dsp1_離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

1、第1章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 1.1 離散時(shí)間信號(hào)與序列運(yùn)算 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng) 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣 1.1.1 離散時(shí)間信號(hào)及表示方式連續(xù)時(shí)間信號(hào)：信號(hào)的時(shí)間變化范圍是連續(xù)的。離散時(shí)間信號(hào)：信號(hào)的時(shí)間變化是不連續(xù)的，是離散值。數(shù)字信號(hào)： 離散時(shí)間信號(hào)的幅值量化。連續(xù)時(shí)間信號(hào) 和離散時(shí)間信號(hào) 的關(guān)系： 說明：離散時(shí)間信號(hào) 只有在為整數(shù) 時(shí)才有意義。 1.1 離散時(shí)間信號(hào)與序列運(yùn)算( )ax t()x nT( )()( )at nTx nx nTx t( )x nn1.1.2 序列的運(yùn)算1. 序列移位 當(dāng)m為正時(shí)， 表示序列 右移m位。 表示序列 左移m位。()x nm()x nm( )

2、x n( )x n( )x n4-202464-20246(2)x n-202464(2)x n2. 序列之和 兩序列的和是質(zhì)量序列中同序號(hào)n（或同時(shí)刻）的序列值主相對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成一個(gè)新的序列，表示為：( )( )( )z nx ny n例1-1 已知兩序列( ) ( 1)1, (2)x nxx2,(1)0, (2)1, (3)0.5, (4)1.5, ( ) ( 2)1, ( 1)1, (0)1,xxxxy nyyy (1)0.5, (2)1, (3)0.5, (4)0, (5)0.5yyyyy ，求兩個(gè)序列和。解：( 2)( 2)( 2)0 11( 1)( 1)( 1)1 12zxyzxy

3、 .(5)(5)(5)0( 0.5)0.5zxy 3.序列之積兩個(gè)序列之積是指同序列號(hào)n（或同時(shí)刻）的序列值逐項(xiàng)相乘，表示為：( )( )( )z nx ny n例1-2 求例1-1中兩序列 與 的積。( )x n( )y n解：( 2)( 2)( 2)0 10( 1)( 1)( 1)1 11zxyzxy .(5)(5)(5)0 ( 0.5)0zxy 4.時(shí)間尺度的變換序列 的時(shí)間尺度變換序列為 或 ，其中m為正整數(shù)。( /)x n m()x mn( )x n4-20246( )x n4-20246(2 )xn5.序列反褶 是 的反褶序列，它是以 的縱軸為對(duì)稱軸將序列 加以反褶而成。()xn(

4、 )x n0n ( )x n( )x n-6-4-2024()xn-6-4-20246.序列的卷積和兩序列的卷積和是指兩序列作如下運(yùn)算時(shí)，稱序列 為序列 與 的卷積和。( )x n( )y n( )h n( )( ) ()my nx m h nm通常表示為：( )( )( )y nx nh n符號(hào)“*”表示卷積和運(yùn)算( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm用圖形求解卷積和可按以下步驟進(jìn)行： 反褶 移位 相乘 相加例1-3 已知如下兩個(gè)序列：當(dāng)-3 n3時(shí)， 其他 ；當(dāng)-1 n4時(shí)， 其他求兩序列的卷積和。( )3,11,7,0, 1,4,2;x n ( )0 x n

5、( )2,3,0, 5,2,1;h n ( )0;h n 解：反褶:現(xiàn)在坐標(biāo)上做出x(m)和h(m)，并將h(m)反褶形成h(-m)。移位、相乘和累加。情況1：n7，y(n)=0;23(1)( ) ()3 1 11 27 ( 5)5myx m h nm .1.1.3 序列的n能量、周期性和幾種常用序列1. 序列的能量nnxE2)(序列 的能量E定義為序列各抽樣值的平方和( )x n2. 序列的周期性若序列 對(duì)所有的n都存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使得( )x n( )()x nx nN則稱序列 是周期序列，且周期為N。( )x n例1-4 試判斷以下正弦序列的周期性，若為周期序列，求出該周期序列。

6、sin()4n4sin()5nsin( )4n解： 由于002,84Nkk，因此該序列為周期序列， 且周期N=8。N=5。0021,84Nkk，因此該序列不是周期序列。例1-5 某正弦序列 ，若要求該正弦信號(hào)經(jīng)抽樣所得的離散信號(hào)是周期信號(hào)，試問抽樣間隔和序列的周期。( )3sin(8)4ax tt解：00214kkkTTNNN若k=N，則抽樣周期T=0.25s，所得的正弦序列為( )( )3sin(8)3sin(2)44at nTx nx tnTn且為周期序列，周期N=1。3. 幾種常用序列(1)單位沖擊序列 )(n0, 00, 1)(nnn1-2-1012 nn(2)單位階躍序列u(n)0,

7、 00, 1)(nnnu.0 123-1nu(n)0( )( )(1)( )()( )(1)(2)mnu nu nu nn mnnn(3)矩形序列)(nRNnNnnRN其他, 010, 1)(10( )( )()( )()( )(1)(1)NNNmR nu nu n NR nn mnnnN (4) 實(shí)數(shù)序列( )( )nx na u n式中a為實(shí)數(shù)(5) 正弦序列0( )cos()x nAn式中A為幅度， 為數(shù)字角頻率， 為初始相位。0(6) 復(fù)指數(shù)序列0()( )jnx ne4. 任意序列用單位沖激序列的表示方式對(duì)于任意序列，常表示成單位沖激序列的移位加權(quán)和，即任意序列也可表示成單位沖激序列

8、的卷積和形式，即( )( ) ()( )* ( )mx nx mnmx nn( )( ) ().( 1) (1)(0) ( )(1) (1).mx nx mnmxnxnxn 1.2 離散時(shí)間系統(tǒng)x(n)離散時(shí)間系統(tǒng) Tx(n)y(n) 系統(tǒng)實(shí)際上表示對(duì)輸入信號(hào)的一種運(yùn)算，所以離散時(shí)間系統(tǒng)就表示對(duì)輸入序列的運(yùn)算，即( ) ( )y nT x n1.2.1 線性時(shí)不變系統(tǒng) 1.線性系統(tǒng)滿足兩個(gè)性質(zhì)：a.可加性b.齊次性1212( )( )( )( )y ny nT x nx n11( )( )ay nT ax n例1-7 判斷系統(tǒng) 是否是線性系統(tǒng)。( )2 ( )5y nx n解：按線性系統(tǒng)的定義

9、，可設(shè)兩個(gè)激勵(lì)源，1( )2x n 和2( )3x n 則相應(yīng)的輸出為：111222( )( )2 ( )59( )( )2( )511y nT x nx ny nT x nx n且12( )( )9 1120y ny n若令 ，則系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)為312( )( )( )x nx nx n3( )x n31212( )( )( )2( )( )515y nT x nx nx nx n312( )( )( )y ny ny n可見因此該系統(tǒng)不滿足可加性，不是線性系統(tǒng)。2. 時(shí)不變系統(tǒng)如果Tx(n)=y(n),則Tx(n-m)=y(n-m), 滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。例1-8 證明 所表

10、示的系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。( )( )y nnx n證明： 令( )( )x nn，則 ( )( )( )0()() () ()()T x ny nnny nmnmnmT x nmnnm可見 ()()T x nmy nm，說明系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。1.2.2 單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)響應(yīng)1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)所謂單位沖擊響應(yīng)是指輸入序列為單位沖激序列 ，系統(tǒng)輸出序列y(n)的初始狀態(tài)為0時(shí)系統(tǒng)的輸出。 一般用h(n)表示( )n( ) ( )h nTn2. 線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意序列的系統(tǒng)相應(yīng) 線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI）的響應(yīng)y(n)等于輸入序列x(n)與單位沖激響應(yīng)h(n)的卷積和。( )( )

11、 ()( )* ( )my nx m h nmx nh n線性移不變系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)(1)交換律)()()()()(nxnhnhnxny(2)結(jié)合律121221( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nhnx nh nhnx nhnh n(3)分配律1212( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh n例1-9 如圖所示，兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，設(shè)h1(n)x(n)y(n)h2(n)12( )( )( )( )(4)( )( ),1nx nu nh nnnh na u na求系統(tǒng)的輸出y(n)。解：

12、由于LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足結(jié)合律，因此，第一個(gè)系統(tǒng)的輸出是第二個(gè)系統(tǒng)的輸入：1212( ) ( )*( )*( )( )*( )y nx nh nh ny nh n分別將 、 和 代入，得11( )( )*( )( )* ( )(4)y nx nh nu nnn4( )* ( )( )* (4)( )(4)( )u nnu nnu nu nR n1( )h n2( )h n( )x n124( )( )*( )( )*( )ny ny nh nR na u n123( )* ( )(1)(2)(3)( )(1)(2)(3)nnnnna u nnnnna u nau nau nau n1.2.3 因

13、果與穩(wěn)定系統(tǒng)1.因果系統(tǒng) 若一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出序列y(n)，在 時(shí)的值 只取決于 的輸入序列，則稱此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。0nn0nn0()y n LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)滿足： h(n)=0, n02.穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)是指系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界的輸出，即系統(tǒng)的輸入x(n)和系統(tǒng)的輸出y(n)滿足：若( )x nM 則( )y nP LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和，即 。( )nh n 3.因果穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)是因果的且絕對(duì)可和時(shí)，即0, ( )0,nh n當(dāng)且( )nh n 這樣的系統(tǒng)稱為因果穩(wěn)定系

14、統(tǒng)。例1-11 設(shè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)分別為： (1)(2)( )(0.5)( )nh nu n( )(0.5)(1)nh nun 試分析系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)當(dāng)n0時(shí)，( )(0.5)( )0nh nu n，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。01( )0.521 0.5nnnh n ，故此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2) 當(dāng)n0時(shí)，所以該系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。( )(0.5)(1)0nh nun 故此系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。1( )0.52nmnnh n 故此系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。所以該系統(tǒng)是非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)。 1.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣1.3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣的基本原理 抽樣就是利用周期性的脈沖序列p(t)，從

15、連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列等間隔的離散值，得到抽樣信號(hào)即離散時(shí)間信號(hào)。實(shí)際抽樣所得的抽樣信號(hào)在 的極限情況下，將成為一沖激函數(shù)序列。這時(shí)，周期脈沖信號(hào)p(t)變成了沖激函數(shù)序列 。0( )Tt)(txa)( txaP(t)TTfs1)(txa連續(xù)時(shí)間信號(hào))(txa)( txa抽樣信號(hào)脈沖調(diào)幅)()()()(:txtptxtxaaa( )()TmttmT因此，理論抽樣信號(hào)為：( )( )( )aaTx tx tt( )()amx ttmT由于 只在 時(shí)不為零，所以()tmTtmT( )()()aamx tx mTtmT其中，抽樣間隔T也稱為抽樣周期，抽樣周期的倒數(shù)稱為抽樣頻率 ，其大小表示單位時(shí)間

16、內(nèi)抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，單位為Hz， 稱為抽樣角頻率。1/sfT2ssf )( txatp(t)0tTp(t)為脈沖序列Tfs1t)( txa)()(ttpTt（沖激序列）Tfs1例1-14 連續(xù)時(shí)間信號(hào)若抽樣間隔T為5ms，試寫出抽樣信號(hào)的表達(dá)式。解：由抽樣定理得到抽樣序列值00( )sin(2/8),50ax tf tfHz()( )sin(2 50/8)aat mTt mTx mTx ttsin(100/8)sin()28mTm抽樣信號(hào)為：( )()()sin()()28200aammmx tx mTtmTmt1.3.2 抽樣定理與連續(xù)信號(hào)的恢復(fù)1. 奈奎斯特(Nyquist)定理定理設(shè) 是一個(gè)

17、嚴(yán)格帶限的連續(xù)信號(hào)，即要想對(duì) 抽樣后能夠不失真地還原出原模擬信號(hào)，則抽樣頻率 (或 )必須大于等于兩倍信號(hào)譜的最高頻率 ( )ax t()0,ahXj ( )ax tsfshf（ ）即：h2shff或者2sh 2. 連續(xù)信號(hào)的重構(gòu) 如果滿足奈奎斯特抽樣定理，則可由理論抽樣信號(hào) 不失真的重構(gòu)連續(xù)信號(hào) 。( )ax t( )ax t其方法是將理論抽樣信號(hào) 通過以下低通濾波器2()02ssTH j 該濾波器的輸出 就是所要恢復(fù)的原連續(xù)信號(hào)。( )h t()H j( )ax t()aXj()aXj( )( )aay tx t( )ax t( )ay t/2s/2s()H jT ( )( )sin ()/()/aaaamy tx txh tdtmTTxmTtmTT例1-15 設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 00( )sin(2/8),50ax tf tfHz試分別求出 的周期、抽樣頻率和抽樣間隔大小。( )ax t解：00001202100102sTmsfffHzTTms由抽樣定理由 得 的周期為050fHz( )ax t3. 抽樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)頻譜的關(guān)系 djjXjjXttxFjXtxFjXtxF