八年級數學下學期期末試卷含解析北師大版

1、江西省吉安市吉州區(qū)2015-2016學年八年級（下）期末數學試卷一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項）1不等式2x13的解集為（）Ax2Bx1Cx1Dx22下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）ABCD3分式方程=的解為（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=94如圖所示，在ABC中，AC=BC，C=90°，AD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，若AB=6cm，則DEB的周長為（）A12cmB8cmC6cmD4cm5如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AEBC交于點E，以點B為中心，取旋轉角等于ABC，把BAE順時針旋

2、轉，得到BAE，連接DA，若ADC=60°，ADA=50°，則DAE的大小為（）A130°B150°C160°D170°6一次函數y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結論：當x3時，y10；當x3時，y20；當x3時，y1y2中，正確的個數是（）A0B1C2D3二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）7如果分式有意義，那么x的取值范圍是_8如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則1+2+3+4+5=_9閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB（如圖1）

3、小蕓的作法如下：如圖2（1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點（2）作直線CD老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據是_10分解因式（ab）（a4b）+ab的結果是_11如圖，四邊形ABCD中，A=90°，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為_12在同一平面內，已知點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數為_三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分）13解不等式組，并寫出它

4、的所有整數解請結合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式，得_（2）解不等式，得_；（3）把不等式和的解集在數軸上表示出來：（4）原不等式的解集為_（5）則不等式組的所有整數解為：_14如圖，在ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BEAC于點E，求證：CBE=BAD15先化簡：（1）÷，再選擇一個恰當的x值代入求值16在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解17已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE求證：DEBE四、解答題（共4小題，每小題

5、8分，滿分32分）18為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數量的1.2倍，預計到2016年底，全市將有租賃點多少個？19如圖1，ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，FG，FH，EH（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下

6、，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）20ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示（1）作ABC關于點C成中心對稱的A1B1C1（2）將A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的A2B2C2（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）21小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲

7、種服裝最多購進多少件？（2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0a20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？五、解答題（共1小題，滿分10分）22（10分）（2015重慶）如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數叫做“和諧數”例如：自然數64746從最高位到個位排出的一串數字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數”再如：33，181，212，466

8、4，都是“和諧數”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”，猜想任意一個四位數“和諧數”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設個位上的數字為x（1x4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式六、解答題（共1小題，滿分12分）23（12分）（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60°，點D是線段BC的中點，EDF=120°，DE與線段AB相交于點EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交

9、于點F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DNAC于點N，若DNAC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF）2015-2016學年江西省吉安市吉州區(qū)八年級（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項）1不等式2x13的解集為（）Ax2Bx1Cx1Dx2【考點】解一元一次不等式【分析】不等式移項合并，把x形式化為1，即可求出解集【解答】解：不等式移項合并得：2x4，解得：x2，故選D【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是

10、解本題的關鍵2下列圖形是我國國產品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）ABCD【考點】中心對稱圖形【分析】根據中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解【解答】解：由中心對稱圖形的定義知，繞一個點旋轉180°后能與原圖重合，只有選項B是中心對稱圖形故選：B【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心3分式方程=的解為（）Ax=0Bx=3Cx=5Dx=9【考點】解分式方程【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解【解答】

11、解：去分母得：2x=3x9，解得：x=9，經檢驗x=9是分式方程的解，故選D【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解解分式方程一定注意要驗根4如圖所示，在ABC中，AC=BC，C=90°，AD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，若AB=6cm，則DEB的周長為（）A12cmB8cmC6cmD4cm【考點】等腰直角三角形；角平分線的性質【分析】先根據勾股定理求出BC的長，再由角平分線的性質得出DE=CD，進而可得出結論【解答】解：在ABC中，AC=BC，C=90°，AB=6cm，BC2+AC2=AB2，即2BC2=36

12、，解得BC=AC=3cmAD平分CAB交BC于點D，DEAB于點E，CD=DE在RtACD與RtAED中，RtACDRtAED（HL），AE=AC=3cm，BE=ABAE=（63）cm，DEB的周長=（BD+DE）+BE=BC+BE=3+63=6cm故選C【點評】本題考查的是等腰直角三角形，先根據題意得出BC的長是解答此題的關鍵5如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AEBC交于點E，以點B為中心，取旋轉角等于ABC，把BAE順時針旋轉，得到BAE，連接DA，若ADC=60°，ADA=50°，則DAE的大小為（）A130°B150°C160°D17

13、0°【考點】旋轉的性質；平行四邊形的性質【分析】根據平行四邊形對角相等得ABC=60°，由平行同旁內角互補得BAD=130°，由旋轉得BAE=30°，兩角相加可得結論【解答】解：在ABCD中，ADBC，BAD=180°ADA=180°50°=130°，ADC=60°，ABC=ADC=60°，在RtAEB中，BAE=90°60°=30°，由旋轉得：BAE=BAE=30°，DAE=130°+30°=160°；故選C【點評】本題考查

14、了旋轉和平行四邊形的性質，難度不大，所求的角不能直接求出時，可將此角分成兩個角來求；利用平行四邊形對邊平行和對角相等解決問題；同時，還運用了旋轉的性質：旋轉前后的兩個三角形全等，則對應角相等得出角的大小關系6一次函數y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結論：當x3時，y10；當x3時，y20；當x3時，y1y2中，正確的個數是（）A0B1C2D3【考點】一次函數與一元一次不等式【分析】根據一次函數圖象的位置進行判斷，從函數圖象來看，就是確定直線y=kx+b是否在在x軸上（或下）方【解答】解：根據圖象可知：當x3時，一次函數y1=kx+b的圖象在x軸上方，故y10；當x3時，一次函數y

15、2=x+a的圖象一部分在x軸上方，一部分在x軸下方，故y20或y2=0或y20；當x3時，一次函數y1=kx+b的圖象在一次函數y2=x+a的圖象的下方，故y1y2，所以正確的有和故選（C）【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式的關系，從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）7如果分式有意義，那么x的取值范圍是x3【考點】分式有意義的條件【分析】根據分式有意義的條件是分母不為0，列出算式，計算得到答案【解答】解：由題意得，x+30，即x3，故答案為：x3【點評】本題考查的是分式有意義的條件，從以

16、下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義分母為零；（2）分式有意義分母不為零；（3）分式值為零分子為零且分母不為零8如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則1+2+3+4+5=360°【考點】多邊形內角與外角【分析】首先根據圖示，可得1=180°BAE，2=180°ABC，3=180°BCD，4=180°CDE，5=180°DEA，然后根據三角形的內角和定理，求出五邊形ABCDE的內角和是多少，再用180°×5減去五邊形ABCDE的內角和，求出1+2+3+4+5等于多少即可【解答】解：1+2

17、+3+4+5=（180°BAE）+（180°ABC）+（180°BCD）+（180°CDE）+（180°DEA）=180°×5（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA）=900°（52）×180°=900°540°=360°故答案為：360°【點評】此題主要考查了多邊形內角和定理，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）n邊形的內角和=（n2）180 （n3）且n為整數）（2）多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角

18、和永遠為360°9閱讀下面材料：在數學課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB（如圖1）小蕓的作法如下：如圖2（1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點（2）作直線CD老師說：“小蕓的作法正確”請回答：小蕓的作圖依據是到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上【考點】作圖基本作圖；線段垂直平分線的性質【分析】直接利用作圖方法得出C點到A，B點距離相等，D點到A，B點距離相等，即可得出直線CD垂直平分AB【解答】解：小蕓的作圖依據是：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上故答案為：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上【點

19、評】此題主要考查了基本作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質是解題關鍵10分解因式（ab）（a4b）+ab的結果是（a2b）2【考點】因式分解-運用公式法【分析】首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：（ab）（a4b）+ab=a25ab+4b2+ab=a24ab+4b2=（a2b）2故答案為：（a2b）2【點評】此題主要考查了多項式乘法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵11如圖，四邊形ABCD中，A=90°，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F分別為DM，MN的中點，則EF長度

20、的最大值為3【考點】三角形中位線定理；勾股定理【分析】根據三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3【解答】解：ED=EM，MF=FN，EF=DN，DN最大時，EF最大，N與B重合時DN最大，此時DN=DB=6，EF的最大值為3故答案為3【點評】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵12在同一平面內，已知點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則APC的度數為15°或30°或60°

21、或75°或150°【考點】等邊三角形的性質；等腰三角形的性質【分析】根據點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，找出點P的位置，求得APC的度數即可【解答】解：根據點P在等邊ABC外部，且與等邊ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：AP1C=15°，AP2C=30°，AP3C=60°，AP4C=75°，AP5C=150°故答案為：15°或30°或60°或75°或150°【點評】本題主要

22、考查了等邊三角形以及等腰三角形的性質，解決問題的關鍵是根據題意畫出圖形進行求解，注意分類思想的運用三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分）13解不等式組，并寫出它的所有整數解請結合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式，得x3（2）解不等式，得x5；（3）把不等式和的解集在數軸上表示出來：（4）原不等式的解集為3x5（5）則不等式組的所有整數解為：3，4，5【考點】一元一次不等式組的整數解；在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組【分析】（1）根據不等式的性質求出即可；（2）根據不等式的性質求出即可；（3）把不等式的解集在數軸上表示出來即可；（4）根據數軸求出不等式組的解集即可；（5

23、）根據不等式組的解集求出不等式組的整數解即可【解答】解：（1）解不等式得：x3，故答案為：x3；（2）解不等式得：x5，故答案為：x5；（3）把不等式和的解集在數軸上表示為：；（4）所以原不等式組的解集為3x5，故答案為：3x5；（5）不等式組的所有整數解為3，4，5，故答案為：3，4，5【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，不等式組的整數解的應用，能根據找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關鍵14如圖，在ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BEAC于點E，求證：CBE=BAD【考點】等腰三角形的性質【分析】根據三角形三線合一的性質可得CAD=B

24、AD，根據同角的余角相等可得：CBE=CAD，再根據等量關系得到CBE=BAD【解答】證明：AB=AC，AD是BC邊上的中線，BEAC，CBE+C=CAD+C=90°，CAD=BAD，CBE=BAD【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質以及余角的知識，解題要注意等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合15先化簡：（1）÷，再選擇一個恰當的x值代入求值【考點】分式的化簡求值【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x=2代入計算即可求出值【解答】解：原式=（）=x+1，當x=2時，原式=2+1=1【點評

25、】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵16在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解【考點】因式分解的應用；整式的加減【分析】本題考查整式的加法運算，要先去括號，然后合并同類項，最后進行因式分解本題答案不唯一【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；方法三：（x2+2xy）（y2+2xy）=x2y2=（x+y）（xy）；方法四：（y2+2xy）（x2+2xy）=y2x2=（y+x）（yx）【點評】本題考查了整式的加減，

26、整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，因式分解時先考慮提取公因式，沒有公因式的再考慮運用完全平方公式或平方差公式進行因式分解17已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE求證：DEBE【考點】平行四邊形的性質【分析】先根據平行四邊形的性質，得出OD=OB，再根據OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據三角形內角和定理，求得OEB+OED=90°，即可得出結論【解答】證明：平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，OD=OB，又OE=OB，OE=OB=OD，OBE=OEB，ODE=OED，又OBE+OEB+ODE+OED=180

27、°，OEB+OED=90°，DEBE【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質，解決問題的關鍵是運用三角形內角和定理進行計算，求得BED的度數四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分）18為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數量的1.2倍，預計到2016年底，全市將有租賃點多少個？【考點】分式方程的應用【分析】根據租賃點的公租自行車數量變化表示出2014年和

28、2016年平均每個租賃點的公租自行車數量，進而得出等式求出即可【解答】解：設到2016年底，全市將有租賃點x個，根據題意可得：×1.2=，解得：x=1000，經檢驗得：x=1000是原方程的根，答：到2016年底，全市將有租賃點1000個【點評】此題主要考查了分式的方程的應用，根據題意得出正確等量關系是解題關鍵19如圖1，ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，FG，FH，EH（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖

29、2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）【考點】平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到ADBC，根據平行四邊形的性質得到EAO=FCO，證出OAEOCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結論；（2）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結論【解答】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，EAO=FCO，在OAE與OCF中，OAEOCF，OE=OF，同理OG=OH，四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有GBCH，

30、ABFE，EFCD，EGFH；四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC，四邊形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH為平行四邊形，EF過點O，GH過點O，OE=OF，OG=OH，GBCH，ABFE，EFCD，EGFH，ACHD它們面積=ABCD的面積，與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有GBCH，ABFE，EFCD，EGFH【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵20ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示（1）作ABC關于點C成中心對稱的A1B1C1（2）將A1B1C1向右平移4個單位，作出

31、平移后的A2B2C2（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）【考點】作圖-旋轉變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換【分析】（1）延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；（2）根據A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出A2B2C2；（3）作出A1關于x軸的對稱點A，連接AC2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質求出P點坐標即可【解答】解；（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示：作出A1關于x軸的對稱點A，連接AC2，交x軸于點P，可得P點坐標為：（，0）【點評】此題主要考查

32、了圖形的平移與旋轉和相似三角形的性質等知識，利用軸對稱求最小值問題是考試重點，同學們應重點掌握21小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？（2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0a20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？【考點】一次函數的應用；一元一次不

33、等式的應用【分析】（1）設購進甲種服裝x件，根據題意列出關于x的一元一次不等式，解不等式得出結論；（2）找出利潤w關于購進甲種服裝x之間的關系式，分a的情況討論【解答】解：（1）設購進甲種服裝x件，由題意可知：80x+60（100x）7500，解得：x75答：甲種服裝最多購進75件（2）設總利潤為w元，因為甲種服裝不少于65件，所以65x75，w=（12080a）x+（9060）（100x）=（10a）x+3000，方案1：當0a10時，10a0，w隨x的增大而增大，所以當x=75時，w有最大值，則購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；方案2：當a=10時，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都

34、可以；方案3：當10a20時，10a0，w隨x的增大而減少，所以當x=65時，w有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件【點評】本題考查了一次函數的應用與解一元一次不等式，解題的關鍵是：（1）根據題意列出關于x的一元一次不等式；（2）找出利潤w關于購進甲種服裝x的關系式，由函數的性質分a的情況討論本題屬于中檔題，（1）難度不大，（2）需要分a的情況討論五、解答題（共1小題，滿分10分）22（10分）（2015重慶）如果把一個自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排出的一串數字，與從個位到最高位依次排出的一串數字完全相同，那么我們把這樣的自然數叫做“和諧數”例如：自然數64746從最高位到

35、個位排出的一串數字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數”再如：33，181，212，4664，都是“和諧數”（1）請你直接寫出3個四位“和諧數”，猜想任意一個四位數“和諧數”能否被11整除，并說明理由；（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數”，設個位上的數字為x（1x4，x為自然數），十位上的數字為y，求y與x的函數關系式【考點】因式分解的應用；規(guī)律型：數字的變化類；函數關系式【分析】（1）根據“和諧數”寫出四個四位數的“和諧數”；設任意四位數“和諧數”形式為：abba（a、b為自然數），則這個四位數為a×103+b&

36、#215;102+b×10+a=1001a+110b，利用整數的整除得到=91a+10b，由此可判斷任意四位數“和諧數”都可以被11整除；（2）設能被11整除的三位“和諧數”為：xyx，則這個三位數為x102+y10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根據整數的整除性得到2xy=0，于是可得y與x的關系式【解答】解：（1）四位“和諧數”：1221，1331，1111，6666；任意一個四位“和諧數”都能被11整數，理由如下：設任意四位數“和諧數”形式為：abba（a、b為自然數），則a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，=91

37、a+10b四位數“和諧數”abba能被11整數；任意四位數“和諧數”都可以被11整除（2）設能被11整除的三位“和諧數”為：xyx，則x102+y10+x=101x+10y，=9x+y+，1x4，101x+10y能被11整除，2xy=0，y=2x（1x4）【點評】本題考查了因式分解的應用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題靈活利用整數的整除性六、解答題（共1小題，滿分12分）23（12分）（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60°，點D是線段BC的中點，EDF=120°，DE與線段AB相交于點EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的