力學(xué)教學(xué)筆記之進(jìn)動(dòng)的陀螺：理解角動(dòng)量-力矩關(guān)系

1、力學(xué)教學(xué)筆記之進(jìn)動(dòng)的陀螺：理解角動(dòng)量-力矩關(guān)系 寫在前面的話：對稱陀螺的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是個(gè)有趣的力學(xué)問題，對于理解角動(dòng)量-力矩關(guān)系和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題都很有幫助。中學(xué)物理也能夠理解，但是也有可能犯錯(cuò)我在昨天寫的初稿里就犯了錯(cuò)誤。感謝tianying老師和sijing20120老師指出了我的錯(cuò)誤。天旋地轉(zhuǎn)回龍馭，到此躊躇不能去我認(rèn)為，大學(xué)普通物理的力學(xué)只有三個(gè)半問題，它們包含了所有必要的物理內(nèi)容。把這三個(gè)問題搞懂了，力學(xué)也就學(xué)明白了。第一個(gè)問題，行星軌道問題，當(dāng)然也包括了盧瑟福散射問題。第二個(gè)問題，受迫振動(dòng)問題，當(dāng)然也就包括了參數(shù)共振問題。第三個(gè)問題，對稱陀螺的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問題。最后半個(gè)問題，火箭發(fā)射問題。這些

2、問題碰巧也能用中學(xué)物理來定性半定量地理解，但是，高等數(shù)學(xué)才能真正顯示威力。從這些問題里，我們可以知道中學(xué)物理的能力和局限性，可以了解大學(xué)普通物理的重要性?，F(xiàn)在就來談?wù)勍勇輪栴}：對稱陀螺的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。高速轉(zhuǎn)動(dòng)的軸對稱重陀螺，放在桌面上。如果陀螺的軸與桌面垂直，與重力方向一致，它當(dāng)然可以保持這種狀態(tài)不變；如果你推它一下，陀螺會發(fā)生傾斜，但是不會倒下，而是繼續(xù)自轉(zhuǎn)，同時(shí)繞著垂線方向轉(zhuǎn)動(dòng)(這就是所謂的進(jìn)動(dòng))。如果自轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針方向，那么進(jìn)動(dòng)方向也是順時(shí)針方向；反之亦然。顯然，這種情況與靜止陀螺不一樣。靜止的陀螺也可以垂直地放在桌面上，但是那個(gè)位置是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，任何風(fēng)吹草動(dòng)都會讓它倒下來。我們分三種

3、情況來討論：初始狀態(tài)，對稱軸垂直于桌面；收尾狀態(tài)，對稱軸與垂線保持固定夾角，陀螺既有自轉(zhuǎn)又有進(jìn)動(dòng)；這兩者之間的過度狀態(tài)，即陀螺傾倒的過程。初始狀態(tài)很簡單，陀螺繞著對稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對稱軸垂直于桌面，與重力方向一致，桌面的支持力向上，正好與重力平衡。摩擦力使得陀螺的轉(zhuǎn)動(dòng)逐漸變慢。收尾狀態(tài)就復(fù)雜一些。中學(xué)生不懂剛體，只會用質(zhì)點(diǎn)，所以先考慮一個(gè)簡化模型：對稱陀螺由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A和B構(gòu)成，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于無質(zhì)量的堅(jiān)固十字架的橫枝兩端，十字架的豎枝是轉(zhuǎn)動(dòng)軸。陀螺的自轉(zhuǎn)角速度為，順時(shí)針方向，進(jìn)動(dòng)角速度為，也是順時(shí)針方向。質(zhì)點(diǎn)A轉(zhuǎn)到最上方的時(shí)候，運(yùn)動(dòng)方向向前，質(zhì)點(diǎn)B在最下方，運(yùn)動(dòng)方向向后。在陀螺自己看來，這兩個(gè)速度大小

4、是相等的；但是在桌面上看，因?yàn)橥勇菡w在進(jìn)動(dòng)，所以A的速度就小于B，這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的離心力就不一樣(A小于B)，但是都垂直于進(jìn)動(dòng)軸(經(jīng)過接觸點(diǎn)的垂線方向)向外?！咀⒁猓和勇葑赞D(zhuǎn)的向心力是內(nèi)力，不會改變角動(dòng)量】。在條件合適的時(shí)候，這個(gè)離心力的合力與陀螺的重力、桌面的支持力保持平衡，總的合力為零。如果把陀螺當(dāng)成一個(gè)杠桿，支點(diǎn)為陀螺與桌面的接觸點(diǎn)，那么兩個(gè)離心力的合力矩也正好與重力的力矩相等。這就是收尾狀態(tài)保持不變的原因。再討論過渡狀態(tài)。在陀螺傾倒的過程中，陀螺有個(gè)整體向下的轉(zhuǎn)動(dòng)?？紤]兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A和B都在水平方向的情況。在陀螺看來，A運(yùn)動(dòng)的方向向下，B向上，二者的大小相等，方向相反。由于陀螺整體在向下轉(zhuǎn)動(dòng)

5、，所以，在桌面上看，A的運(yùn)動(dòng)速度大于B，二者離心力的合力不為零(與接觸點(diǎn)的摩擦力抵消)，合力矩也不為零，使得陀螺也沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。對稱陀螺繞著對稱軸旋轉(zhuǎn)對稱，陀螺的每一個(gè)點(diǎn)都有個(gè)對稱點(diǎn)。所以，這個(gè)雙質(zhì)點(diǎn)陀螺的論證很容易推廣到對稱陀螺的情況。中學(xué)物理就是這樣理解陀螺問題的，這其實(shí)跟過山車一個(gè)道理，但是要涉及到力矩，所以復(fù)雜了一些而已。接下來我們再用大學(xué)普通物理學(xué)的知識來理解陀螺問題，仍然是定性討論。收尾狀態(tài)。選擇一個(gè)非慣性參考系，以進(jìn)動(dòng)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系，那么，在這個(gè)參考系中，陀螺只是在傾斜地自轉(zhuǎn)。此時(shí)有兩種慣性力：陀螺整體的離心力，由支點(diǎn)處的摩擦力抵消；轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中運(yùn)動(dòng)物體的科里奧利力，與

6、重力平衡。仍然采用上面的雙質(zhì)點(diǎn)陀螺模型，可以看到，最高點(diǎn)A受到的科里奧利力是2v×，最低點(diǎn)A受到的力是2(?v)×，這兩個(gè)力大小相等、方向相反，構(gòu)成了一對力偶，其合力和合力矩正好與重力(+支持力)和重力矩平衡。注意，這里是矢量乘法。過渡過程也一樣。在傾倒過程中的某個(gè)特定時(shí)刻，可以選擇一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，科里奧利力構(gòu)成的力偶使得陀螺發(fā)生順時(shí)針的進(jìn)動(dòng)，如果進(jìn)動(dòng)還不足以實(shí)現(xiàn)收尾狀態(tài)，陀螺就會繼續(xù)傾倒，傾倒的角速度就會增大，科里奧利力也就增大，直到動(dòng)態(tài)平衡位置。更詳細(xì)的討論可以表明，傾倒過程可能會發(fā)生過沖，然后又折回來，再跌下去，如此反復(fù)不已，這就是所謂的章動(dòng)。這些方法還是不夠直接。大

7、學(xué)普通物理會教我們?nèi)绾蚊枋龊徒鉀Q對稱陀螺的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)問題，引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)方程，最后就是求解微分方程組。如果是學(xué)習(xí)朗道講義的學(xué)生，那就更直接了，先用歐拉角描述剛體的狀態(tài)，再寫出拉格朗日量，然后用變分法得到的拉格朗日方程直接得到描述陀螺運(yùn)動(dòng)的微分方程組，就可以得到漂亮的封閉形式的解(橢圓積分有什么可怕的?)，自轉(zhuǎn)、進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)，一個(gè)個(gè)都是清清楚楚的。然后，然后就沒有然后了。一切都是那么自然而然的，自然得讓初學(xué)者忘掉也有前面那些笨拙方法可以理解的道理。但是，我覺得吧，笨人的笨法子，有時(shí)也會有些用的，就像羅大佑唱的那樣，野百合也有春天。布衣豈常賤，世事車輪轉(zhuǎn)。劉駕上馬嘆PS：關(guān)于非慣性參考系，大學(xué)生總應(yīng)該知道些的。我大概也會寫一篇文章，只是沒有想好題目，也許可以用力學(xué)教學(xué)筆記之萬法歸一?后記：初稿犯的錯(cuò)誤如下。1. 現(xiàn)象描述。應(yīng)該是“自轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針方向，那么進(jìn)動(dòng)方向也是順時(shí)針方向；反之亦然?！背醺鍖懛戳?。2. 離心力的方向。應(yīng)該考慮的是垂直于進(jìn)動(dòng)軸，而非垂直于自轉(zhuǎn)軸。3. 科里奧利力的方向。應(yīng)該是v×，而非×v。犯錯(cuò)誤是因?yàn)槭孪戎澜Y(jié)論，就忽略了現(xiàn)象的描述和解釋的細(xì)節(jié)。PS：有圖有真相張?jiān)疲和勇葸M(jìn)動(dòng)的簡單圖示M=r×F永遠(yuǎn)逆時(shí)針(r要出去)，所以根據(jù)角動(dòng)量定理dL=Mdt也永遠(yuǎn)逆時(shí)針。那些“轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生力矩抵消重力