高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（一）課件 新人教B版選修1-1

1、第二章 2.3拋物線2.3.2拋物線的幾何性質(zhì)(一)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一拋物線的幾何性質(zhì)思考1類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，你認(rèn)為可以討論拋物線的哪些幾何性質(zhì)？答案范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率.思考2類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象，你能說出拋物線y22px(p0)的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？答案范圍x0，關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0).思考3參數(shù)p對(duì)拋物線開口大小有何影響？答案參數(shù)p(p0)對(duì)拋物線開口大小有影響，因?yàn)檫^拋物線的焦點(diǎn)f且垂直于對(duì)稱軸的

2、弦的長(zhǎng)度是2p，所以p越大，開口越大.梳理梳理標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形性質(zhì)范圍x0，yrx0，yrxr，y0 xr，y0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)_離心率e_(0,0)1知識(shí)點(diǎn)二焦點(diǎn)弦設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則：y22px(p0)|ab|x1x2py22px(p0)|ab|p(x1x2)x22py(p0)|ab|y1y2px22py(p0)|ab|p(y1y2)題型探究類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例例1已知拋物線的焦點(diǎn)f在x軸上，直線l過f且垂直于x軸，l與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若oa

3、b的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解答由題意，設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，所以|ab|2|m|.因?yàn)閛ab的面積為4， 引申探究引申探究等腰直角三角形aob內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，o為拋物線的頂點(diǎn)，oaob，則aob的面積是a.8p2 b.4p2 c.2p2 d.p2答案解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接aob為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線ab與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線oa與x軸的夾角為45.所以易得a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，2p).把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x 還是y，一

4、次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸.(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸距離分別為10和6，求拋物線的方程.解答設(shè)拋物線的方程為y22ax(a0)，點(diǎn)p(x0，y0).因?yàn)辄c(diǎn)p到對(duì)稱軸距離為6，所以y06.因?yàn)辄c(diǎn)p到準(zhǔn)線距離為10，因?yàn)辄c(diǎn)p在拋物線上，所以362ax0， 所以所求拋物線的方程為y24x或y236x.類型二拋物線的焦點(diǎn)弦問題例例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于a、

5、b兩點(diǎn).(1)若直線l的傾斜角為60，求|ab|的值；解答因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2).則x1x25.x1x2p，所以|ab|538.(2)若|ab|9，求線段ab的中點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離.解答所以x1x26，所以線段ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)是3.引申探究引申探究本例中，若a，b在其準(zhǔn)線上的射影分別為a1，b1，求a1fb1.解答由拋物線定義|aa1|af|，得aa1fafa1，又aa1x軸，ofa1aa1f，ofa1afa1，同理得ofb1bfb1，a1fob1fo90，即a1fb190.反思與感悟(1)拋物線的焦半徑(2)過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求解方法設(shè)過拋物線y22px

6、(p0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|x1x2p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|8，則直線l的方程為_.xy10或xy10答案解析拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|ab|4，不符合題意.所以可設(shè)所求直線l的方程為yk(x1).所以所求直線l的方程為xy10或xy10.類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用例例3某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5 m時(shí)，水面寬8 m，一木船寬4 m，高2 m，載貨的木船露在水面上的部

7、分高為0.75 m，貨物的寬與木船相同，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時(shí)，木船開始不能通航？解答以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.(如圖)設(shè)拋物線的方程是x22py(p0)，由題意知a(4，5)在拋物線上，設(shè)水面上漲，木船貨物上表面兩側(cè)與拋物線形拱橋接觸于b，b時(shí)，木船開始不能通航.設(shè)b(2，y)，故當(dāng)水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2 m時(shí)，木船開始不能通航.反思與感悟在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，有一座拋物

8、線型拱橋，橋下面在正常水位ab時(shí)寬20米，水位上升3米就達(dá)到警戒線cd，這時(shí)水面寬度為10米.若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2米的速度從警戒線開始上升，則再持續(xù)多少小時(shí)才能到拱橋頂？(平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點(diǎn)為點(diǎn)o的)解答設(shè)所求拋物線的解析式為yax2.設(shè)d(5，b)，則b(10，b3)，即再持續(xù)5小時(shí)水位到達(dá)拱橋頂.當(dāng)堂訓(xùn)練12345設(shè)拋物線y22px或y22px(p0)，p4.1.以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為a.y28x b.y28xc.y28x或y28x d.x28y或x28y答案解析12345答案解析3.已知過拋物線

9、y28x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則ab的值為_.1234510答案解析由y28x，得p4，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，23410.12345答案解析4.對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1).符合拋物線方程為y210 x的條件是_.(要求填寫合適條件的序號(hào))12345由拋物線方程y210 x，知它的焦點(diǎn)在x軸上，所以符合.設(shè)點(diǎn)p(2,1)，可得kpokpf1，也符合.而顯然不符合，通過計(jì)算可知、不合題意.應(yīng)填.123455.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；解答因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x216y.12345(2)頂點(diǎn)是雙曲線16x29y2144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸.解答規(guī)律與方法1.討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；利用