2022年探索勾股定理教學(xué)案例

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載課題： 18.1 探究勾股定理教學(xué)案例本節(jié)課老師從學(xué)問(wèn)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)橥瑢W(xué)學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者，合作者，在指導(dǎo)同學(xué)動(dòng)手操作拼圖， 發(fā)覺(jué)結(jié)論后利用幾何畫板直觀的動(dòng)態(tài)的展現(xiàn)的變換，激發(fā)同學(xué)自覺(jué)地探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，表達(dá)發(fā)覺(jué)的樂(lè)趣；本節(jié)課同學(xué)不僅僅停留在學(xué)會(huì)課本學(xué)問(wèn)的層面上，而是以爭(zhēng)論者的身份深化其境，帶著勝利的歡快去學(xué)習(xí)；本節(jié)課遵循從特別到一般的認(rèn)知規(guī)律，留意同學(xué)的溝通活動(dòng)，引導(dǎo)同學(xué)積極參加拼圖活動(dòng)，在活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)問(wèn)的學(xué)習(xí)，并進(jìn)一步進(jìn)展同學(xué)合作溝通的意識(shí)和才能；整節(jié)課以“開放、探究，合作，引導(dǎo)”為基本特點(diǎn)，老師對(duì)同學(xué)的思維活動(dòng)削減干預(yù)給同學(xué)足夠的空間，讓同學(xué)在一個(gè)較為寬松、愉悅的環(huán)境中

2、自主的選擇獲得學(xué)問(wèn)的方向；給同學(xué)多大的舞臺(tái)，同學(xué)就有多大的展現(xiàn)空間；關(guān)鍵詞：開放、探究、合作、引導(dǎo)課題： 18.1 探究勾股定理教材分析 ：勾股定理是同學(xué)在已經(jīng)把握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它是直角三角形的一條特別重要的性質(zhì)， 它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解直角三角形的主要依據(jù)之一， 在實(shí)際生活中用途很大；教材留意培育同學(xué)的動(dòng)手操作才能和分析問(wèn)題的才能，通過(guò)實(shí)際分析、拼圖等活動(dòng)，使同學(xué)獲得較為直觀的印象；通過(guò)聯(lián)系和比較，懂得勾股定理，以利于正確的進(jìn)行運(yùn)用；學(xué)情分析 ：八年級(jí)的同學(xué)思維比較活躍，在平常自主學(xué)習(xí)、合作探究才能訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，具有了肯定的歸納、總結(jié)才能及合

3、作意識(shí)；他們有參加實(shí)際問(wèn)題活動(dòng)的積極性，但技能和方法有待提高；八年級(jí)同學(xué)能獨(dú)立摸索，有劇烈的探究愿望，并能在探究的過(guò)程中形成自己的觀點(diǎn)，能在溝通看法的過(guò)程中逐步完善自己的觀點(diǎn)；故本課設(shè)計(jì)遵循“構(gòu)建主義 ”的學(xué)習(xí)理念，以同學(xué)為中心，強(qiáng)調(diào)同學(xué)對(duì)學(xué)問(wèn)的主動(dòng)探究、主動(dòng)發(fā)覺(jué)和對(duì)所學(xué)學(xué)問(wèn)意義的主動(dòng)建構(gòu)；教學(xué)目標(biāo)：學(xué)問(wèn)與技能： 1讓同學(xué)在經(jīng)受探究定理的過(guò)程中，懂得并把握勾股定理的內(nèi)容及存在條件； 2介紹勾股定理的幾個(gè)聞名證法及相關(guān)史料；3使同學(xué)能對(duì)勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)潔運(yùn)算和實(shí)際應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想： 在勾股定理的探究過(guò)程中, 進(jìn)展合情推理才能, 體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想 .問(wèn)題解決： 1. 通過(guò)拼圖活動(dòng) , 體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的

4、嚴(yán)謹(jǐn)性, 進(jìn)展形象思維 .2. 在探究活動(dòng)中 , 學(xué)會(huì)與人合作并能與他人溝通思維的過(guò)程和探究的結(jié)果.情感態(tài)度和價(jià)值觀： 1、通過(guò)勾股定理產(chǎn)生、證明及其歷史背景的學(xué)習(xí)，使同學(xué)明白“空間與圖形”有著豐富的歷史淵源，明白我們祖先的聰明，增強(qiáng)民族驕傲感，感受數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)進(jìn)展的推動(dòng)作用；2、在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培育同學(xué)的合作溝通意識(shí)的探究精神；教學(xué)重點(diǎn)： 勾股定理的探究過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)： 勾股定理的證明與精確的應(yīng)用教具學(xué)具： 多媒體平臺(tái)，同學(xué)自制全等直角三角形，老師用三角板教學(xué)方法與教學(xué)手段：自主探究、合作溝通教學(xué)過(guò)程：bc（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)愛(ài)好師：觀看以下圖片，它們都與什么圖形有關(guān)？生

5、：（齊答）直角三角形，正方形！a師：這三幅圖分別是一張希臘為紀(jì)念一個(gè)重要數(shù)學(xué)定理而發(fā)行的郵票、華羅庚教授建議向外太空發(fā)射與外星人聯(lián)系的圖案、 20xx年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)弦圖，它們都可以證明一個(gè)重要定理！大家想知道是哪個(gè)定理嗎？生：想！師：好！下面老師和大家一起來(lái)探究這個(gè)定理！設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)觀賞圖片，明白歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景學(xué)問(wèn)，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)愛(ài)好，自然引出本節(jié)課的課題；（二）用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題（畢達(dá)哥拉斯的發(fā)覺(jué)）師：相傳兩千多年前，古希臘聞名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去伴侶家做客；在宴席上，其他的來(lái)賓都在縱情歡快，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著伴侶家的方磚地發(fā)起呆來(lái)；原先，伴侶家的地是用一塊

6、塊直角三角形外形的磚鋪成的，黑白相間，特別美觀大方；師：同學(xué)們，請(qǐng)你也來(lái)觀看下圖中的地面，看看能發(fā)覺(jué)些什么？ 生 1：由等腰直角三角形、正方形師：原先啊，畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺(jué)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種關(guān)系，你發(fā)覺(jué)了嗎？探究活動(dòng) 1（ 2）你能找出圖中三個(gè)正方形面積生 2：兩個(gè)紅顏色的正方形的面積之和等于藍(lán)顏色的正方形的面積；師：你能說(shuō)說(shuō)理由嗎？生 2：假如一個(gè)小的等腰直角三角形的面積為1，那么兩個(gè)小正方形的面積和大正方形的面積都等于4.設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)講傳奇故事來(lái)進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)愛(ài)好，使同學(xué)在不知不覺(jué)中進(jìn)入學(xué)習(xí)的正確狀態(tài)，“問(wèn)題是思維的起點(diǎn)”，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺(jué)新知；（三）深化探究，溝通

7、歸納探究活動(dòng) 2問(wèn)題 1：設(shè)每個(gè)小正方形的面積為1，分別運(yùn)算以下圖形中正方形a 、b、c 的面積，它們之間都有上述關(guān)系嗎？生 3：在算出面積之后，確定地說(shuō)有sa+sb=sc問(wèn)題 2：你能用等腰直角三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面b積嗎？由此猜想等腰直角三角形三邊有怎樣的關(guān)系？c生 4：我發(fā)覺(jué)每個(gè)正方形的面積都等于直角三角形邊長(zhǎng)aa的平方，如一個(gè)等腰直角三角形的兩條直角邊為a，斜c邊為 c，就有 a2+a2=c2b老師板書：等腰直角三角形a2 +a 2 =c2師：在等腰直角三角形中，這個(gè)結(jié)論是成立的，那么這個(gè)結(jié)論對(duì)于個(gè)更一般的三角形是否成立呢？ 生：（不加思索）成立！師：比等腰直角三角形更一般的三角形

8、是什么三角形？生 5：等腰三角形、直角三角形生 6：仍有一般三角形師：好！我們先來(lái)爭(zhēng)論等腰三角形！以等腰三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，三個(gè)正方形之間滿足剛才的關(guān)系嗎？cb生 7：在網(wǎng)格中作出等腰三角形，并向外作正方形，很明顯a 、 b、 c 三者之間沒(méi)有任何關(guān)系！因此等腰三角形的三邊沒(méi)有特別關(guān)系！a師：很好！生 8：其實(shí)不在網(wǎng)格， 也可以說(shuō)明！ 等腰 adb 和等腰 acb有公共的底邊 ab ，以 ac 、cb 為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和與以ad 、bd 為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和不相等；所以等腰三角形的三邊沒(méi)有特別關(guān)系?。ㄍ瑢W(xué)報(bào)以熱鬧的掌聲）師：很好，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯獨(dú)標(biāo)準(zhǔn)，我們?nèi)钥梢越柚嗝?/p>

9、體來(lái)驗(yàn)證！ （老師演示幾何畫板） 借助幾何畫板直觀演示，得出結(jié)論：一般的等腰三角形中三邊不具有特別的關(guān)系！ 當(dāng)然一般三角形三邊也不具有特別的關(guān)系！師：下面我們來(lái)爭(zhēng)論直角三角形探究活動(dòng) 3做一做：?jiǎn)栴} 3：懇求圖中正方形a 、b、c 的面積，看看能得出什么結(jié)論？ 師：在這里正方形a 、b 的面積很簡(jiǎn)潔求出，正方形c 的面積怎么求呢？生 9：可以用這樣的方法：用大正方形的面積減去四個(gè)小直角三角形的面積，面積等于25；生 10：可以將其分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，面積等于25；aaabbbccc生 11：仍可以將其分割拼成如下列圖的圖形，面積等于25；生 12：仍可以這樣拼！aabbc

10、c師：他們的做法都是正確的，一個(gè)用了“補(bǔ)”的方法， 一個(gè)用了“割”的方法；在這個(gè)圖形中有 sa+sb =sc問(wèn)題 4：下圖中的正方形之間也有這個(gè)結(jié)論嗎？生 13：有！問(wèn)題 5：假如用 a、b、c 分別表示三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，三者之間的面積 關(guān)系如何表示？由三個(gè)正方形所搭成 的直角三角形三邊存在怎樣的關(guān)系？生 14：在直角三角形中， 兩直角邊a、b 與斜邊 c 有 a2+b2=c2老師板書：直角三角形a2 +b2 =c2（直角邊長(zhǎng)為“整數(shù)” ）設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，讓探究過(guò)程由淺入深，循序漸進(jìn)；經(jīng)受觀看、猜想、歸納這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程， 符合同學(xué)認(rèn)知規(guī)律；探究面積證法的多樣性，表達(dá)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的

11、敏捷性，進(jìn)展同學(xué)的合情推理才能和歸 納概括才能；探究活動(dòng) 4問(wèn)題 6：假如直角三角形的邊長(zhǎng)為“小數(shù)”呢？ 這個(gè)結(jié)論仍成立嗎？在網(wǎng)格紙上畫出直角邊長(zhǎng)分別為 1.6 個(gè)單位長(zhǎng)度和2.4 個(gè)單位長(zhǎng)度的直角三角形， 上面所猜想的數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；生 15：這個(gè)可能要借助運(yùn)算機(jī)了！ （大家笑）生 16：其實(shí)當(dāng)直角邊是“小數(shù)”的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)換成“整數(shù)”，可以細(xì)化網(wǎng)格，使網(wǎng)格的一個(gè)單位是兩條直角邊的“公約數(shù)” ！師：你能跟大家講講你是怎么想到的嗎？生 16：由于兩條直角邊是整數(shù)3、4 時(shí)，我量了它也不是實(shí)際長(zhǎng)度，只不夠取了它們的比值而已！而網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度是它們實(shí)際長(zhǎng)度的“約數(shù)”；生 17：對(duì)！

12、剛才 3、4、5 是一個(gè)直角三角形的三邊，那它們長(zhǎng)度的2 倍也應(yīng)當(dāng)能畫出直角三角形！ 師：你們說(shuō)的太好了！這可以我們后面要探究的問(wèn)題！下面我用幾何畫板來(lái)演示給大家看看！剛才這個(gè)結(jié) 論對(duì)任意的直角三角形都是成立的?。ㄍ蟿?dòng)點(diǎn) b ，轉(zhuǎn)變直角三角形abc 的各邊長(zhǎng)度， 觀看三個(gè)正方形的面積的關(guān)系）設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)上述兩種探究活動(dòng)，同學(xué)已初步探究出直角邊為整數(shù)的直角三角形三邊關(guān)系；設(shè) 計(jì)讓同學(xué)動(dòng)手畫直角邊是小數(shù)的情形，將探究活 動(dòng)進(jìn)一步深化，從而擴(kuò)展到更一般的情形；使學(xué) 生體會(huì)數(shù)學(xué)探究由特別到一般，再到更一般過(guò)程；利用幾何畫板的高效性、動(dòng)態(tài)性反映這一過(guò)程， 讓同學(xué)體會(huì)到更多的特別情形，從而為歸納供應(yīng)

13、基礎(chǔ)，這樣歸納的結(jié)論更具有一般性，同學(xué)的印 象也更深刻；板書：勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）+b直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；a22=c2cba2 +b 2=c 2（四）追溯歷史，激發(fā)情感a師：我國(guó)是最早了角勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，假如勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代聞名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中；商高周髀算經(jīng)畢達(dá)哥拉斯設(shè)計(jì)意圖： 介紹有關(guān)勾股定理的歷史，使同學(xué)對(duì)中國(guó)乃至世界的數(shù)學(xué)史產(chǎn)生深厚的愛(ài)好，為下一節(jié)的驗(yàn)證打好基礎(chǔ)；（五）實(shí)踐應(yīng)用，拓展提高1. 求以下圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z 的

14、值；x81144144y169z6255762. 求出以下直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度；517x16x12x2083. 有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為10 尺的正方形，在水池正中心有一根新生的蘆葦，它高出水面1 尺，假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？設(shè)計(jì)意圖： 由于同學(xué)對(duì)學(xué)問(wèn)的懂得程度有所差異，因此，習(xí)題的設(shè)置表達(dá)層次性；通過(guò)對(duì)勾股定理的基本應(yīng)用，讓同學(xué)知道 1、已知直角三角形三邊中的任意兩邊，可以求第三邊；2、已知直角三角形三邊中的一邊及另兩邊的關(guān)系，可以求另兩邊；（六）回憶小結(jié)，整體感知通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收成與感悟！設(shè)計(jì)意圖

15、：同學(xué)通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的小結(jié)，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過(guò)梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)，培育歸納概括才能；（七）布置作業(yè)，鞏固加深（ 1）課本第 47 頁(yè)第 2 題；（ 2）在網(wǎng)頁(yè)中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容，勾股定理的證明方法已經(jīng)有幾百種，請(qǐng)你結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)探究或從網(wǎng)上搜尋證明勾股定理的其它方法；設(shè)計(jì)意圖： 針對(duì)同學(xué)認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題，既使同學(xué)鞏固學(xué)問(wèn)，形成技能，又使學(xué)有余力的同學(xué)獲得正確進(jìn)展；教學(xué)反思：1. 本節(jié)課依據(jù)同學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)采納“觀看猜想試驗(yàn)歸納驗(yàn)證應(yīng)用”的教學(xué)方法， 這一流程表達(dá)了學(xué)問(wèn)發(fā)生、形成和進(jìn)展的過(guò)程，讓同學(xué)體會(huì)到觀看、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想；從同學(xué)的原有認(rèn)知?jiǎng)由?，揭示這節(jié)課產(chǎn)生的根源，符合同學(xué)的認(rèn)知心理；滲透從特別到一般的數(shù)學(xué)思想；為同學(xué)供應(yīng)參加數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮同學(xué)的主體作用；培育同學(xué)的類比遷移才能及探究問(wèn)題的才能，使同學(xué)在相互爭(zhēng)論、啟示中得到提高；2. 本節(jié)課始終表達(dá)“以同學(xué)為本”的訓(xùn)練理念，試圖讓同學(xué)經(jīng)受觀看、歸納、猜想、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)過(guò)程，進(jìn)展同學(xué)的合情推理才能，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家們探求新