2022年數(shù)列與三角函數(shù)練習題難題

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載例 1已知數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列，數(shù)列 bn 是公比為 q 的q r 且 q 1的等比數(shù)列，如函數(shù)fx=x 12，且 a1=fd 1， a3=fd+1， b1=f q+1 ，b3=fq 1，1求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式；解： 1 a1=fd 1= d 22， a3=f d+1= d2 ， a3 a1=d2 d 22=2d， d=2 ， an=a1+n 1d=2n 1；又 b1=f q+1= q2，b3 =fq 1= q 22， b3b1q2 2q2=q2，由 qr ，且 q 1，得 q= 2， bn=b· qn 1=4· 2n 1例

2、 2 設(shè) an 為數(shù)列 an 的前 n 項和， an=(1) 求數(shù)列 an 的通項公式；3an 1，數(shù)列 bn 的通項公式為 bn=4n+3;2(2) 把數(shù)列 an 與 bn 的公共項按從小到大的次序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列 dn 的通項公式為 dn=32n+1;解： 1由 an=3 an 1，可知 an+1=23 an+1 1，2 an+1 an=3an+1 an，即2an 1 =3，而 a1=a1=an3a1 1，得 a1 =3，所以數(shù)列是以 32.2n為首項，公比為 3 的等比數(shù)列，數(shù)列 an 的通項公式 an=3n2n2 32n+1=3· 32n=3· 4 12

3、n=3·42n+c 1· 42n 1 1+ +c 2n1 · 4· 1+ 1 2n=4n+3，32n2n2n2n1·42n 1·1+ +c 2 n1 ·4·1+12n+1 bn. 而數(shù) 3=41=4+c 2n2 n=4 k+1 ， 32n bn ，而數(shù)列 an= a2n+1 a2n ， dn=32n+1.例 3 數(shù)列 an 滿意 a1=2 ，對于任意的n n* 都有 an 0,且 n+1 a+a · a2nnn+1nan+12=0 ，又知數(shù)列 bn 的通項為 bn=2n 1+1.(1) 求數(shù)列 an 的通

4、項 an 及它的前 n 項和 sn； 2求數(shù)列 bn 的前 n 項和 tn；3猜想 sn 與 tn 的大小關(guān)系，并說明理由.解： 1）可解得an 1ann，從而 an=2n，有 sn=n2+n，n12tn=2n+n 1.3tn sn=2n n2 1，驗證可知， n=1 時， t1=s1， n=2 時 t2 s2； n=3 時， t3 s3;n=4時， t4 s4； n=5 時， t5 s5； n=6 時 t6 s6.猜想當 n 5 時， tn sn，即 2n n2+1可用數(shù)學歸納法證明 略） .例 4 數(shù)列 an 中， a1=8, a4=2 且滿意 an+2=2an+1 an,n n * .

5、1求數(shù)列 an 的通項公式；2設(shè) sn= a1 +a2+ + an ,求 sn;3設(shè) bn=1n12an n n*,tn=b1+b2+ +bn n n,是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意 n n* 均有 tnm 成立？如存在，求出m 的值；如不存在，說明理由.32解： 1）由 an+2=2an+1 anan+2 an+1=an+1 an 可知 and= a4a1= 2, an=10 2n.412由 an=10 2n 0 可得 n 5，當 n 5 時， sn= n2+9n，當 n 5 時， sn=n2 9n+40 ，故 sn=n 29nn 29n401n5n513bn =11 11n12tnb1a

6、n b2n2nbn21 122 nn11 11223 11nn1n 2n；要使 tn m 132總成立，需m t1=321 成立，即 m 8 且 mz ，故適合條件的 m 的最大值為 7.4例 5 已知數(shù)列 bn 是等差數(shù)列， b1=1, b1 +b2+ +b10=145. 1求數(shù)列 bn 的通項 bn；2設(shè)數(shù)列 an 的通項 an=loga1+1 其中 a 0 且 a 1, 記 snbn是數(shù)列 an 的前 n 項和，試比較 sn 與1 logabn+1 的大小，并證明你的結(jié)論.3解： 1設(shè)數(shù)列 bn 的公差為 d，由題意得：b11 10b1101021) d145解得 b1=1, d=3,

7、bn=3n 2.2由 bn=3 n 2,知 sn=log a1+1+log a1+1 +log a1+143n2=log a 1+11+1 1+143n，21 logabn+1 =log a 3 3n1 .3因此要比較 sn小，1與log3abn+1的大小，可先比較 1+11+11 1+43n與 3 3n21 的大取 n=1 時，有 1+1 3 3 11取 n=2 時，有 1+11+134 3 21 由此估計 1+11+11 1+43n 3 3n12如式成立，就由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定：n當 a1 時， s 1 log3abn+1，當 0a 1 時， sn 1 logabn+1，3例 1 已知 a

8、bc 的三內(nèi)角 a、b、c 滿意 a+c=2b，設(shè) x=cos ac ，2fx=cosb11.cos acosc(1) 試求函數(shù) fx的解析式及其定義域； 2判定其單調(diào)性，并加以證明；3求這個函數(shù)的值域 .解： 1a+c=2b， b=60°， a+c=120°f x1cos acoscac2 cos2accos22x12x2cos a21cosc2x 4x 2cos ac ,3cosac 0° | ac2| 60°， x=cos ac2 1 ， 1 2又 4x2 3 0， x3 ，定義域為 1 ，3 3 ，1.22設(shè) x1x2， fx2 fx1=2x22

9、4 x232222x124 x13= 2 x1x2 4 x1 x23 ，如 x1，x2 1 ,3 ，就 4x230，4x230，4x1x2+32 4x112234x2322 0， x1 x2 0， fx2fx1 0即 fx2fx1，如 x1， x23 ， 1，就 4x12 30.224x230，4x1x2+3 0， x1x20， fx2fx1 0.即 fx2fx1， fx在 1 ,23 和23 ， 1 上都是減函數(shù) .23由2知， fxf1 =21 或 fxf1=2.2故 fx的值域為 ，1 2， + .2例 2在 abc 中，已知 a、b、c 成等差數(shù)列， 就 tan actanac3 ta

10、ntan的值為.解析： a+b+c =，a+c= 2b，2222ac23, tan ac 23, tan a2tan c231tana tan c 22故 tan atan c3 tan a tan c3.22223、已知 abc的三個內(nèi)角 a、b、c 滿意 a+c=2b.的值.1cos a1cosc2cosb，求 cos ac2解法一：由題設(shè)條件知 b=60°， a+c=120°.設(shè)= ac2，就 ac=2，可得 a=60°+，c=60° ，所以 1 cos a11cosc1cos60 11cos60coscos,1cos23sin21cos23sin

11、21 cos243 sin 24cos234依題設(shè)條件有cos23cos42 ,cosbcosb1 ,cos22 cos342 2.整理得 42 cos2+2cos 32 =0m2cos 2 22 cos+3=0， 22 cos+30，2cos 2 =0.從而得 cos ac2 .22解法二：由題設(shè)條件知 b=60°， a+c=120°2cos6022,1cosa122cosc，把式化為 cosa+cosc= 22 cosacosc，利用和差化積及積化和差公式，式可化為2cos ac cos ac222cos accosac ，將 cos ac2=cos60°=

12、1 ， cosa+c=21 代入式得：2cos ac2222 cosac 將 cosac=2cos2ac 1 代入 ：42 cos2 ac 22+2cos ac232 =0，* ， 2cos ac 222 22 cos ac230,22 cos ac230,2 cos ac 220,從而得: cos ac2 .22例 4、在 abc 中， a 為最小角， c 為最大角，已知 cos2a+c= 就 cos2b+c=.解析： a 為最小角 2a+c=a+a+ca+b+c =180°.4 ， sinb= 4 ，35cos2a+c= 45， sin2a+c = 3 .5c 為最大角， b 為

13、銳角，又 sinb= 4 .故5cosb= 3 .5即 sina+c=4 ， cosa+c= 3 .55cosb+c =cosa=cos2a+c a+c=cos2b+c =2cos2b+c 1= 527 .62524 ，255、已知圓內(nèi)接四邊形 abcd 的邊長分別為 ab=2，bc=6，cd=da=4，求四邊形abcd 的面積.解：如圖：連結(jié) bd，就有四邊形 abcd 的面積：s=s abd+s cdb=1 · ab· adsina+ 122·bc·cd·sinca+c=180°， sina=sinc故 s= 1 ab·

14、ad+bc·cdsina= 1222×4+6× 4sina=16sina由余弦定理，在 abd 中， bd2=ab2+ad22ab·ad·cosa=2016cosa在 cdb 中， bd2=cb2+cd2 2cb·cd· cosc=52 48cosc 2016cosa=5248cosc， cosc= cosa， 64cosa= 32，cosa=1 ，又20° a180°，a=120°故 s=16sin120°=83 .6、如右圖，在半徑為 r 的圓桌的正中心上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點

15、處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點到光源的距離 r 的平方成反比，即 i=k· sinr 2，其中 k 是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣挑選電燈懸掛的高度 h，才能使桌子邊緣處最亮？解： r=rcos，由此得： 1rcos,0，r2iksin r 2ksincos2 r2ksin r2cos22i 2 k 2r22sin 21sin 21sin 2 k 2r2 2 33由此得 ik2r293, 等號在sin3 時成立 ,此時 h32rtanr27、在 abc 中， a、b、c 分別為角 a、b、c 的對邊，(1) 求角 a 的度數(shù)；(2) 如 a

16、=3 ， b+c=3，求 b 和 c 的值.4sin 2 bc 2cos2 a7 .2.解:(1) 由4 sin 2 bc2cos 2 a7 及abc2180,得 :21cosbc 2 cos 2 a17 ,412cos a4 cos 2 a5即4 cos2 a4 cos a10,cos a1 ,20a180 ,a60b 2c 2a 2(2) 由余弦定理得: cos a2bccos a12b 2c2a 22bc1b2c 2a 23bc.bc3b1b2將a3, bc3代入上式得: bc2 由bc得 :或. 2c2c18、在 abc 中， a、 b、c 所對的邊分別為 a、b、c，且 a、b、3c

17、 成等比數(shù)列，又 ac=，試求 a、 b、c 的值2解：由 a、b、3c 成等比數(shù)列，得： b2=3acsin2b=3sinc· sina=3 1 cosa+ccosa c2 b= a+c .sin2a+c =3 cosa+c cos22即 1cos2a+c=3 cosa+c ，解得 cosa+c = 1 .22 0 a+c，a+c = 2 .又 ac=3 a=27 ，b=12， c=.3129、在正三角形 abc 的邊 ab、ac 上分別取 d、e 兩點，使沿線段 de 折疊三角形時，頂點 a 正好落在邊 bc 上，在這種情形下，如要使 ad 最小，求 adab 的值. .解：按題意，設(shè)折疊后a 點落在邊 bc 上改稱 p 點，明顯 a、p 兩點關(guān)于折線 de 對稱，又設(shè) bap= ， dpa= ，bdp=2，再設(shè) ab=a，ad=x， dp=x.在 abc 中，apb=180° abp bap=120° 由正弦定理知