, 求三棱錐fdeg的體積fdegv. 形abc中,adae9.【答案】(1) 在等邊三角adaedbec,在折疊后的三棱錐abcf中也成立 ,/ /debc ,de平面bcf, bc平面bcf,/ /de平面bcf; (2) 在等邊三角形abc中,f是bc的中點 , 所以afbc,12bfcf. 在三棱錐abcf中,22bc,222

17、bcbfcfcfbfbfcffcfabf平面; (3) 由(1) 可知/ /gecf, 結(jié)合 (2) 可得gedfg平面. 1 11 1 113133 23 2 3323324fdegedfgvvdg fg gf4. 如圖，四棱錐pabcd 中， abcd 為矩形， pad 為等腰直角三角形，apd=90 ，面 pad面 abcd ，且 ab=1 ，ad=2 ，e、f 分別為 pc 和 bd 的中點（1）證明： ef面 pad；（2）證明：面pdc面 pad；（3）求四棱錐pabcd 的體積4. 如圖，連接ac ，abcd 為矩形且 f 是 bd 的中點，ac 必經(jīng)過 f 1 分精品學(xué)習(xí)資料

18、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -8 又 e 是 pc 的中點，所以， efap 2 分ef 在面 pad 外， pa 在面內(nèi)， ef面 pad （2）面 pad面 abcd ，cdad ，面 pad面 abcd=ad ， cd面 pad，又 ap面 pad， ap cd 又 appd，pd 和 cd 是相交直線，ap面 pcd 又 ad面 pad，所以，面pdc面 pad （3）取 ad 中點為 o，連接 p