2022年數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十二章數(shù)項級數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第十二章 數(shù)項級數(shù)教學(xué)目的： 1.明確熟悉級數(shù)是爭論函數(shù)的一個重要工具；2.明確熟悉無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為部分和數(shù)列收斂問題的；3.懂得并把握收斂的幾種判別 法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性；教學(xué)重點難點 ：本章的重點是級數(shù)斂散性的概念和正項級數(shù)斂散性的判別；難點是一般級數(shù)斂散性的判別法；教學(xué)時數(shù) ：18 學(xué)時§ 1級數(shù)的收斂性一概念 ：1. 級數(shù) ： 級數(shù) ，無窮級數(shù) ;通項 一般項 , 第項 ,前項部分和等概念 與中學(xué)的有關(guān)概念聯(lián)系.級數(shù)常簡記為.2. 級數(shù)的斂散性與和 :介紹從有限和入手 , 引出無限和的極限思想 .以在中學(xué)學(xué)過的無窮等比級

2、數(shù)為藍(lán)本,定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念 .例 1爭論幾何級數(shù)的斂散性 .（這是一個重要例題?。┙鈺r,.級數(shù)收斂 ;時,級數(shù)發(fā)散 ;時,級數(shù)發(fā)散 ;時,級數(shù)發(fā)散 .綜上, 幾何級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時收斂, 且和為 留意從 0開頭 .例 2爭論級數(shù)的斂散性 .解（ 利用拆項求和的方法）例 3爭論級數(shù)的斂散性 .解設(shè),=,.,.因此, 該級數(shù)收斂 .例 4爭論級數(shù)的斂散性 .解,.級數(shù)發(fā)散 .3.級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 :對應(yīng)部分和數(shù)列 ,收斂收斂;對每個數(shù)列 ,對應(yīng)級數(shù), 對該級數(shù) , 有=于是,數(shù)列收斂級數(shù)收斂.可見 ,級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式.4.級數(shù)與無窮積分的關(guān)系:,其中.無窮積分

3、可化為級數(shù);對每個級數(shù) ,定義函數(shù), 易見有=.即級數(shù)可化為無窮積分 .綜上所述 ,級數(shù)和無窮積分可以互化,它們有平行的理論和結(jié)果 .可以用其中的一個爭論另一個 .二.級數(shù)收斂的充要條件 cauchy 準(zhǔn)就 ：把部分和數(shù)列 收斂的 cauchy 準(zhǔn)就翻譯成級數(shù)的語言 ， 就得到級數(shù)收斂的 cauchy 準(zhǔn)就 .th cauchy 準(zhǔn)就 收斂和n,.由該定理可見 , 去掉或添加上或轉(zhuǎn)變 包括交換次序 級數(shù)的有限項,不會影響級數(shù)的斂散性 .但在收斂時 , 級數(shù)的和將轉(zhuǎn)變 .去掉前項的級數(shù)表為或.系級數(shù)收斂的必要條件 收斂.例 5證明級數(shù)收斂 .證明顯滿意收斂的必要條件 .令,就當(dāng)時有應(yīng)用 cauc

4、hy 準(zhǔn)就時， 應(yīng)設(shè)法把式 |不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定.例 6判定級數(shù)的斂散性 .驗證.級數(shù)判斂時應(yīng)第一驗證是否滿意收斂的必要條件例 7但級數(shù)發(fā)散的例證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散 .證法一 用 cauchy 準(zhǔn)就的否定進(jìn)行驗證 證法二證明發(fā)散. 利用已證明的不等式.即得，.三 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)： （ 均給出證明 ）性質(zhì) 1收斂， const收斂且有= 收斂級數(shù)滿意安排律 性質(zhì) 2和收斂 ，收斂, 且有=.問題 :、三者之間斂散性的關(guān)系 .性質(zhì) 3如級數(shù)收斂 , 就任意加括號后所得級數(shù)也收斂,且和不變 . 收斂數(shù)列滿意結(jié)合律例 8考查級數(shù)從開頭每兩項加括號后所得級數(shù)的斂散性.該例的結(jié)

5、果說明什么問題.§ 2正項級數(shù)一.正項級數(shù)判斂的一般原就:1. 正項級數(shù) :;任意加括號不影響斂散性 .2. 基本定理 :th 1設(shè).就級數(shù)收斂.且當(dāng)發(fā)散時,有,. 證 正項級數(shù)斂散性的記法 .3. 正項級數(shù)判斂的比較原就:th 2設(shè)和是兩個正項級數(shù), 且時有,就><,<>=,=. > 是>的逆否命題 例 1考查級數(shù)的斂散性 .解有例 2設(shè).判定級數(shù)的斂散性 .推論 1 比較原就的極限形式 設(shè)和是兩個正項級數(shù)且,就>時 ,和共斂散 ;>時 ,<,<>時 ,=,=. 證 推論 2設(shè)和是兩個正項級數(shù),如=， 特殊地 ，如,

6、， 就<=.例 3判定以下級數(shù)的斂散性 :; ; ;.二.正項級數(shù)判斂法 :1. 檢比法： 亦稱為 dalembert 判別法 .用幾何級數(shù)作為比較對象,有以下所謂檢比法 .th 3設(shè)為正項級數(shù) ,且及時>如,<>如,=.證>不妨設(shè)時就有成立 , 有依次相乘 ,即.由,得,<.>可見往后遞增 ,.推論 檢比法的極限形式 設(shè)為正項級數(shù) ,且. 就><,<>>或=,=. 證 註倘用檢比法判得=,就有.檢比法適用于和有相同因子的級數(shù) ,特殊是中含有因子者.例 4判定級數(shù)的斂散性 .解,.例 5爭論級數(shù)的斂散性 .解.因此, 當(dāng)時

7、,;時,;時, 級數(shù)成為,發(fā)散.例 6判定級數(shù)的斂散性 .留意對正項級數(shù)，如僅有，其斂散性不能確定 .例如對級數(shù)和, 均有，但前者發(fā)散 , 后者收斂 .2. 檢根法 cauchy判別法 :也是以幾何級數(shù)作為比較的對象建立的判別法 .th 4設(shè)為正項級數(shù) ,且及,當(dāng)時 ,>如,<>. 如證 ,=. 此時有推論 檢根法的極限形式 設(shè)為正項級數(shù) ,且. 就,<,=. 證 檢根法適用于通項中含有與有關(guān)的指數(shù)者 .檢根法優(yōu)于檢比法 .例 7爭論級數(shù)的斂散性 .解,.例 8判定級數(shù)和的斂散性 .解前者通項不趨于零 ,后者用檢根法判得其收斂 .3. 積分判別法 ：th 5設(shè)在區(qū)間上函

8、數(shù)且 .就正項級數(shù)與積分共斂散.證對且.例 9爭論級數(shù)的斂散性 .解考慮函數(shù)0 時在區(qū)間上非負(fù)遞減 .積分當(dāng)時收斂 ,時發(fā)散.級數(shù)當(dāng)時收斂 ,時發(fā)散.時,級數(shù)發(fā)散 .綜上 ,級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時收斂 .例 10爭論以下級數(shù)的斂散性 :;習(xí)題課一 直接比較判斂：對正項級數(shù)，用直接比較法判斂時, 常用以下不等式 :.對, 有.;特殊地 ,有,.時 , 有.充分大時 , 有.例 1判定級數(shù)的斂散性 .解時, 或. 例 2判定級數(shù)的斂散性 , 其中.解時 , 有;時 ,.例 3設(shè)數(shù)列有界 .證明.證設(shè).例 4設(shè)且數(shù)列有正下界 .證明級數(shù).證設(shè).例 5. 如,就.證;又.例 6設(shè). 如級數(shù)和收斂 ,就級數(shù)收斂

9、.例 7設(shè). 證明,;和之一或兩者均發(fā)散時 ,仍可能收斂 ;,.證充分大時 ,. 取.二.利用同階或等價無窮小判斂:例 8判定以下級數(shù)的斂散性 :;.例 9判定以下級數(shù)的斂散性 :;.註設(shè)正項級數(shù)的通項為的有理分式 .當(dāng)為的假分式時,由于,;如為的真分式 ,倘用檢比法,必有.有效的方法是利用等價無窮小判別法 .例 10設(shè)函數(shù)在點有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) , 且. 試證明: 如,就級數(shù)發(fā)散. 如,就級數(shù)收斂.（ 20xx 年西北師大碩士爭論生入學(xué)試題）解把函數(shù)在點綻開成帶二階 lagrange型余項的maclaurin公式, 有間.,介于與之如,就當(dāng)充分大時不變號, 可認(rèn)為是同號級數(shù). 有,發(fā)散.如留意

10、到在點連續(xù),在點的某鄰域內(nèi)有界, 設(shè),有 |=.,收斂.如例 10 所示 ，當(dāng)時 ，常用 maclaurin 公式確定的等價無窮小.例 11判定級數(shù)的斂散性 ,其中且.解三 利用級數(shù)判斂求極限：原理 : 常用判定級數(shù)收斂的方法證明或.例 12證明.例 13證明.例 14設(shè).如,.證對, 由,有,即;,即.于是 ,時總有.此即.§ 3一般項級數(shù)一.交叉級數(shù) :交叉級數(shù) ,leibniz 型級數(shù) .th 1 leibniz leibniz 型級數(shù)必收斂, 且余和的符號與余和首項相同,并有.證 證明部分和序列的兩個子列和收斂于同一極限 .為此先證明遞增有界 . ,;又,即數(shù)列有界.由單調(diào)有

11、界原理 ,數(shù)列收斂 .設(shè).由證明數(shù)列有界性可見 ,. 余和亦為型級數(shù) ,余和與同號, 且.例 1判別級數(shù)的斂散性 .解時 ,由 leibniz 判別法,收斂;時,通項,發(fā)散.二.確定收斂級數(shù)及其性質(zhì):1. 確定收斂和條件收斂 :以 leibniz 級數(shù)為例 , 先說明 收斂確定收斂.th 2 確定收斂與收斂的關(guān)系 ,收斂.證 用 cauchy準(zhǔn)就 .一般項級數(shù)判斂時 ,先應(yīng)判其是否確定收斂 .例 2判定例 1 中的級數(shù)確定或條件收斂性 .2. 確定收斂級數(shù)可重排性: 同號項級數(shù) ： 對級數(shù)，令就有 >和均為正項級數(shù) , 且有和;>,.同號項級數(shù)的性質(zhì) :th 3> 如， 就，

12、.> 如條件收斂 ,就,.證 >由和,> 成立 .>反設(shè)不真 , 即和中至少有一個收斂 , 不妨設(shè).由=,=以及和收斂 ,.而,與條件收斂沖突 .確定收斂級數(shù)的可重排性 :更序級數(shù)的概念 .th 4設(shè)是的一個更序 .如, 就,且=.證 >如，就和是正項級數(shù) , 且它們的部分和可以相互掌握 .于是 ,且和相等 .>對于一般的,=,=.正項級數(shù)和分別是正項級數(shù)和的更序 .由, 據(jù) th 1 ,和收斂 .由上述>所證 , 有,且有=,=,=.由該定理可見 , 確定收斂級數(shù)滿意加法交換律 . 是否只有確定收斂級數(shù)才滿意加法交換律呢 .回答是確定的 .th 5

13、riemann 如級數(shù)條件收斂 ,就對任意實數(shù) 甚至是 , 存在級數(shù)的更序,使得=.證以 leibniz 級數(shù)為樣本 , 對比給出該定理的證明 .關(guān)于無窮和的交換律 , 有如下結(jié)果 :>如僅交換了級數(shù)的有限項 ,的斂散性及和都不變 .>設(shè)是的一個更序 .如, 使在中的項數(shù)不超過,就和共斂散 ,且收斂時和相等 .三.級數(shù)乘積簡介 :1. 級數(shù)乘積 :級數(shù)乘積 ,cauchy 積.1 p20 21.2. 級數(shù)乘積的 cauchy 定理:th 6 cauchy設(shè),并設(shè)=,=.就它們以任何方式排列的乘積級數(shù)也確定收斂 證略 ,且乘積級數(shù)的和為例 3幾何級數(shù)是確定收斂的 . 將按 cauch

14、y 乘積排列 ,得到.四.型如的級數(shù)判斂法：1. abel 判別法：引理 1（分部求和公式，或稱abel 變換）設(shè)和（）為兩組實數(shù).記.就.證留意到, 有.分部求和公式是離散情形下的分部積分公式.事實上 ,.可見 abel 變換式中的相當(dāng)于上式中的, 而差相當(dāng)于,和式相當(dāng)于積分 .引理 2 abel 設(shè)、和如引理 1 .如單調(diào) , 又對,有，就.證 不妨設(shè).系 設(shè), .和如. 有. 參引理 2 證明 th 7abel 判別法 設(shè) > 級數(shù)收斂， >數(shù)列單調(diào)有界 .就 級數(shù)收斂 .證 用 cauchy 收斂準(zhǔn)就 ,利用 abel 引理估量尾項 設(shè), 由收斂 ,對時 , 對,有. 于是

15、當(dāng)時對有.由 cauchy 收斂準(zhǔn)就 ,收斂.2. dirichlet 判別法:th 8 dirichlet 設(shè) >級數(shù)的部分和有界 , > 數(shù)列單調(diào)趨于零 .就級數(shù)收斂 .證設(shè), 就,對,有.不妨設(shè) 0 ,對. 此時就有.由 cauchy 收斂準(zhǔn)就 ,收斂.取0 , 由 dirichlet 判別法 , 得交叉級數(shù)收斂 .可見 leibniz 判別法是 dirichlet 判別法的特例 .由 dirichlet 判別法可導(dǎo)出abel 判別法 .事實上 , 由數(shù)列單調(diào)有界 ,收斂 , 設(shè). 考慮級數(shù),單調(diào)趨于零 ,有界,級數(shù)收斂 , 又級數(shù)收斂,級數(shù)收斂.例 4設(shè) 0. 證明級數(shù)和對

16、收斂.證，時 ，.可見時, 級數(shù)的部分和有界 .由 dirichlet 判別法推得級數(shù)收斂 .同理可得級數(shù)數(shù)收斂 .習(xí)題課例 1判定級數(shù)的斂散性 .解 留意到,所論級數(shù)確定收斂 , 故收斂. 用 d-判法亦可.例 2考查級數(shù)的確定及條件收斂性 .解時為 leibniz 型級數(shù), ,條件收斂 ;時 , 確定收斂 .例 3如. 交叉級數(shù)是否必收斂 .解未必.考查交叉級數(shù).這是交叉級數(shù), 有. 但該級數(shù)發(fā)散 .由于否就應(yīng)有級數(shù)收斂 .而.由該例可見 , 在 leibniz 判別法中 , 條件單調(diào)是不行少的 .例 4判定級數(shù)的斂散性 .解從首項開頭 ,順次把兩項括在一起 , 留意到, 以及 級數(shù),所論級數(shù)發(fā)散 .例 5設(shè)級數(shù)收斂. 證明級數(shù)收斂.證.由 abel 或 dirichlet 判法,收斂.例 6, 判定級數(shù)的斂散性 .解.,現(xiàn)證 級數(shù)收斂 :因時不,又, 由 dirichlet 判法,級數(shù)收斂.故此題所論級數(shù)發(fā)散 .例 7判定級數(shù)的