摩擦學(xué)原理數(shù)值方法PPT課件

1、 各種流體潤(rùn)滑問(wèn)題都涉及到在狹小間隙中的流體粘性流動(dòng)，描寫(xiě)這種物理現(xiàn)象的基本方程為Reynolds方程，它的普遍形式是： 這個(gè)橢圓型的偏微分方程僅僅對(duì)于特殊的間隙形狀才可能求得解析解，而對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀或工況條件下的潤(rùn)滑問(wèn)題，無(wú)法用解析方法求得精確解。331212()()()()6()6()hphphhUUVVxxyyxy1212()()( h)+6612UUVVhhxyt第1頁(yè)/共173頁(yè) 數(shù)值法是將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的變換方法。它的一般原則是：首先將求解域劃分成有限個(gè)數(shù)的單元，并使每一個(gè)單元充分的微小，以至于可以認(rèn)為在各單元內(nèi)的未知量（例如油膜壓力p）相等或者依照線性變化，而不會(huì)

2、造成很大的誤差。然后，通過(guò)物理分析或數(shù)學(xué)變換方法，將求解的偏微分方程寫(xiě)成離散形式，即是將它轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程。該代數(shù)方程組表示了各個(gè)單元的待求未知量與周圍各單元未知量的關(guān)系。最后，根據(jù)Gauss消去法或者Gauss-Seidel迭代法求解代數(shù)方程組，從而求得整個(gè)求解域上的未知量。第2頁(yè)/共173頁(yè) 用來(lái)求解Reynolds方程的數(shù)值方法很多，最常用的是有限差分法、有限元法和邊界元法，這些方法都是將求解域劃分成許多個(gè)單元，但是處理方法各不相同 。 在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函數(shù)在求解域內(nèi)是近似的，但完全滿足邊界條件。 邊界元方法所用的函數(shù)在求解域內(nèi)完全滿足基本方程，但是在邊界上

3、則近似地滿足邊界條件。 第3頁(yè)/共173頁(yè) 能量方程和彈性變形方程是流體潤(rùn)滑問(wèn)題中考慮熱效應(yīng)和表面彈性變形時(shí)必須求解的重要方程，在本章中也將介紹它們的數(shù)值解法。 近年發(fā)展的多重網(wǎng)格法在潤(rùn)滑計(jì)算中開(kāi)始得到應(yīng)用，并有廣泛的應(yīng)用前景。本章的最后還介紹了多重網(wǎng)格法求解微分方程和積分方程。第4頁(yè)/共173頁(yè)9.1 Reynolds方程的數(shù)值解法numerical methods of Reynolds equation 無(wú)量綱化 dimensionless 無(wú)量綱化也稱為或歸一化，是將有關(guān)方程的變量用合適的參考量(常數(shù))進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使變量的變化范圍在1的數(shù)量級(jí)上。這個(gè)參考量稱為相對(duì)單位。 為了判斷影響潤(rùn)滑

4、問(wèn)題諸因素的影響大小，以便抓住主要問(wèn)題和影響的主要方面，可采用歸一化的處理方法，對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。 另外，歸一化還可以使所得的分析數(shù)據(jù)具有通用性和廣泛性。第5頁(yè)/共173頁(yè)thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)(2)()12()12(22212133廣義雷諾方程第6頁(yè)/共173頁(yè)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)單油楔固定瓦圓筒軸承(=360)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制造方便，有較大承載能力，但高速穩(wěn)定性差多油楔固定瓦橢圓軸承流量較大、溫升較低。旋轉(zhuǎn)精度和高速穩(wěn)定性優(yōu)于單油楔圓軸承但承載能力略有降低工藝性比多油楔軸承好部分瓦軸承(180)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制造方便，有較大承載能力。功耗，

5、溫升都低于圓筒軸承。高速穩(wěn)定性差，用于載荷方向基本不變的重載軸承雙油楔借位軸承同上，用于單向旋轉(zhuǎn)的軸承浮動(dòng)環(huán)軸承環(huán)隨軸頸旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)速約為軸頸轉(zhuǎn)速的1/2，潤(rùn)滑油流量大，溫升低，高速穩(wěn)定性好，用于小尺寸高速輕載軸承雙向三油楔軸承高速穩(wěn)定性好，工藝性不如圓筒軸承及橢圓軸承第7頁(yè)/共173頁(yè)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)多油楔固定瓦多溝軸承結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，制造方便，便承載能力低，僅用輕載軸承，高速穩(wěn)定性略優(yōu)于圓筒軸承單向三油楔軸承同上。用于單向旋轉(zhuǎn)的軸承螺旋槽軸承利用螺旋的泵入作用和槽面階梯產(chǎn)生動(dòng)壓承載油膜，溫升低，高速穩(wěn)定性好階梯軸承同上，承載能力較低，用于小型軸承第8頁(yè)/共173頁(yè)類型名稱及簡(jiǎn)圖

6、特點(diǎn)多油楔可傾瓦可傾瓦彈性支承軸承高速穩(wěn)定性較好，特別透用于高速輕載軸承，但工藝性較差可傾瓦擺動(dòng)支承軸承同上。但工藝性較好，大、中、小型軸承均適用多油楔聯(lián)合軸承動(dòng)靜壓聯(lián)合軸承承載能力大，溫升低，功耗小，定心性和穩(wěn)定性好，特別適于頻繁起動(dòng)的場(chǎng)合，工藝性差，制造較困難但瓦面結(jié)構(gòu)復(fù)雜第9頁(yè)/共173頁(yè)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)類型名稱及簡(jiǎn)圖特點(diǎn)固定瓦推力軸承多油溝推力軸承同多油溝徑向軸承。只能在輕載下使用固定瓦斜-平面推力軸承允許軸承有起動(dòng)載荷斜面推力軸承用于單向旋轉(zhuǎn)，無(wú)起動(dòng)載荷情況階梯面推力軸承結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，用于小尺寸軸承螺旋槽推力軸承同螺旋槽徑向軸承聯(lián)合軸承動(dòng)靜壓聯(lián)合推力軸承同動(dòng)靜壓聯(lián)合徑向軸承可傾瓦可

7、傾瓦彈性支承推力軸承同可傾瓦彈性支承徑向軸承第10頁(yè)/共173頁(yè)1. 方程的無(wú)量綱化方程的無(wú)量綱化 兩個(gè)因素 微分方程中起作用的是變量的變化率，而不是其本身值的大小 結(jié)果的廣泛性l歸一化thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)(2)()12()12(22212133xh第11頁(yè)/共173頁(yè)1. 方程的無(wú)量綱化方程的無(wú)量綱化 固定瓦徑向軸承)(2)(2)12()12(33xhUVxUhxhUzphzxphxl廣義雷諾方程thzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)(2)()12()12(22212133第12頁(yè)/共173頁(yè)式中式中 )cos1 (chrxsinco

8、scossineeVeerU20UVXY第13頁(yè)/共173頁(yè))sin(11crhrxhVreerUrxU1)sincos(11VrhVVrVhVxUh12) 12(12126126)cos2sin)2( 6)sincos(12)sin(1)cossin( 61266eceecreerVxUhxhU第14頁(yè)/共173頁(yè)不可壓縮流體cos2sin)2(6)cossin(6)()(2323ecreerrhzphzrph)cossin(6eerrhcos2sin)2(6)()(2323ecrzphzrph穩(wěn)定工況0, 0esin6)()(2323crzphzrph第15頁(yè)/共173頁(yè)流體動(dòng)力粘度為常數(shù)

9、sin6)()(2323crzphzrphx, ,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxx,2,1,220000CrpPpttyzB第16頁(yè)/共173頁(yè)不可壓縮流體cos2sin) 2( 3)()/()(323eZPHZBdPH穩(wěn)定工況cos2sin) 2( 3)()/()(323eZPHZBdPH流體動(dòng)力粘度為常數(shù)sin3)()/()(323ZPHZBdPH第17頁(yè)/共173頁(yè)能量方程)()(12112)122(222242233zpxpUhhUzTzphxTxphUhCv無(wú)量綱能量方程取相對(duì)單位取相對(duì)單位, ,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxxvCCrtTCrpP

10、ptt022022000012,2,1,)()/()()(3113)/(31 2222222ZpBdpHHZtZPHBdtPH第18頁(yè)/共173頁(yè)溫粘方程tbte壓粘方程Pbpe第19頁(yè)/共173頁(yè)2. 相似分析相似是指動(dòng)力學(xué)相似，它包括幾何相似運(yùn)動(dòng)相似力相似相似分析主要解決：1）確定相似條件2）導(dǎo)出兩個(gè)相似問(wèn)題之間各參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系第20頁(yè)/共173頁(yè)1）相似條件（1）物理模型與控制方程必須是相同的單值條件（量） ：使問(wèn)題有唯一確定解的條件（量）稱為單值條件（量）。純粹由單值量組成的相似不變量，是決定問(wèn)題是否相似的量，因而稱之為決定性相似不變量。當(dāng)相似不變量由同類量組成時(shí)稱之為簡(jiǎn)單決定性相似不

11、變量，如d/B。當(dāng)相似不變量由不同類量組成時(shí)稱之為決定性相似判據(jù)，如： 。不是純粹由單值量組成的相似不變量稱為非決定性相似不變量（判據(jù)）。（2）單值條件（量）相似，由單值量組成的判據(jù)相等2200Crp第21頁(yè)/共173頁(yè)2）相似分析的基本步驟（1）列出問(wèn)題的全部控制方程和單值條件（量）（2）選取合適的相對(duì)單位（3）化成無(wú)量綱形式（4）找出決定性和非決定性相似不變量3）轉(zhuǎn)換關(guān)系第22頁(yè)/共173頁(yè)算例以360圓柱軸承為例，定常工況、層流、等溫。雷諾方程與單值條件（量）（1）單值量：軸承直徑D（或軸頸直徑d）、寬度 B、半徑間隙C、潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度、軸頸旋轉(zhuǎn)角速度和軸承所受的載荷W（方向沿y軸）。方

12、程sin6)()(2323crzphzrph邊界條件： 0,2PBZ0, 0P0 0,2PPrdzdpWBB2/2/20)cos(式中 第23頁(yè)/共173頁(yè)（2）選取無(wú)量綱單位并將方程無(wú)量綱化 ,ceHhBZZxx,22200CrpPp0, 1P0, 0P0 0,2PPcos1HddpdBWW 11202)cos(2sin3)()/()(323ZpHZBdpH無(wú)量綱單位無(wú)量綱方程邊界條件： 已知函數(shù)： 式中第24頁(yè)/共173頁(yè)（3）找出決定性和非決定性相似不變量模型實(shí)驗(yàn)：決定性dBWBd2,/非決定性pH,理論計(jì)算：,/ Bd決定性非決定性pdBWH,2第25頁(yè)/共173頁(yè) 例如在穩(wěn)定工況下流

13、體靜壓潤(rùn)滑的油膜厚度h為常數(shù)，若不考慮相對(duì)滑動(dòng)和熱效應(yīng)，則粘度也是常數(shù)。這時(shí)Reynolds方程可簡(jiǎn)化為L(zhǎng)aplace方程，即 （9.1） 將式（9.1）無(wú)量綱化，令x=XA，y=YB，A，B為幾何尺寸；p=Ppr，pr為油腔壓力；=A2/B2；則無(wú)量綱化的Reynolds方程為 （9.2） 022222ypxpp02222YPXP第26頁(yè)/共173頁(yè)求解方程（9.2）的無(wú)量綱化邊界條件為 （1）在油腔內(nèi) P=1 （2）在四周邊緣上 P=0 第27頁(yè)/共173頁(yè)若令 代入雷諾方程，得無(wú)量綱化基本方程 (9.3) 202200106(1) (2)xXByYLUBpPhBLhhXHhhh取dXdH

14、HXPdXdHHYPXP3222213例如圖9.1所示有限長(zhǎng)斜面滑塊。圖9.1斜面滑塊3312()()()6()hphphUUxxyyx第28頁(yè)/共173頁(yè)這種形式的方程被稱為Poisson方程。 再將P=Pc（1-Y2）代入方程（9.3），則變換成只含變量Pc和X的方程，即可求解中間斷面上無(wú)量綱化壓力Pc隨X的變化。即 （9.4）dXdHHPXPdXdHHXPccc322123第29頁(yè)/共173頁(yè)廣義雷諾方程廣義雷諾方程方程的無(wú)量綱化方程的無(wú)量綱化 固定瓦徑向軸承)(2)(2)12()12(33xhUVxUhxhUzphzxphxthzhWxhUVWWhzUUhxzphzxphx)(2)(2

15、)()12()12(22212133第30頁(yè)/共173頁(yè)式中式中 )cos1 (chrxsincoscossineeVeerU20UVXY第31頁(yè)/共173頁(yè))sin(11crhrxhVreerUrxU1)sincos(11VrhVVrVhVxUh12) 12(12126126)cos2sin)2( 6)sincos(12)sin(1)cossin( 61266eceecreerVxUhxhU第32頁(yè)/共173頁(yè)不可壓縮流體cos2sin)2(6)cossin(6)()(2323ecreerrhzphzrph6(sincos)0rh reecos2sin)2(6)()(2323ecrzphzr

16、ph穩(wěn)定工況0, 0esin6)()(2323crzphzrph第33頁(yè)/共173頁(yè)流體動(dòng)力粘度為常數(shù)sin6)()(2323crzphzrphx, ,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxx,2,1,220000CrpPpttyzB第34頁(yè)/共173頁(yè)不可壓縮流體cos2sin) 2( 3)()/()(323eZPHZBdPH穩(wěn)定工況cos2sin) 2( 3)()/()(323eZPHZBdPH流體動(dòng)力粘度為常數(shù)sin3)()/()(323ZPHZBdPH第35頁(yè)/共173頁(yè)能量方程)()(12112)122(222242233zpxpUhhUzTzphxTxphUhCv無(wú)量綱能

17、量方程取相對(duì)單位取相對(duì)單位, ,ctddcdtdeetdddtdceHhBZZxxvCCrtTCrpPptt022022000012,2,1,)()/()()(3113)/(31 2222222ZpBdpHHZtZPHBdtPH第36頁(yè)/共173頁(yè)溫粘方程tbte壓粘方程Pbpe第37頁(yè)/共173頁(yè)相似分析相似是指動(dòng)力學(xué)相似，它包括幾何相似運(yùn)動(dòng)相似力相似相似分析主要解決：1）確定相似條件2）導(dǎo)出兩個(gè)相似問(wèn)題之間各參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系第38頁(yè)/共173頁(yè)相似條件（1）物理模型與控制方程必須是相同的單值條件（量） ：使問(wèn)題有唯一確定解的條件（量）稱為單值條件（量）。純粹由單值量組成的相似不變量，是決定問(wèn)

18、題是否相似的量，因而稱之為決定性相似不變量。當(dāng)相似不變量由同類量組成時(shí)稱之為簡(jiǎn)單決定性相似不變量，如d/B。當(dāng)相似不變量由不同類量組成時(shí)稱之為決定性相似判據(jù)，如： 。不是純粹由單值量組成的相似不變量稱為非決定性相似不變量（判據(jù)）。（2）單值條件（量）相似，由單值量組成的判據(jù)相等2200Crp第39頁(yè)/共173頁(yè)2）相似分析的基本步驟（1）列出問(wèn)題的全部控制方程和單值條件（量）（2）選取合適的相對(duì)單位（3）化成無(wú)量綱形式（4）找出決定性和非決定性相似不變量3）轉(zhuǎn)換關(guān)系第40頁(yè)/共173頁(yè)算例以360圓柱軸承為例，定常工況、層流、等溫。雷諾方程與單值條件（量）（1）單值量：軸承直徑D（或軸頸直徑d

19、）、寬度 B、半徑間隙C、潤(rùn)滑油動(dòng)力粘度、軸頸旋轉(zhuǎn)角速度和軸承所受的載荷W（方向沿y軸）。方程sin6)()(2323crzphzrph邊界條件： 0,2PBZ0, 0P0 0,2PPrdzdpWBB2/2/20)cos(式中 第41頁(yè)/共173頁(yè)（2）選取無(wú)量綱單位并將方程無(wú)量綱化 ,ceHhBZZxx,22200CrpPp0, 1P0, 0P0 0,2PPcos1HddpdBWW 11202)cos(2sin3)()/()(323ZpHZBdpH無(wú)量綱單位無(wú)量綱方程邊界條件： 已知函數(shù)： 式中第42頁(yè)/共173頁(yè)（3）找出決定性和非決定性相似不變量模型實(shí)驗(yàn)：決定性dBWBd2,/非決定性p

20、H,理論計(jì)算：,/ Bd決定性非決定性pdBWH,2第43頁(yè)/共173頁(yè)有限差分法finite difference method 在流體潤(rùn)滑計(jì)算中，有限差分方法的應(yīng)用最為普遍。 現(xiàn)將有限差分法求數(shù)值解的步驟和方法說(shuō)明如下： 首先，將所求解的偏微分方程無(wú)量綱化。 然后，將求解域劃分成等距的或不等距的網(wǎng)格，圖9.2為等距網(wǎng)格，在X方向有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，Y方向有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，總計(jì)nm個(gè)節(jié)點(diǎn)。 第44頁(yè)/共173頁(yè)圖9.2 等距網(wǎng)格劃分第45頁(yè)/共173頁(yè) 網(wǎng)格劃分的疏密程度根據(jù)計(jì)算精度要求確定。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，在現(xiàn)階段的潤(rùn)滑計(jì)算中，取m=100500、n=100500，即可以獲得滿意的精度，又能夠

21、在可以接受的時(shí)間內(nèi)完成。 有時(shí)，為提高計(jì)算精度，可在未知量變化劇烈的區(qū)段內(nèi)細(xì)化網(wǎng)格，即采用兩種或幾種不同間距的分格，或者采用按一定比例遞減的分格方法。第46頁(yè)/共173頁(yè) 如果用代表所求的未知量例如油膜壓力p，則變量在整個(gè)域中的分布可以用各節(jié)點(diǎn)的值來(lái)表示。根據(jù)差分原理，任意節(jié)點(diǎn)O(i,j)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)都可以由其周圍節(jié)點(diǎn)的變量值來(lái)表示。i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1NESWxOxyy圖9.3差分關(guān)系22000220020()()2()()2xxxxooxxxxooFFFFxxxxxxFFFFxxxxxx第47頁(yè)/共173頁(yè) 如圖9.3所示，可采用中差分公式。 在求解域的邊界

22、上或者根據(jù)計(jì)算要求也可采用前差分公式，或者用后差分公式。 通常，中差分的精度最高，若采用下面的中差分表達(dá)式，則精度更高，例如 以表示潤(rùn)滑膜壓力，將Reynolds方程寫(xiě)成二維二階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其中A,B,C,D和E均為已知量 。1,1,2ijiji jxxEyDxCyBxA2222xxjijiji, 2/1, 2/1,第48頁(yè)/共173頁(yè) 然后，將上述方程應(yīng)用到各個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)中差分公式（9.5）和（9.6)用差商代替偏導(dǎo)數(shù)，即可求得各節(jié)點(diǎn)的變量i,j與相鄰各節(jié)點(diǎn)變量的關(guān)系。這種關(guān)系可以寫(xiě)成 （9.9）式（9.9）中各系數(shù)值隨節(jié)點(diǎn)位置而改變。GCCCCjiWjiEjiSjiNji, 1,

23、 11,1,第49頁(yè)/共173頁(yè) 方程（9.9）是有限差分法的計(jì)算方程，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以寫(xiě)出一個(gè)方程，而在邊界上的節(jié)點(diǎn)變量應(yīng)滿足邊界條件，它們的數(shù)值是已知量。這樣，就可以求得一組線性代數(shù)方程。方程與未知量數(shù)目相一致，所以可以求解。采用消去法或迭代法求解代數(shù)方程組，并使計(jì)算結(jié)果滿足一定的收斂精度，最終求得整個(gè)求解域上各節(jié)點(diǎn)的變量值。 1111122000lllllCDEPfBCDEPfABCDEABCDABCPf式中l(wèi)mn第50頁(yè)/共173頁(yè)1流體靜壓潤(rùn)滑hydrostatic lubrication 對(duì)無(wú)量綱化的流體靜壓潤(rùn)滑Reynolds方程式 （9.2） 將中差分公式（9.5）代入式（9

24、.2）得 （9.10） 給出邊界條件即可由方程（9.9）求得油膜壓力分布的數(shù)值解。 02222YPXP0222,1,1,2, 1, 1yPPPxPPPjijijijijiji第51頁(yè)/共173頁(yè)2流體動(dòng)壓潤(rùn)滑 hydrodynamic lubrication 用于不可壓縮流體動(dòng)壓潤(rùn)滑軸承的Reynolds方程為 （ 9.11） 當(dāng)h是x、y的已知函數(shù)時(shí)，對(duì)于等粘度潤(rùn)滑問(wèn)題而言，方程（9.11）是線性的。對(duì)于變粘度潤(rùn)滑問(wèn)題，則需要考慮粘度隨溫度或壓力的變化，特別是呈非牛頓性的潤(rùn)滑劑的粘度還受各點(diǎn)速度梯度的影響，則方程（9.11）變成非線性偏微分方程，求解過(guò)程較為復(fù)雜。336hphphUxxyyx

25、第52頁(yè)/共173頁(yè)（1）準(zhǔn)二維問(wèn)題求解 在潤(rùn)滑問(wèn)題的工程計(jì)算中，往往采用準(zhǔn)二維簡(jiǎn)化方法。其要點(diǎn)是對(duì)于兩維變化的油膜壓力，預(yù)先給定沿某一坐標(biāo)方向（如軸向）的變化規(guī)律，再將這一規(guī)律代入二維的Reynolds方程即變換為容易求解的一維問(wèn)題。根據(jù)對(duì)無(wú)限短軸承的分析，油膜壓力p沿y方向（即軸向）的分布規(guī)律為拋物線 p=pc(1-Y) （9.12）式中，pc為軸向中間斷面上的壓力；Y為無(wú)量綱坐標(biāo)；為指數(shù)，2。第53頁(yè)/共173頁(yè) （2）二維問(wèn)題求解 通常的徑向滑動(dòng)軸承設(shè)計(jì)采用等粘度潤(rùn)滑計(jì)算，即假定潤(rùn)滑膜具有相同的粘度，同時(shí)認(rèn)為間隙h只是x的函數(shù)，而不考慮安裝誤差和軸的彎曲變形。 圖9.4 徑向軸承展開(kāi)第

26、54頁(yè)/共173頁(yè) 將軸承表面沿平面展開(kāi)，如圖9.4，并代入x=R，dx=Rd，則Reynolds方程變?yōu)?（9.14）若令233226ppdhhh RURyd22/2(2/ )(1cos )6yYLR LhcHcURpPc第55頁(yè)/共173頁(yè) （9.15） 以上各式中，R為軸承半徑；L為軸承長(zhǎng)度；為偏心率，=e/c，e為偏心距；c為半徑間隙。 然后，應(yīng)用差分公式得出式（9.6）形式的計(jì)算方程 。ddHYPHPH223322222)cos1 (sincos1sin3PYPP無(wú)量綱化Reynolds方程第56頁(yè)/共173頁(yè)有限元法與邊界元法finite element method and bo

27、undary element method 1有限元法 finite element method 有限元法是從彈性力學(xué)計(jì)算中發(fā)展起來(lái)，繼而在流體潤(rùn)滑計(jì)算中得到應(yīng)用的一種數(shù)值計(jì)算方法。與有限差分法比較，有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)是：適應(yīng)性強(qiáng)、受幾何形狀的限制較少、可處理各種定解條件、單元大小和節(jié)點(diǎn)可以任意選取、計(jì)算精度較高。但是，有限元法計(jì)算方程的構(gòu)成比較復(fù)雜。第57頁(yè)/共173頁(yè) 如圖9.5所示潤(rùn)滑區(qū)域，分成若干個(gè)三角形單元。在邊界上存在兩類邊界條件。 即：在sp邊界上壓力為已知量，p=p0； 在sq邊界上流量為已知量，q=q0。 圖9.5潤(rùn)滑區(qū)有限元?jiǎng)澐?第58頁(yè)/共173頁(yè) 設(shè)在e單元中的壓力為

28、pe，則定義e單元的泛函Je為 （9.20） 這里，A為積分面積；s為積分長(zhǎng)度。如果潤(rùn)滑區(qū)域共劃分為n個(gè)單元，各單元泛函的總和應(yīng)為根據(jù)變分原理，泛函存在極值或駐定值的必要條件是它的變分為零，即302212qeeeeeesAhJpphphpdAq p ds UneeJJ1第59頁(yè)/共173頁(yè) （9.21） 由歐拉一拉格朗日公式可以證明：符合上述邊界條件由Reynolds方程（9.17）求得的解p(x,y)，能夠滿足泛函駐定值條件（9.21）。反之，由駐定值條件（9.21）求得的解p(x,y)，必然是Reynolds方程（9.19）在上述邊界條件下的解。這樣，有限元法是將不能直接積分求解的二維Re

29、ynolds方程轉(zhuǎn)化為求泛函的駐定值，而由式（9.21）建成的計(jì)算方程可以求解。 01neeJJ第60頁(yè)/共173頁(yè) 通常，有限元法的求解過(guò)程可歸納如下：（1）將求解域劃分成若干三角形或者四邊形單元；（2）按變分原理寫(xiě)出所求解方程的泛函；（3）建立插值函數(shù)，即以單元各節(jié)點(diǎn)上的變量數(shù)值表出單元內(nèi)任意點(diǎn)的數(shù)值；（4）根據(jù)駐定值條件建立在單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組；（5）用疊加方法建立總體節(jié)點(diǎn)未知量的代數(shù)方程組；（6）求解代數(shù)方程組。第61頁(yè)/共173頁(yè)2邊界元法 boundary element method 基本特點(diǎn) 通過(guò)數(shù)學(xué)方法建立求解域內(nèi)未知量與邊界上未知量之間的關(guān)系，這樣，只需要將邊界劃

30、分成若干個(gè)單元，求解邊界上未知量，進(jìn)而推算求解域內(nèi)未知量。所以，邊界元法的主要優(yōu)點(diǎn)是代數(shù)方程數(shù)很少，同時(shí)顯著地減少了數(shù)據(jù)量，尤其是在求解二維和三維問(wèn)題時(shí)更加突出。 邊界元法的計(jì)算流量精度要高于有限元法，并且可以方便地計(jì)算混合問(wèn)題。然而，建立邊界元法的計(jì)算方程在數(shù)學(xué)上十分困難。第62頁(yè)/共173頁(yè) 如圖9.6所示的階梯滑塊，依潤(rùn)滑膜厚度不同可分為1、2兩部分。每一部分油膜的壓力p所遵循的Reynolds方程為 （9.22） 圖9.6階梯滑塊022222ypxpp第63頁(yè)/共173頁(yè)根據(jù)對(duì)稱性只需分析滑塊的一半，即OBCE部分。其總邊界s可分成s1和s2兩類，s=s1+s2。邊界條件分別為：在s1

31、邊界上p=p0=0； 在s2邊界上。 引入一個(gè)能滿足基本方程（9.20）的權(quán)函數(shù)P， 根據(jù)加權(quán)余量方法可得 其中，21)()()(002ssQdsppPdsqqPdpYPQ00qypq第64頁(yè)/共173頁(yè)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)分析，求得本問(wèn)題的權(quán)函數(shù)為求解域中任意點(diǎn)的未知量pi與邊界上積分的關(guān)系為 （9.23）同樣，邊界上任意點(diǎn)的未知量pi與邊界上積分的關(guān)系為（9.24）21lnrPssiqPdspQdspssiqPdspQdsp21 以上r為i點(diǎn)至各點(diǎn)的距離，因而P和Q均為已知量。這樣，由式（9.24）求得邊界上各點(diǎn)未知量后，利用式（9.21）即可計(jì)算域內(nèi)各點(diǎn)未知量。第65頁(yè)/共173頁(yè)對(duì)于點(diǎn)接觸彈流問(wèn)題

32、，如果假定 是邊界平面上單位面積內(nèi)的載荷密度，則在該單位面積上有相當(dāng)于作用了一集中載荷ydxpdP),(yxpx,y,z),(yxpr這時(shí)載荷作用點(diǎn) 到半無(wú)限體表面上一點(diǎn) 的距離r為)0 ,(yx)0 ,(yxi22)()(yyxxr即：彈流潤(rùn)滑區(qū)域中的彈性變形量為：rydxpdEw2122222121)()(1),()11(21),(dydxyyxxyxpEEyx則i點(diǎn)的Z方向上的位移為式中1、2分別為接觸區(qū)表面1和表面2的泊松比，E1、E2分別為接觸區(qū)表面1和表面2的彈性模量。 第66頁(yè)/共173頁(yè)式中D(idx,jdy)= 稱為影響函數(shù)。 xy計(jì)算網(wǎng)格的劃分dxdyNM而對(duì)于下圖所示的網(wǎng)

33、格劃分情況下，對(duì)于任意一個(gè)矩形單元內(nèi)施加單位均布載荷時(shí)，接觸表面的彈性變形則可寫(xiě)為：dcbajiyxxyyxyxEyx)ln()ln(),(2222)11(21222121EE式中a = xi-dx/2、b=xi+dx/2、 c=yj-dy/2 、d=yj+dy/2，E 為等效彈性模量。 如果采用數(shù)值積分技術(shù)則積分式可轉(zhuǎn)換為離散函數(shù)的求和式： ),(),(),(11MiNjjdyidxDjdyidxpyx22)()(jdyyidxxE第67頁(yè)/共173頁(yè) 對(duì)于點(diǎn)接觸穩(wěn)態(tài)彈流問(wèn)題，通常采用有限元法等數(shù)值計(jì)算方法求出接觸表面的彈性變形量。正如前面所述，當(dāng)有限元法用于計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)劃分的比較多

34、時(shí)，就會(huì)使計(jì)算時(shí)間變得過(guò)長(zhǎng)，同時(shí)也占用了更多地計(jì)算資源。因此，許多研究人員在有限元法計(jì)算方法和改變計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格劃分上做了許多工作，以期減少計(jì)算量并提高計(jì)算精度，例如自動(dòng)網(wǎng)格劃分技術(shù)和無(wú)網(wǎng)格計(jì)算技術(shù)等。但是這些方法并未能從根本上改變有限元法的基本弱點(diǎn)。為了適應(yīng)點(diǎn)接觸彈流潤(rùn)滑分析的需要，采用信號(hào)處理的方法可以快速求解這類彈流潤(rùn)滑問(wèn)題。數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)數(shù)字信號(hào)處理技術(shù) 信號(hào)系統(tǒng)分析的主要工作就是在給定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與輸入激勵(lì)的條件下求得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。信號(hào)系統(tǒng)的分類時(shí)變信號(hào)非時(shí)變信號(hào)時(shí)間關(guān)系線性信號(hào)系統(tǒng)非線性信號(hào)系統(tǒng)確定信號(hào)隨機(jī)信號(hào)系統(tǒng)特性信號(hào)類型信號(hào)類型第68頁(yè)/共173頁(yè) 建立信號(hào)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法

35、可分為輸入輸出描述法和狀態(tài)空間描述法兩種，而所用的求解方法則有時(shí)間域分析法和變換域分析法。 輸入輸出描述法著眼于系統(tǒng)的外部特性，一般不考慮系統(tǒng)的內(nèi)部變量，直接建立系統(tǒng)輸入與輸出之間的函數(shù)關(guān)系。 狀態(tài)空間描述法著眼于系統(tǒng)的內(nèi)部特性，建立系統(tǒng)內(nèi)部變量之間以及內(nèi)部變量與輸出變量之間的函數(shù)關(guān)系。 時(shí)間域分析法是以時(shí)間t或kT（T為周期）為變量，直接求解定常系數(shù)的線性微分方程式、差分方程式或狀態(tài)方程式。 變換域分析法是應(yīng)用數(shù)學(xué)的映射理論，使系統(tǒng)的方程式退化為代數(shù)方程式，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。 而在各種系統(tǒng)中，線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析具有非常主要的地位。這不僅是因?yàn)閷?shí)際中的大多數(shù)系統(tǒng)都屬于或可近似看作線性非時(shí)變系統(tǒng)

36、，而且線性非時(shí)變系統(tǒng)的分析方法已有了完善的理論。 對(duì)于隨機(jī)信號(hào)的分析主要采用概率模型的統(tǒng)計(jì)方法，即根據(jù)輸入隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性求得輸出隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。而對(duì)于確定信號(hào)的分析則主要采用數(shù)學(xué)模型的解析方法，即建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式，最后求得系統(tǒng)輸出響應(yīng)的解析描述式。 由于摩擦學(xué)系統(tǒng)的信號(hào)一般都是確定信號(hào)，因此就可以采用后一種方法建立和求解摩擦學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 第69頁(yè)/共173頁(yè)對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)（信號(hào)）f（t），可以在區(qū)間（T/2,T/2）內(nèi)用正弦函數(shù)集表示，即)sincos(2sin2sinsincos2coscos2)(010000201002010tbtnaatbtbtbtnatataatf

37、nnnnnT202/2/0cos)(2TTntdtntfTa2/2/0sin)(2TTntdtntfTb2/2/00)(1|22TTnndttfTaatjnntjntjnnenFenFenFFtf000)(0)(1式中，T為任意正整數(shù)。系數(shù)a0,an與bn為上式就是任意函數(shù)f（t）的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式。如果f（t）滿足Dirichlet條件，則可以保證存在有f（t）的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式，并且在區(qū)間（T/2,T/2）內(nèi)收斂于原函數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式通常還可以寫(xiě)成指數(shù)形式。式中2/2/0)(1)(21TTtjnnndtetfTjbanF第70頁(yè)/共173頁(yè)上式為周期信號(hào)的富立葉級(jí)數(shù)指數(shù)展開(kāi)

38、表達(dá)式，當(dāng)信號(hào)周期T趨于無(wú)窮時(shí)，F(xiàn)n將趨近于無(wú)窮小，同時(shí)02/Td，n0nd，積分區(qū)間也擴(kuò)展為（，）。即變?yōu)椋?dtetfjFtj0)(dejFtftjn0)(21)(上式稱為非周期信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，即頻譜函數(shù)，它為非周期信號(hào)的頻域表達(dá)式。同樣，當(dāng)T趨于無(wú)窮時(shí)，周期信號(hào)變成非周期信號(hào)，即上述兩式分別被稱為富里葉變換和富里葉逆變換第71頁(yè)/共173頁(yè)因此，為了使接觸表面的彈性變形公式化成為離散卷積，則需要首先將 和 分別補(bǔ)零，使其長(zhǎng)度變成 ，然后再作周期性(2M-1)(2N-1)-MN延拓得到p(x,y)(2M-1)(2N-1)和D(x,y)(2M-1)(2N-1)，再求p(x,y)(2M-1

39、)(2N-1)和D(x,y)(2M-1)(2N-1)周期卷積取其中的一個(gè)周期即可。即將其寫(xiě)成卷積式： (i = 0,1,2.N-1; j =0, 1, 2.M-1)可以看出，求解接觸表面的彈性變形的與線性系統(tǒng)的隨機(jī)函數(shù)的富立葉級(jí)數(shù)指數(shù)展開(kāi)表達(dá)式具有相似形式。MxNPMxND)12)(1(2NM22222121)()(1),()11(21),(dydxyyxxyxpEEyx比較接觸表面的彈性變形公式和富立葉級(jí)數(shù)指數(shù)展開(kāi)表達(dá)式dtetfjFtj0)(y（n）x（n） h（n） )()(KnhKxK對(duì)于離散信號(hào)則有離散卷積),(),(),(jiDjiPji第72頁(yè)/共173頁(yè)這種線性卷積在彈性流體潤(rùn)

40、滑計(jì)算中可以處理為圓卷積。因此，快速傅立葉變換法（FFT）可用于計(jì)算離散后的線性系統(tǒng)中。這種方法在信號(hào)處理中常稱為FFT的數(shù)字濾波法或快速卷積計(jì)算。通常FFT是與頻率或周期相關(guān)聯(lián)的，但上式中的變量并不要求是周期函數(shù)。離散變量卷積方程要首先通過(guò)濾波方法消除其邊界效應(yīng)，然后對(duì)式兩邊進(jìn)行快速傅立葉變換，則可以將上式寫(xiě)成頻域中的各點(diǎn)乘積方程。即：),(),(),(jijijiDP),(),(jijiyxFFT) ),(),(jijiyxPFFTP) ),(),(jijiyxDFFTD),(),(jijiIFFTyx最后采用快速傅立葉逆變換，可得出時(shí)域中的彈性變形量 式中各變數(shù)均通過(guò)FFT變換得出，即(

41、i = 0,1,2.M-1; j =0, 1, 2.N-1)(i = 0,1,2.M-1; j =0, 1, 2.N-1)第73頁(yè)/共173頁(yè)采用數(shù)字信號(hào)處理的方法對(duì)接觸問(wèn)題的彈性變形和壓力分布求解的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是信號(hào)源與噪音的處理。正如前面所介紹的那樣，由于接觸變形和壓力分布是非周期信號(hào)，因此必須對(duì)它作周期性延拓，然后進(jìn)行快速傅立葉變換和快速傅立葉反變換的信號(hào)處理，最后截取有效的區(qū)域數(shù)值。 在快速傅立葉反變換中將充零區(qū)域中的無(wú)關(guān)量舍去后，就可得到原來(lái)潤(rùn)滑區(qū)域中的實(shí)際變形量 ，由于FFT（快速傅立葉變換）和IFFT（快速傅立葉反變換）的運(yùn)算次數(shù)僅是NLogN次的量級(jí)，（N為所劃分的節(jié)點(diǎn)總數(shù)）。

42、而用有限元法的運(yùn)算次數(shù)是N2的量級(jí)。因此用FFT和IFFT求解彈流潤(rùn)滑可比其它數(shù)值算法，如有限元法和有限差分法快得多。 ),(iiyx第74頁(yè)/共173頁(yè)數(shù)值解法的其它問(wèn)題other problems of numerical method 1參數(shù)變換parameter transformation 當(dāng)徑向軸承的偏心率較大（例如0.8），或者楔形滑塊具有較大的傾斜角時(shí)，使得最小油膜厚度hmin值很小，而在hmin附近膜厚的變化率dh/dx數(shù)值很高。這就造成在hmin附近很窄的區(qū)間內(nèi)油膜壓力急劇地變化。此時(shí)，除非采用非常細(xì)密的網(wǎng)格，否則計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真，而很密的網(wǎng)格又將使計(jì)算工作量增加。 為了克

43、服這一困難，可以進(jìn)行參數(shù)變換。 將M=ph3/2代入Reynolds方程直接求解變量M，然后再根據(jù)變換關(guān)系計(jì)算出p的數(shù)值。當(dāng)hmin數(shù)值很小時(shí)，在它附近的p值劇增，如果以M為變量，M的數(shù)值不至于變得很大。同時(shí)，M值在hmin附近的變化也較平緩。所以，采用M作為變量可以獲得較高的計(jì)算精度。第75頁(yè)/共173頁(yè)3計(jì)算公式與多元回歸法calculation formula and Multi variant regression 數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題能夠給出較準(zhǔn)確的解，這對(duì)于某些重要的設(shè)計(jì)和理論研究無(wú)疑是有效的手段。然而，數(shù)值方法在使用上的缺點(diǎn)是它求解的是個(gè)別的具體算例，缺乏一般的通用性。

44、為了增加數(shù)值解的通用性，可以將若干組計(jì)算數(shù)據(jù)采用多元回歸方法歸納成計(jì)算公式。 首先，列出影響某一性能P的各個(gè)相關(guān)參數(shù)A、B、C、D。然后，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)資料選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示各個(gè)相關(guān)參數(shù)與該性能的關(guān)系，通常采用指數(shù)函數(shù)的形式，即（9.31） dcbaDCBKAP 第76頁(yè)/共173頁(yè) 最后，根據(jù)一組數(shù)量足夠的（例如500個(gè)）理論計(jì)算或者實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)，采用多元回歸法確定式（9.26）中的常數(shù)K和指數(shù)a, b, c、d等的數(shù)值。顯然，這樣確定的計(jì)算公式不可能十分準(zhǔn)確地符合全部數(shù)據(jù)，而只能是具有一定的置信度。同時(shí)，還必須進(jìn)行反復(fù)試算和修改才能得到滿意的結(jié)果。第77頁(yè)/共173頁(yè)9.2 能量方程的數(shù)值解法

45、numerical method for solving energy equation 為了求得潤(rùn)滑膜中的溫度分布需要求解能量方程，而在推導(dǎo)能量方程之前，還必須討論潤(rùn)滑膜的發(fā)熱和散熱方式。 傳導(dǎo)與對(duì)流散熱 潤(rùn)滑膜中熱量的散失主要通過(guò)兩種途徑： 1沿油膜厚度方向（Z向）通過(guò)固體表面的傳導(dǎo)散熱； 2沿油膜尺寸方向（X和Y向）由潤(rùn)滑劑的流動(dòng)而產(chǎn)生的對(duì)流散熱。 這兩種散熱方式所散失熱量的相對(duì)比例因潤(rùn)滑條件而不同?，F(xiàn)在以兩塊無(wú)限長(zhǎng)平行平板間的油膜散熱情況來(lái)分析它們之間的關(guān)系，如圖9.8。第78頁(yè)/共173頁(yè) 圖9.8 散熱分析 假設(shè)靜止板1的溫度按線性分布，兩端的溫度分別為T0和T1，運(yùn)動(dòng)板2的表面溫

46、度保持為T0，因而溫升為T=T1-T0。兩平板寬度為B，其間充滿潤(rùn)滑油，膜厚為h?，F(xiàn)分析單位長(zhǎng)度上通過(guò)傳導(dǎo)和對(duì)流的散熱量。（1）傳導(dǎo)散熱量Hd （9.32）hTKBdxhTBxKdxdzdTKHBBd200第79頁(yè)/共173頁(yè) （2）對(duì)流散熱量Hv 若qx為潤(rùn)滑油沿X方向單位長(zhǎng)度上的容積流量；為潤(rùn)滑油密度；c為潤(rùn)滑油比熱容，而油膜的平均溫升為T/2，則得（9.32）將傳導(dǎo)散熱與對(duì)流散熱的比值稱為Peclet數(shù)，即 Peclet數(shù) （9.33） 由此可見(jiàn)，Peclet數(shù)可用來(lái)表征潤(rùn)滑系統(tǒng)的散熱情況。 TcUhTcqHxv41222UhBcKHHvd第80頁(yè)/共173頁(yè)9.3 彈性流體動(dòng)壓潤(rùn)滑數(shù)值

47、解法numerical method of elastic-hydrodynamic lubrication 線接觸彈流的數(shù)值解法 EHL in line contacts1基本方程 basic equation彈流潤(rùn)滑計(jì)算需要同時(shí)求解以下方程組，即（1）Reynolds方程 （9.41）式中，平均速度U=(u1+u2)/2、h、和均為x的函數(shù)。邊界條件：油膜起點(diǎn)x=x1處，p=03()12dh dpdUhdxdxdx第81頁(yè)/共173頁(yè)油膜終點(diǎn)x=x2處，這里，x1應(yīng)根據(jù)潤(rùn)滑油的供應(yīng)充足程度選取，通常x1=(515)b；x2為在出口區(qū)油膜自然破裂的邊界，其數(shù)值在求解過(guò)程中確定。（2）膜厚方程

48、 film thickness equation 如圖9.12所示，彈性圓柱接觸時(shí)任意點(diǎn)x處的油膜厚度的表達(dá)式為 （9.41）式中，hc為沒(méi)有變形時(shí)的中心膜厚；R為當(dāng)量曲率半徑；v(x)為由于壓力產(chǎn)生的彈性變形位移。0 xpp)(2)(2xvRxhxhc第82頁(yè)/共173頁(yè) 圖9.12間隙形狀 圖9.13 彈性變形第83頁(yè)/共173頁(yè)（3）彈性變形方程 elastic deformation 對(duì)于線接觸問(wèn)題，接觸體的長(zhǎng)度和曲率半徑遠(yuǎn)大于接觸寬度，可以認(rèn)為屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，相當(dāng)于平直的彈性半無(wú)限體受分布載荷作用，如圖9.13。根據(jù)彈性力學(xué)有關(guān)理論推導(dǎo)出表面上各點(diǎn)沿垂直方向的彈性位移為 （9.43

49、）其中，s是x軸上的附加坐標(biāo)，它表示任意線載荷p(s)ds與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；p(s)為載荷分布函數(shù)；s1和s2為載荷p(x)的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)；E為當(dāng)量彈性模量；c為待定常數(shù)。cdsxsspExvss212)ln()(2)(第84頁(yè)/共173頁(yè)（4）粘度-壓力關(guān)系式 通常采用Barus公式粘壓即 （9.44）（5）密度-壓力關(guān)系式采用根據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線整理而得到的密度一壓力關(guān)系式 （9.45）0pepp7 . 116 . 010第85頁(yè)/共173頁(yè)2Reynolds方程的求解 solution of Reynolds equation 粘壓效應(yīng)和彈性變形對(duì)彈流問(wèn)題中的Reynolds方程求解影響十分顯

50、著，這是彈流潤(rùn)滑計(jì)算需要特別注意的問(wèn)題。 此外，從彈流潤(rùn)滑的壓力分布情況可知：壓力p和它的導(dǎo)數(shù)值dp/dx都是在很窄的區(qū)間內(nèi)急劇變化的場(chǎng)函數(shù)。為了使求解過(guò)程穩(wěn)定，通常須采用參數(shù)變換，使變量在求解域內(nèi)的變化平緩。常用的參數(shù)變換是采用誘導(dǎo)壓力q(x)，令 pexq11)(第86頁(yè)/共173頁(yè)并考慮粘壓效應(yīng)，則Reynolds方程變?yōu)?（9.46）將q(x)解出以后，即可求得p(x)在彈流計(jì)算中也可用Vogenpohl變換，即令M(x)=p(x)h(x)3/2，則Reynolds方程為 （9.47）3012()ddqdhUhdxdxdx)(1ln1)(xqxp3/21/2312()2dhdMdhM

51、dhdUhdxdxdxdxdx第87頁(yè)/共173頁(yè)3彈性變形方程的求解法 elastic deformation solution 如果給定壓力分布p(x)，計(jì)算方程（9.35）的積分即可得到各點(diǎn)的變形量v(x)。然而，變形方程中的積分部分是一個(gè)奇異積分，奇點(diǎn)為s=x，此處被積函數(shù)無(wú)意義。這是彈性變形計(jì)算的困難之一。避免奇異積分的一種簡(jiǎn)便方法是采取分段積分。由于被積函數(shù)在除s=x點(diǎn)之外都是連續(xù)的，所以可以將積分近似地處理為212)ln()(ssdsxsspI2122)ln()()ln()(sxxxxsdsxsspdsxsspI第88頁(yè)/共173頁(yè)這樣，把奇點(diǎn)排除在積分區(qū)間之外。然而，這種方法的

52、困難是如何恰當(dāng)?shù)卮_定x的數(shù)值，如果選擇不當(dāng)將產(chǎn)生相當(dāng)大的計(jì)算誤差。 另種克服奇異積分的辦法是將連續(xù)分布的壓力p(x)進(jìn)行離散處理。其要點(diǎn)如下： 將整個(gè)積分區(qū)間x1，x2劃分成若干子區(qū)間，并把每一個(gè)子區(qū)間上的壓力分布p(x)近似地表示為x的多項(xiàng)式，如 系數(shù)c1、c2和c3則根據(jù)已知的節(jié)點(diǎn)壓力值用待定系數(shù)方法確定。例如第i個(gè)子區(qū)間xi，xi+1上的分布?jí)毫閜i(x)=c1i+c2ix+c3ix2。2321)(xcxccxp第89頁(yè)/共173頁(yè) 于是第i個(gè)子區(qū)間xi，xi+1上的壓力pi(x)在各點(diǎn)所產(chǎn)生的變形位移的積分變?yōu)?上式中各項(xiàng)的積分可利用關(guān)于 以及 、 的積分公式，這樣就可求得Ii的解析

53、解。1111|ln|ln|ln2)ln(232122321iiiiiiiixxixxixxixxiiiidssxscdssxscdssxcdssxscsccItdtlntdttlntdtt ln2第90頁(yè)/共173頁(yè)4求解方法求解Reynolds方程有順解法和逆解法之分，順解法或稱直接迭代法求解彈流問(wèn)題的順序如下： 采用順解法求解Reynolds方程是根據(jù)給定的h(x)求解p(x)，然后比較p(x)的新、舊值并使它們滿足收斂精度。順解法簡(jiǎn)單易行，通常適用于中輕載荷條件，而在重載接觸時(shí)難以達(dá)到滿意的精度，甚至得不到收斂解。第91頁(yè)/共173頁(yè) Dowson等人提出逆解法求解線接觸彈流潤(rùn)滑。按給定

54、的壓力p(x)求得各點(diǎn)的dp/dx值，此時(shí)Reynolds方程成為含h(x)三次方的代數(shù)方程，解此方程可求得一條膜厚曲線h(x)。再根據(jù)壓力p(x)用彈性變形方程得到變形v(x)，從而求得另一條膜厚曲線h(x)，比較這兩條膜厚曲線，按偏差來(lái)修正p(x)以達(dá)到收斂精度。逆解法容易求得收斂結(jié)果，但是不易掌握，通常適用于重載荷彈流潤(rùn)滑計(jì)算。第92頁(yè)/共173頁(yè)點(diǎn)接觸彈流的數(shù)值解法 EHL in point contacts 點(diǎn)接觸的一般情況是兩個(gè)橢圓體相接觸而形成橢圓接觸區(qū)，它比線接觸問(wèn)題復(fù)雜得多，因此發(fā)層也較緩慢。一直到1965年Archard和Cowking對(duì)于圓接觸彈流潤(rùn)滑提出了第一個(gè)型的近似

55、解。1970年，Cheng（鄭緒云）對(duì)于橢圓接觸彈流得出了型解。1976年以后，Hamrock和Dowson對(duì)橢圓接觸問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算，并提出最小油膜厚度的計(jì)算公式。隨后溫詩(shī)鑄與朱東提出了橢圓接觸彈流潤(rùn)滑的完全數(shù)值解，這里，就求解中的主要問(wèn)題作簡(jiǎn)要地介紹。第93頁(yè)/共173頁(yè)1Reynolds方程求解 solution of Reynolds equation 在一般情況下，接觸點(diǎn)的表面速度不一定與接觸區(qū)橢圓的主軸方向相吻合，此時(shí)Reynolds方程應(yīng)寫(xiě)成 (9.52) 選取如圖9.14所表示的坐標(biāo)軸和求解域，x軸與接觸橢圓的短軸相一致。若接觸點(diǎn)兩表面在x和y方向的速度分量分別為u1、

56、u2和v1、v2，則在x和y方向的平均速度為3312hphphhUVxxyyxy21212121vvVuuU第94頁(yè)/共173頁(yè) 求解是從如圖所示的矩形求解域上開(kāi)始進(jìn)行的。其中AB為入口邊，CD為出口邊，而AD和BC為端泄邊，則、和用來(lái)確定求解域邊界的位置，通常取=2，=4，而與出口邊界有關(guān)應(yīng)在求解過(guò)程中確定。 圖9.14點(diǎn)接觸求解域 圖9.15彈性變形第95頁(yè)/共173頁(yè)求解方程（9.52）的邊界條件是：在求解域的入口和端泄邊界上壓力為零，即當(dāng)x=-b和y=a時(shí)，p=0。而在出口邊界x=b上采用Reynolds邊界條件，即p=0和 與線接觸彈流的情況相同，為了便于求解應(yīng)對(duì)Reynolds方程

57、進(jìn)行參數(shù)變換。令誘導(dǎo)壓力q(x,y)為則代入方程（9.52），得 （9.53）上式是考慮粘壓效應(yīng)的二維Reynolds方程。0 xp),(11),(yxpeyxqypeyqxpexqpp 33012qqhhUhVhxxyyxy第96頁(yè)/共173頁(yè)2彈性變形方程求解 elastic deformation solution 根據(jù)彈性力學(xué)可知：彈性表面上的分布?jí)毫(x,y)在表面上各點(diǎn)產(chǎn)生的變形位移(x,y)用下列關(guān)系表示 （9.54）如圖9.15所示，和為對(duì)應(yīng)于x和y的附加坐標(biāo)；為求解域。式（9.54）中積分式的分母部分表示壓力作用點(diǎn)（，）與要計(jì)算變形量的點(diǎn)（x，y）之間的距離。顯然，當(dāng)x=，

58、y=時(shí)，上述積分是奇異的?？朔娈惙e分我們采取的辦法是：先將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到（，），式（9.54）變?yōu)閐dyxpEyx22)()(),(2),(第97頁(yè)/共173頁(yè)然后作極坐標(biāo)變換：x=rcos，y=rsin，則上式可得到用三角函數(shù)表示的積分結(jié)果。彈性變形計(jì)算的另一個(gè)困難是計(jì)算工作量過(guò)大。如果采用通常的數(shù)值積分方法，則在每一次迭代中由于分布?jí)毫(x,y)的不同，都需要計(jì)算每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的變形。而計(jì)算每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的變形又必須對(duì)整個(gè)求解域計(jì)算一遍積分。這樣，計(jì)算工作量太大，而且所需要占用的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元也很多。為了克服這一困難，十分有效的辦法是采用變形（柔度）矩陣。drdrpEyx),(2),(222(

59、 , )( , )( )( )p x yx ydxdyExy第98頁(yè)/共173頁(yè) 如果將求解域劃分成網(wǎng)格，在x方向共m個(gè)節(jié)點(diǎn)，y方向共n個(gè)節(jié)點(diǎn)。設(shè)（i，j）為在x方向編號(hào)為i而在y方向編號(hào)為j的節(jié)點(diǎn)，并且定義為在節(jié)點(diǎn)（i，j）處有單位節(jié)點(diǎn)壓力作用而其余節(jié)點(diǎn)上壓力為零時(shí)，在節(jié)點(diǎn)（k,l）上產(chǎn)生的變形量。于是，彈性變形方程的離散形式為 （9.55）其中，k1為節(jié)點(diǎn)（k,l）處的彈性變形量；pij為節(jié)點(diǎn)（i，j）處的節(jié)點(diǎn)壓力。這樣，只需一次算出全部 并存儲(chǔ)起來(lái)，在迭代過(guò)程中反復(fù)計(jì)算變形時(shí)即可代入式（9.55），而不必重復(fù)計(jì)算數(shù)值積分，從而大量地減少運(yùn)算工作量。 nimjijklijklpDE112k

60、lijD第99頁(yè)/共173頁(yè) 然而，變形矩陣的元素 共有(mn)2個(gè)，因而占用的存儲(chǔ)單元太多。為了節(jié)約存儲(chǔ)量，可在y方向采用等距網(wǎng)格，此時(shí) 式中，s=|j-l|+1。故只需計(jì)算并存儲(chǔ) 共計(jì)（mn）m個(gè)量，再由上式可推算全部 。當(dāng)然，如果在x方向也采用等距網(wǎng)格，只需計(jì)算和存儲(chǔ)的元素將進(jìn)一步減少至（mn）個(gè)，但會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度降低。當(dāng)變形計(jì)算完成以后，代入膜厚方程 （9.56)式中，Rx、Ry分別為沿x、y方向的當(dāng)量曲率半徑。再將式（9.48）代入Reynolds方程即可求解。klijDklisklijDDklisDklisD),(22),(220yxRyRxhyxhyx第100頁(yè)/共173頁(yè)3Ha