2022年文科專題復習—導數(shù)

1、學習必備歡迎下載一、學問點總結1. 平均變化率及瞬時變化率文科數(shù)學專題復習導數(shù)(1) fx從 x 到 x的平均變化率是：y f x2 f x1 ；12xx2 x1(2) fx在 x x0處的瞬時變化率是：limx 0y xlimx 0f x0 x f x0x；2. 導數(shù)的概念(1) fx在 x x0 處的導數(shù)就是fx在 x x0 處的瞬時變化率，記y ' |或x x0f x0 ，即 f x0 limf x0x f x0x.x 0(2) 當把上式中的x0 看作變量 x 時， f x 即為f x的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，即 y ' fx limx 0f xx f xx3. 導數(shù)的幾何意義

2、函數(shù) fx在 xx0 處的導數(shù)就是曲線yfx在點 px0， fx0處的切線的斜率，即曲線y fx在點px0， fx0 處的切線的斜率 kf x0 ，切線方程為： yy0f x0 xx0'4. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(1) c0 （ c 為常數(shù)） .2 xn nxn1 nq.3sin xcosx .4cos xsinx . 5ln x1；logxax 1logxea .6ex ex ; ax a x ln a .（ 7） uv'u'v' .（ 8） uv'uu'vuv 'u'vuv' .（ 9） 'v vv20 .&

3、#39;（ 10）1 x1'12（ 11）xx2x5. 導數(shù)的應用單調性：假如f ' x0 ，就f x為增函數(shù)；假如f ' x0 ，就f x為減函數(shù)求極值的方法：當函數(shù)f x 在點x0 處連續(xù)時， （注f 'x 0 ）0假如在x0鄰近的左側f x0 ，右側f x0 ，就f x0 是極大值；（“左增右減”）假如在x0鄰近的左側f x0 ，右側f x0 ，就f x0 是微小值 . （“左減右增”）附：求極值步驟f x 定義域'f x f ' x 零點列表：x 范疇、'f x 符號、f x增減、f x 極值求 a,b上的最值：f x 在a,b內

4、極值與f a 、f b 比較6. 三次函數(shù)f xax3bx2cxdf / x3ax22bxc圖象特點：（針對導函數(shù)）a0,0a0,0（針對原函數(shù)）“”“”極值情形：0f x有極值；0f x無極值（其中“”針對導函數(shù)）備注： 1導數(shù)的概念及其運算是導數(shù)應用的基礎，是高考重點考查的內容，主要考查導數(shù)的基本公式和運算法就，以及導數(shù)的幾何意義.2. 利用導數(shù)來解決函數(shù)的單調性與最值問題是高考熱點問題.挑選填空題側重于利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性、單調區(qū)間和最值問題, 解答題側重于導數(shù)的綜合應用, 即與函數(shù)、不等式、數(shù)列的綜合應用.3. 應用導數(shù)解決實際問題, 關鍵是建立適當?shù)臄?shù)學模型（函數(shù)關系）, 假如函

5、數(shù)在給定區(qū)間內只有一個極值點 , 此時函數(shù)在這點有極值 , 而此時不用和端點值進行比較, 也可以得知這就是最值.二、經(jīng)典例題剖析考點一：求導公式例1 f/ x 是f x1 x332x1 的導函數(shù)，就f / 1.考點二：導數(shù)的幾何意義例2. 已知函數(shù) yf x 的圖象在點m 1,f 1 處的切線方程是y1 x2 ，就2f 1f / 1.考點三：導數(shù)的幾何意義的應用例3. 已知曲線c : yx33x22 x, 直線l : ykx, 且直線 l 與曲線 c 相切于點x0, y0x00 , 求直線 l 的方程及切點坐標.考點四：函數(shù)的單調性例4.設函數(shù)f x2 x33ax23bx8c 在 x1及 x2

6、 時取得極值 .(1) 求a, b 的值及函數(shù)f x 的單調區(qū)間；(2) 如對于任意的x0,3 , 都有f x < c 2 成立，求 c 的取值范疇 .考點五：函數(shù)的最值例5.已知 a 為實數(shù)，f xx24xa.1 求導數(shù)f / x； 2 如f / 10, 求f x 在區(qū)間2,2 上的最值 .考點六：導數(shù)的綜合性問題例 6.設 函 數(shù)f xax 3bxc a0 為 奇 函 數(shù) ， 其 圖 象 在 點1, f1處 的 切 線 與 直 線x6 y70 垂直，導函數(shù)/fx|min12. 1 求 a, b, c 的值；2 求函數(shù)f x的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)f x 在1,3上的最大值和最小值 .

7、例 7已知f xax3bx2cx在區(qū)間0,1上是增函數(shù) ,在區(qū)間,0 , 1,上是減函數(shù)， 又 f13 222（）求f x 的解析式；（）如在區(qū)間0，mm0上恒有f x x 成立，求 m 的取值范疇例 8設函數(shù)f xx xa （ xr ），其中 ar （）當 a1 時，求曲線yf x 在點2， f2處的切線方程；（）當a0 時，求函數(shù)f x 的極大值和微小值；（）當 a3 時，證明存在 k1，0，使得不等式f kcosx f kcos x對任意的 xr 恒成立例 9已知f xax3x2bxca,b,cr 在,0 上是增函數(shù) ,220,3上是減函數(shù) ,方程f x0 有三個實根，它們分別是三、 方

8、法總結（一）方法總結,2,. 1求 b 的值，并求實數(shù) a 的取值范疇； 2 求證：5.2導數(shù)是中學限選內容中較為重要的學問，由于其應用的廣泛性，為我們解決所學過的有關函數(shù)問題供應了一般性方法，是解決實際問題強有力的工具導數(shù)的概念及其運算是導數(shù)應用的基礎，是高考重點考查的對象要牢記導數(shù)公式，嫻熟應用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)，把握求導數(shù)的方法（二）高考題1.2021已知函數(shù)f xexax2bx1，其中a, br ， e2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)；（）設g x是函數(shù)f x 的導函數(shù)，求函數(shù)gx 在區(qū)間 0,1 上的最小值；（）如f 10 ，函數(shù)f x在區(qū)間 0,1內有零點，證明：e2a1；2.20

9、21已知函數(shù) f xx22 xa, x0 ，其中 a 是實數(shù)；設a x1,f x1 ， b x2 , f x2 為該函數(shù)圖象上的兩點，且ln x, x0x1x2 ；（）指出函數(shù)f x 的單調區(qū)間；（）如函數(shù)f x 的圖象在點a, b 處的切線相互垂直，且x20 ，證明： x2x11 ；（）如函數(shù)f x 的圖象在點a, b 處的切線重合，求 a 的取值范疇；2an3.（ 2021）已知 a 為正實數(shù)， n 為自然數(shù)，拋物線該拋物線在點 a 處的切線在 y 軸上的截距；yx與 x 軸正半軸相交于點a，設2f n 為（）用 a 和 n 表示 f n ；（）求對全部 n 都有f n1f n1n成立的

10、a 的最小值； n1（）當 0a1時，比較1f 1f 21f 2f 4f n1與f 2 n6f 1f n1的大小，并說明理由；f 0f 14.2021全國大綱版 21.函數(shù) f（ x） =ax3+3x 2+3x （ a0）；（ 1）爭論函數(shù) f（ x）的單調性；（ 2）如函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 1，2）是增函數(shù)，求 a的取值范疇；1a25. （ 2021 全國 1）21.設函數(shù)切線斜率為 0（ 1）求 b;fxa ln xxbx a 21 ，曲線yfx在點 1，f1處的（ 2）如存在 x01, 使得fx0a，求 a 的取值范疇；a16.（ 2021全國 2） 21.已知函數(shù) f（ x） =

11、x3點的橫坐標為 -2.（ i）求a；3x2ax2 ，曲線yf x 在點（ 0,2）處的切線與 x 軸交（ ii）證明：當時，曲線yf x 與直線ykx2 只有一個交點四、強化訓練1. 已知曲線 y2x的一條切線的斜率為1 ，就切點的橫坐標為（）42a 1b 2c 3d 42. 函數(shù)f xx3ax 23 x9, 已知f x 在 x3 時取得極值，就 a（）（ a） 2（ b ）3（ c） 4（ d ）53. 函數(shù)f x2 x21 x3 在區(qū)間30,6上的最大值是（）32a 3b 163c 12d 94. 三次函數(shù) yax 3x 在 x,內是增函數(shù)，就（）a. a0b a0c a11d a35.

12、 在函數(shù) yx38x 的圖象上 , 其切線的傾斜角小于的點中 , 坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是（）4a 3b 2c 1d 06. 已知函數(shù)f xx 3ax 2bxc, 當 x1時，取得極大值 7 ；當 x1時，取得微小值求這個微小值及a, b, c 的值7. 設函數(shù)f xx 3bx 2cxxr. 已知g xf xf / x 是奇函數(shù) .（ 1）求b, c 的值；（ 2 ）求g x的單調區(qū)間與極值.8. 用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體外形的框架，要求長方體的長與寬之比為2 ：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？9. 已知函數(shù)fxx33ax1, g xfxax5

13、，其中 f 'x 是的導函數(shù) .(i) 對滿意1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求實數(shù) x 的取值范疇；(ii) 設 am2 ，當實數(shù) m 在什么范疇內變化時，函數(shù)yfx 的圖象與直線 y3 只有一個公共點.10. 設函數(shù)f xtx 22t 2xt1 xr， t0 i 求f x的最小值ht ；ii 如 ht2tm 對 t0，2恒成立，求實數(shù) m 的取值范疇11. 設函數(shù)f x3xa1) x24axba,br.i 如函數(shù)f x 在 x33 處取得微小值1 , 求 a,b 的值； ii 求函數(shù)2f x的單調遞增區(qū)間；iii如函數(shù)f x 在 1,1 上有且只有一個極值點，求實數(shù)a 的

14、取值范疇12. 已知二次函數(shù)1f x2ax 2bxca, b, cr 滿意： 對任意 xr ，都有f x x, 且當 x1,3時，有f x x 82) 成立 i 試求f 2的值； ii 如 f 20, 求f x的表達式；iii 在 ii 的條件下，如x0,a31m時， f x >x 221 恒成立，求實數(shù) m 的取值范疇4213. 已知函數(shù)f xx 33a22x6 x, g xax4 xma, mr.(i) 當 a1, x0,3時，求f x的最大值和最小值；(ii) 當 a <2 且 a0 時，無論 a 如何變化，關于 x 的方程f xg x 總有三個不同實根，求m 的取值范疇例題

15、參考答案例 13；例 23；例 3y1 x, 43 , 328；例 4 1a3,b4, 增區(qū)間為,1 , 2,；減區(qū)間為1,2 ，2, 19,；例 5 1f / x3x22ax4, 2f xmaxf 19 , f x 2min4f 350.；27例6 1a2,b12, c0. 2,2 ,2,; f xmaxf 318, f xminf 28 2. ；例 7 解：（）f x3ax22bxc ，由已知f 0f 10 ，c0，即c0，解得33a2bc0，ba2f x3ax23ax ，f13a3a3 ，a2 ，fx2 x33x2 2422（）令f x x ，即2 x33x2x 0 ，x2 x1x1 0

16、 ，0 x 12或 x 1 又 f x x 在區(qū)間0，m上恒成立，0m 1 2例 8 解：（）當 a1 時，f xx x12x32x2x ，得f 22 ，且f x3x24x1 ， f25 所以，曲線yx x12 在點 2，2 處的切線方程是y25 x2 ，整理得 5 xy80 （）解：f x2xxa32x2ax2a x ， f2 x3 x24axa3 xa xa 令 f x0 ，解得 xa 或 xa 3由于 a0 ，以下分兩種情形爭論（ 1）如 a0 ，當 x 變化時， fax x 的正負如下表：aaa a， ，a333f x00因此，函數(shù)f x 在 xa處取得微小值 fa，且 fa4 a3

17、；33327函數(shù) fx在 xa 處取得極大值f a ，且f a0 （ 2）如 a0 ，當 x 變化時，f x 的正負如下表：x， aaaaaa， 333f x00因此，函數(shù)f x 在 xa處取得微小值f a ，且f a0 ；函數(shù) fx 在 xa處取得極大值fa，且 fa4 a 3 233327（）證明：由 a3 ，得 a31 ，當 k1，0時， kcosx 1， kcos2x 1 2由（）知，f x 在，1上是減函數(shù)，要使f kcos x f k22cosx ， xr只要 kcos x k 2cos2xxr 即 cos xcos x k 2k xr 設 gxcos2 xcosxcosx21 1

18、 ，就函數(shù)24g x在 r 上的最大值為 2 要使式恒成立，必需k 2k 2 ，即k 2或 k 1所以，在區(qū)間1，0上存在 k1 ，使得f kcos x f k 2cos2x 對任意的 xr 恒成立例 9 解： 1f / x3ax 22 xb,f x 在,0 上是增函數(shù)，在0,3上是減函數(shù)，所以當 x0 時，f x 取得微小值，f / 00,b0.f 20,8a4c0.又方程f x0 有三 實根，a0.f / x3ax 22 xb0 的兩根分別為x120, x2.3a又 f x 在,0 上是增函數(shù)， 在0,3上是減函數(shù)，f / x>0 在,0 上恒成立，f / x<0 在0,3上恒

19、成立由二次函數(shù)的性質知，a >0 且23,3a0 < a2 .9故實數(shù)a 的取值范疇為0, 2 .932,2,是方程f x0 的三個實根，就可設f xax x2 xaxa2 x 2a 22x2a.又 f xax3x 2bxca,b, cr 有 a21,12,a250 < a , .92強化訓練答案：a d a a d6解：f / x3x 22axb .據(jù)題意， 1， 3 是方程3x 22 axb0 的兩個根，由韋達定理得132 a313b3 a3,b9,f xx33x 29xc ，f 17,c2微小值f 3333329322532237解：（ 1）fxxbxcx ， fx3x

20、2bxc ；從而g xf xf xx3bx2cx3x22bxc xb3x2c2bxc 是一個奇函數(shù)，所以 g 00 得 c0 ，由奇函數(shù)定義得 b3 ；32（ 2）由（）知g xx6x ，從而g x3x6 ，由此可知，,2 和 2, 是函數(shù)g x 是單調遞增區(qū)間；2,2 是函數(shù)g x 是單調遞減區(qū)間；g x 在 x2 時，取得極大值， 極大值為 4 2 ， g x 在 x2 時，取得微小值， 微小值為42 ；8. 解：設長方體的寬為x （m），就長為h2x m ，高為1812x44.53xm0 x 32.v x2x24.53x9x 26x 3 m30x3故長方體的體積為2從而 vx18x18x

21、 2 4.53x18x1x.令v' x0 ，解得 x0 （舍去）或 x1x1，因此 x1 .3當 0x1 時， v' x0 ；當2 時， v ' x0 ，故在 x1處vx 取得極大值，并且這個極大值就是v x 的最大值；從而最大體積 vv' x9161 m，此時長方體的長為 2 m ，高為 1.5 m.233答：當長方體的長為 2 m 時，寬為 1 m ，高為 1.5 m 時，體積最大，最大體積為3m3 9. 解：（）由題意g x3x2ax3a5 ，令x3 x a3x25 ，1a1對 1a1，恒有 g x0 ，即a0103x2即103x2x202解得x1x803

22、2故 x,13時，對滿意1a1 的一切 a 的值，都有 g x0（） f 'x3x23m2當 m0 時，fxx31 的圖象與直線 y3 只有一個公共點當 m0 時，列表：x,| m |mm , mmm ,f 'x00fx極大微小 f x |微小f | m |2m2| m |1<1，又 fx 的值域是 r ，且在m ,上單調遞增當 xm 時函數(shù) yfx 的圖象與直線 y3 只有一個公共點；當 xm 時，恒有 fxfm由題意得 fm3即 2m2 m312 m13解得 m3 2,00, 3 2綜上， m 的取值范疇是32, 3 2.10解：（）f xt xt 2t 3t1 xr

23、 ， t0 ，當 xt 時，f x取最小值f tt3t1 ，即ht t 3t1 （）令gtht2tmt33t1m ，由 g t 3t 230 得t1， t1（不合題意，舍去）當 t 變化時g t， g t 的變化情形如下表：t0，111，2g t0gt 極大值遞增遞減1mgt在 0，2 內有最大值g 11m ht2tm 在 0，2 內恒成立等價于 gt0 在 0，2 內恒成立，即等價于 1m0 ，所以 m 的取值范疇為/m12/3111解： if xx2a1) x4a,f 396a14a0,a,f 3,b4.22iif / xx22a1) x4ax2a x2, 令f / x0.x2 a,2當 a >1 時，由f / x >0 得f x的單調遞增區(qū)間為,2 ,2a,；當 a =1 時，f / x x2 2 0，即f x的單調遞增區(qū)間為,；當 a <1 時，由f / x >0 得/f x/的單調遞增區(qū)間為1,2a , 2,11 1(iii) 由題意知 a <1 且 f 1 f1 <0，解得< a <, 即實數(shù) a 的取值范疇為 22,.2 21212（）由條件知f 22，