初數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理

1、初二數(shù)學(xué)【教學(xué)進(jìn)度】幾何第二冊(cè)第五章§ 5.2教學(xué)內(nèi)容 平行線分線段成比例定理重點(diǎn)難點(diǎn)剖析一、主要知識(shí)點(diǎn)1平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊

2、對(duì)應(yīng)成比例。二、重點(diǎn)剖析1平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時(shí)， 它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。定理的基本圖形ADL 1DAL 1A (D)L 1DAL 1BEL2EBL 2BEL 2B(E)L 2CFL 3CFL 3CFL 3CFL 3圖1- （1）圖1- （2）圖1- （3）圖1- （4）ABDEABDEBCEF l1 l2 l 3 EFACDFACDFBC對(duì)應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對(duì)應(yīng)。為了強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)和記憶，可以使用一些簡(jiǎn)單形象化語(yǔ)言記憶上面所列三組比例式：ABDE，可以說(shuō)成“上比下等于上比下”BC

3、EFABDE，可以說(shuō)成“上比全等于上比全”ACDFBCEF，可以說(shuō)成“下比全等于下比全”等ACDF2三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1（即平行線分線段比例定理的推論）基本圖形精選文庫(kù)AEDAABCDEBCBC DE圖 2-(1)圖 2-(2)圖 2-(3) DE BC ADAEADAEDBCEDBECABACABAC圖 2（ 1），圖 2（ 3）稱(chēng)為“ A ”型，圖2（ 2）稱(chēng)為“ X ”型推論中“或兩邊的延長(zhǎng)線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線3三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題。（ 1）這個(gè)定理可以用來(lái)判定兩條直線平行。（ 2）使用時(shí)，一定要注意這個(gè)定理的前提：截三

4、角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例。4平行線分線段成比例定理的逆命題：三條直線截兩條直ADl 1線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行。它是一個(gè)假命題，如圖3，其中 AB=BC ，AB DE，但 L1BEl 2l 3DE=EF ，則123不平行。、L 、LBCEF5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理 2（即課本例 6），這個(gè)定理也叫做相似三角形預(yù)備定理ADDEAE DE BCABBCAC這時(shí)，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。當(dāng)平行于三角形一邊的直線截兩邊的延長(zhǎng)線時(shí)，這個(gè)定FC圖3ADEBC圖4理也成立。圖 4 是最基本的“ A ”型，課本例 6 中有“ A”型時(shí)常A作平行

5、線， 把所要研究的線段中， 與其它線段關(guān)系不明顯的線段平移到關(guān)系明顯的線段上去。GE典型例題 F例 1、如圖 5，在 ABC 中， D 是 BC 上的點(diǎn)，E 是 AC 上的點(diǎn)， AD 與 BE 交于點(diǎn) F，若 AE:EC=3:4 ，BDCBD:DC=2:3 ，求 BF:EF 的值。圖5分析：求兩條線段的比值，可通過(guò)平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身并沒(méi)有平行線，故需添加輔助線平行線去構(gòu)造比例線段，進(jìn)而求出比值。解：過(guò) E 作 EG BC 交 AD 于 G，則在 ADC 中，GEAEDCACAE3AE3EG3又477ECACDC極 EG=3X ， DC=7X （ X>

6、0 ），則 BD2 DB=2 DC27x14 xDC3333BD14 x1433x9EG2精選文庫(kù)BFBD14又 EGBC， FEEG9例 2、如圖 6，DE AB ， EF BC ，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm, 求 BD 。分析 根據(jù)條件可知 BDEF 為平行四邊形， 由 EF BC ，應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得AFEFAB再應(yīng)用比例性質(zhì)，即可求出 EF 即 BD 。BC解： DE AB ， EFBC 四邊形 BDEF 為平行四邊形， BD=EFAFEAFEF又 EF BC， BCBDCAB圖 6AFBD5BDBD DCBD 2AF BF5 3解之，得 BD=10 （ c

7、m）3例 3、如圖 7， A 、 C、 E 和 B 、 F、 D 分別是 O 的兩邊上的點(diǎn)，且求證： AF/CD分析 要證明 AF/CD ，應(yīng)推導(dǎo)出能使AF/CD 的比例線段，由題中圖形可知，應(yīng)證明OAOF ，而由 AB/ED ，OCODBC/FE ，容易得到此關(guān)系。AB ED 、 BC FE。ECA證明： AB/ED OAOB OBOCOB FDBC/FE圖7OEODOFOE由得 OA ODOB OE由得 OC OFOB OEOA ODOC OF則 OA OFAF/CDOC OD點(diǎn)評(píng)：本題是采用的是“公比過(guò)渡”的方法來(lái)解決問(wèn)題的，“公比”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式中均有一個(gè)公共比， A 有時(shí)

8、公比是采用乘積式的形式。例 4 如圖 8 梯形 ABCD 中， AB/CD ， M 為 AB 的中點(diǎn)，分別連結(jié) AB 、BD 、MD 、MC，且 AC 與 MD 交于E， DB 與 MC 交于 F，求證 EF/CD分析：要證EF/CD ，可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，首先觀察 EF、 CD 截哪個(gè)三角形，然后證明它截得兩邊上的對(duì)應(yīng)線段成比例即可。MBEFD圖8C證明： AB/CD CDDEAMEM， CDCF又 AM=BM DECF EF/CDMBFMEMFM點(diǎn)評(píng)利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：（ 1）首先觀察欲證平行線截哪個(gè)三角形（2）再觀察它們截這個(gè)三角形

9、的哪兩邊（ 3）最后只須證明這兩條邊上對(duì)應(yīng)線段成比例即可當(dāng)已知中有相等線段時(shí)，常利用它們和同一條線段（或其它相等線段）的比作為中間比例 5 如圖 9， A ,B , C ,分別在 ABC 的三邊 BC、AC、AB 上或其延長(zhǎng)線上，且AA / BB / CC求證：111AABBCCACB分析 所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類(lèi)問(wèn)題，一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。BA圖9 C證明： CC / AA CCBCCC /BB CCACAABABBAB3精選文庫(kù)CCC CBCACB CAC111BBBAABAB1AAAABBCC點(diǎn)評(píng) 對(duì)于線段倒數(shù)和的證明，常見(jiàn)的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形

10、式，再利用平行線或相似三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，如本題中， 要證111，只需證 CCC C1 ，即將倒數(shù)和的形式化AABBCCAABB為線段比的形式。例6 如圖10四邊形 ABCD 中， BAD 的平分線交 BD 于 E，AEF/CD 交 BC 于 F，求證：BCAD1BFABEDB分析 結(jié)論是兩個(gè)線段比的差，可分別求出每一組線段的比，再進(jìn)行減法運(yùn)算。F證明： AE 平分 BAD ADDEC圖10ABBE在 BCD 中 EF/CD DBCBBEBF得BCADDBDE1 BCAD1BFABBEBEBFABA例 7 如圖 11， AD 為 ABC 的角平線，BF AD 的延長(zhǎng)線于F， AM AD 于

11、 A交 BC 的延長(zhǎng)線于 M ， FC 的延長(zhǎng)線交 AM 于 E，求證： AE=EM分析要證 AE=EM ，可利用比例緞來(lái)證明，而由BF AF ，BD可延長(zhǎng) BF 交 AC 延于 N，構(gòu)造等腰三角形，F(xiàn)N C利用等腰三角形性質(zhì)有BF=FN ，再由 BN/AM ，得比例線段，即可得出結(jié)論。證明：延長(zhǎng) BF 交 AC 的延長(zhǎng)線于N AF BF BFA= NFA=90 0EM圖11又 BAF= NAF ，AF=AF ABF ANF BF=NF BF AF AM AF BF/AM BFFC， ENFC BFFNEMECAECE又 BF=FN EM=AEEMAE點(diǎn)評(píng)（ 1）有和角平分線垂直線段時(shí)常把它延

12、長(zhǎng)，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)證題（ 2）利用比例證明線段相等主要有以下形式 a1a b aca cbbbacac2a b da c b db dbdacA3aDMEB例 8 如圖 12 把線段 AB 分成 2：3 兩部分分析 利用平行線分線段成比例定理作圖作法； 1. 以點(diǎn) A 為端點(diǎn)，作射線 AM2. 在 AM 上順次截 AD=2a ， DE=3a （ a 為任意長(zhǎng)）3. 連結(jié) BE，過(guò)點(diǎn) D 作 DC/BE 交 AB 于 C，則點(diǎn) C 即為所求練習(xí)與測(cè)試 1 如圖 ABC 中， D 、E、 F 分別在 AB 、 AC 、BC 上，且 DE/BC ， EF/AB ，AD=9 ， E

13、F=6，CF=5 ，則 BF=2 直線 DE 分別交 ABC 的邊 AB 、 AC 于點(diǎn) D 、 E，且 AD=4cm ， AE=6cm 、 AB=12cm ，AC=那么 DE/BCC圖12AADEDEBFCBC( 第1題)( 第3題)AEDF4B( 第4題)C3 如圖 DE/BCAD2 ，DB3精選文庫(kù)E那么 AC=DEECBC4如圖在ABCD 中， E 在 AD 上，ADDCO且 4AE=5DE ，CE 交 BD 于 F，則 BFEFDFGHBC( 第5題)AF5 如圖，梯形ABCD 中， AD/BC ，對(duì)角線AC 、 BD 相交于 O， CE/AB 交 BD 的延長(zhǎng)線于若 OB=6 ，O

14、D=3 ，則 DE=6 如圖，已知DC/EF/GH/AB ，AB=30 ，CD=6 ，且 DE：EG： GA=1 ：2： 3，則 EF=GH=7如圖，在ABCD 中，O1、 O2、 O3 分別為對(duì)角線BD 上三點(diǎn)，且 BO 1=O 1O2=O 2O3=O 3D，連結(jié) AO1 ，并延長(zhǎng)交連結(jié) EO3，并延長(zhǎng)交 AD 于點(diǎn) F，則 AD ： FD=E，AB( 第6題)G Al 1FEBl 2C D( 第8題)BC于E，AO2 O3DO1BEC( 第7題)ADEB (第9題) CAD8 圖， l1 / l 2 , AF2GB ， BC=4CD ，GE5B若 AE=k EC ，則 k=D9 如圖， C

15、D 是 ABC 的角平分線，( 第10題)點(diǎn)E在AC上， ADAE2 ，AC=10 ，求 DEADABAC5F10 如圖， CD 是 ABC 中， E 為 AC 的中點(diǎn)，EN MCEFMNBC( 第13題（1）)ADEFBCAG（N）D 為 BC 上的點(diǎn)，且 BD=AB ，求證：GDMAB11 已知， C 是線段 AB 上一點(diǎn)，分別以AC 、BCBCBC為邊，在 AB 的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ACD 和 BCE ，（第13題（2）（第13題（2）AE 交 CD 于 F， BD 交 CG 于 G，求證 FG/ABNEFM12 已知， BD 為 ABC 的角平分線， DE/BC ，AD交 AB 于 E，求證：111ABBCDE13已知，如圖（ 1），梯形 ABCD 中， AD/BC ， E、 F 分別在 AB 、 CD 上，且 EF/BC ，EF 分別交 BD 、AC 于 M、N。求證 ME=NF當(dāng) EF 向上平移圖（ 2）各個(gè)位置其他條件不變時(shí)，的結(jié)論是否成立，請(qǐng)證明你的判斷。BC（第13題（2）練習(xí)與測(cè)試參考解答或提示5精選文庫(kù)115 ； 2 18cm；3 5,2 ； 4 9：4；59；610， 18；7 9： 1；8 2； 96235AGAEBCEC10提示，過(guò) D 作 DH/AC交BG于H點(diǎn)，則GD，BDDH，又 AE=EC